運用換元法解題的三種路徑

劉莉 葛艷

在解答比較復雜的代數問題時，我們通常會采用換元法來解題.引入一個輔助元，通過等量代換將題目簡化，以實現化難為易、化繁為簡.換元的方法有很多種，本文重點介紹三角換元、整體換元、均值換元三種換元方法.

一、三角換元

通過三角換元可把二元代數式轉化成為三角函數式，再利用三角函數的性質和圖象來解題.一般地，可設 x =a +r cos α、y =b +r sin α，借助重要三角函數式可將代數式轉化為三角函數式.

例 1.

我們根據已知關系式，令 x = cos θ，y =1 + sin θ，通過三角換元，將問題轉化為三角函數最值問題，根據輔助公式和正弦函數的有界性求得的最大值，進而確定c 的取值范圍.

二、整體換元

有些代數式較為復雜，此時我們不妨運用整體換元法來解題，將代數式中某一部分或全部用一個新的元替換，再根據題意求出新元的取值范圍，通過合理運算、推理求得問題的答案.

例2.

一般地，對于的問題，我們一般通過整體換元，將ωx +φ用新的元替換，再根據正弦或余弦函數的性質來進行求解.

三、均值換元

對于 x +y =S 二元代數問題，我們一般運用均值換元來解題，令，將其代入目標式中進行求解.這樣就可以達到減元的目的.在運用均值換元法解題時，要保證換元前后變量的取值范圍是等價轉化的.

例3.

解：

本題采用常規方法求解較為復雜，這里采用均值換元法求解，十分便捷.首先引入參數α，令 A =60°+ α，C =60°- α，并求出α 的取值范圍，然后將其代入已知關系式中，根據二倍角公式、兩角和差公式進行運算、推理，求得 cos α的和的值.

換元法是解答數學問題的常用方法之一.在解題的過程中，我們首先要仔細觀察已知代數式的結構特點，合理選擇換元的式子，通過三角換元、整體換元、均值換元，將代數式簡化，從而求得問題的答案.運用換元法解題，能有效地提高解題效率，優化解題的方案.

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區公道中學）