“多法并用”，解答不等式恒成立問題

陳秀林

不等式恒成立問題的命題角度有很多，解法靈活，側重于考查同學們的數學思維能力及應變能力.此類問題的綜合性較強，難度較大，很多同學在遇到這一類問題時常常會束手無策.下面以一道含參不等式恒成立問題為例，談一談解答不等式恒成立問題的思路.

例題：已知函數，若對任意的實數x∈[1，+∞），f（x）≥-1恒成立，求實數a 的取值范圍.

要求得 a 的取值范圍，關鍵在于如何處理不等式，對其進行合理轉化、變形，確保對任意的實數x∈[1，+∞），f（x）≥-1恒成立.函數式中含有指數和對數，還需借助導數法來解題.有如下三種思路.

思路一：采用函數最值法

函數最值法是指將問題轉化為函數最值問題來求解的方法.在解題時，我們需將不等式進行合理變形，以便構造出合適的函數，借助函數的圖象和性質，來求得函數的最值，進而求得參數的取值范圍.對于本題，要使 f（x）≥ -1在[1，+∞）恒成立，需使函數 f（x）的最小值大于或等于-1，因此可直接利用導數求函數 f（x）的最小值.

解：

函數最值法是處理含參不等式恒成立問題的重要方法，大多數問題都可采用該方法求解，但求解過程中經常會遇到導函數零點不易求的問題，此時可借助二次求導法或設而不求法來求得函數的最值.

思路二：分離參數

分離參數是指將參數與變量分離，通過求得含有變量式子的最值，求得問題的答案的方法.此方法常適用于解答參數、變量容易分離的問題.在解題時需將不等式進行變形，使其一邊含有參數，另一邊不含有參?? 數，即只含有變量和常數，再將不含有參數的式子構造成函數模型，借助函數的圖象、性質、導數的性質求得含有變量式子的最值，進而確定參數的取值范圍.

解：

分離參數法是處理含參不等式恒成立問題較為簡便的方法.運用此方法解題時，要注意分離參數的過程是否為不等式的等價變形，否則易出現錯解.若不等式中多處含有參數，可考慮將含參的式子整體分離.

思路三：先猜想后證明

對于一些題目的關系式中直接呈現出規律的問題，我們一般采用先猜想后證明的思路解題.首先根據題意進行猜想，試圖明確問題的答案，然后對其結論進行證明.在證明的過程中，可采用分析法、綜合法、反證法、放縮法等進行求解.對于本題，要使不等式在 f（x）≥ -1在[1，+∞）內恒成立，則對于?x∈ [1，+∞）的值，不等式都成立，可利用特殊值探求出參數的范圍，再證明對于此范圍內的參數，不等式恒成立即可.

解：

所以原不等式恒成立，所以a 的取值范圍是（-∞， 1].

上述三種方法雖然在構造函數的方式上略有不同，但求解的核心思想均是利用導數法來求函數的最值.同學們把握這一關鍵點，就能順利解答此類問題.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學）