例談兩類數列最值問題的解法

袁龍

數列最值問題的綜合性較強，不僅考查了數列的性質、定義、通項公式、前 n 項和公式等，還考查了求最值的方法.數列最值問題通常有兩種命題形式，一是求數列的最大項，二是求數列前 n 項和的最大值.本文結合實例，探討一下這兩類數列最值問題的求解思路.

一、求數列的最大（小）項

求數列的最大（小）項問題較為簡單，只要明確數列中各項之間的規律，便可快速找出數列的最大（小）項.一般有兩種思路：（1）將數列視為自變量是自然數的函數值，根據函數的類型作出相應的函數圖象，或根據函數的性質求出函數的最值，進而求出數列的最大（小）項;（2）根據通項公式研究數列的單調性，若則為最小項.

例1 .

解：

我們將數列的通項公式視為二次函數，通過配方，借助二次函數的性質求得函數的最小值，即可得到數列的最小項.①當時，數列為遞增函數;②當時，數列為遞減函數.根據數列的單調性，即可找出數列的最大（小）項.

二、求數列前 n 項和的最值

求數列和的最值問題一般與等差數列的前 n 項和有關.要使數列前n項和最大（小），需使且.而求等差數列前 n 項和最值有兩種方法：（1）二次函數法.將等差數列前 n 項和視為關于 n 的函數，通過配方或借助二次函數的圖象求二次函數的最值，即可得到的最值.（2）通項變號法.當時，滿足的項數 m 使得取得最大值為;當時，滿足的項數 m 使得取得最小值為.

例2.

解：

解法一主要是運用了函數思想，將等差數列的前 n 項和公式看作關于 n 的二次函數，根據二次函數的性質求得的最小值;解法二主要是運用了通項變號法，根據有最小值建立關系式得到 n 取值范圍，從而求得的最小值.

在解答數列最值問題的過程中，我們首先要根據題意， 結合數列的相關性質，求出數列的通項公式的前 n 項和公式，對其進行合理的變形，然后構造函數式或不等式，利用數列的單調性、函數思想、通項變號法等求得問題的答案.

本文系海門區教育科學“十三五”規劃2020年度課題《新高考模式下的“數列課堂改革”》成果.

（作者單位：江蘇省南通市海門第一中學）