靈活運用函數的性質，巧妙解答函數問題

周敏

函數具有奇偶性、對稱性、單調性、周期性等多種性質.在解題時，靈活運用函數的這些性質能順利解答很多函數問題.本文結合3道例題談一談函數的性質在解題中的應用.

一、函數的對稱性

若f（x-c）=f（x+c），則函數f（x）的圖象關于直線x=c（c為常數）對稱.在運用函數的對稱性求解函數問題時，首先要對已知關系式進行變形，得到形如f（x-c）=f（x+c）或的式子，即可求得f（x）的對稱軸和相對應的函數值，求得問題的答案.

例1.

解：

解答本題的關鍵是運用函數的對稱性.我們先根據奇函數的性質得到關系式f（x+2）=-f（x），求得函數f（x）的對稱軸 x =1 ，然后借助中間值f（0）以及函數的對稱性、單調性來比較的大小.

二、函數的單調性

所謂函數的單調性，是指函數f（x）在定義域上的圖象連續并呈逐漸增長或降低趨勢的特性.函數的單調性常用于求不等式的解集、比較函數值的大小等.在運用函數的單調性解題時，要首先要根據函數單調性的定義明確函數的單調性，然后在定義域內選取任意的兩點，若函數單調遞減，則;若函數單調遞增，則，將該關系式代入題設中求解即可.

例2.

解：

在解答本題時，我們首先要根據題意確定函數的單調性，然后根據函數的奇偶性和單調性去掉目標式中的函數符號“ f ”，建立新不等式，解不等式便可求得問題的答案.

三、函數的周期性

一般地，對于任意 x ，都有，則常數 T為函數 f（x）的周期.在運用函數的周期性解題時，我們首先要根據函數周期的定義求出周期，然后借助函數的周期求出對應的函數表達式或者函數值，進而求得結果.

例3.

一般地，若，則函數的周期為 b -a.在求解上題時，要抓住關鍵條件奇函數滿足，對該關系式進行變形求得函數的周期，再借助函數周期性來求函數的值.

運用函數的周期性、對稱性、單調性解題并不復雜，但首先要根據題意明確函數的性質，然后靈活運用函數的這些性質來解題.從以上問題中我們可以發現，很多函數問題同時涉及了多種函數性質，在解題我們需根據解題需求，合理運用函數的性質.

（作者單位：江蘇省阜寧縣實驗高級中學）