進行三角恒等變換的三個技巧

周海靜

在解答三角函數問題時，經常需對三角函數式進行三角恒等變換，這就要求同學們熟練掌握一些進行三角恒等變換的技巧，以便能順利化簡三角函數式、求出三角函數式的值.那么怎樣合理進行三角恒等變換呢？可以從以下三個方面進行.

一、變換角

當進行三角恒等變換時，首先要仔細觀察已知角和所求角之間的差別，并建立兩角之間的聯系，如互余、互補、半角、倍角等，然后利用誘導公式、二倍角公式、兩角的和差公式等求解.在進行角的變換時，還可將已知角、所求角與特殊角，如等建立聯系，然后利用這些特殊角的函數值進行求解.

例1.

分析：

解：

二、變換函數名稱

有些三角函數式中的函數名稱并不相同，此時，我們需變換函數的名稱，如將正切、余切轉化為正弦、余弦，將正弦化為余弦，將余弦化為正弦，等等，以達到統一函數名稱的目的.在變換函數名稱的過程中，常用到的公式有誘導公式，重要關系式、輔助角公式等.

例2.

分析：這個式子中既含有正切函數也有正弦、余弦函數，我們第一步就是要想辦法將正切函數轉變為正弦函數.觀察式子中角的特點，可發現根據角的特征，可以利用誘導公式將函數式轉化成函數名稱一致的式子.

解：

三、變換冪的次數

有些三角函數式中冪的次數不相同，此時，我們要對其作升冪或者降冪處理，以便使函數式中的次數相同.“升冪”可以通過二倍角公式來實現，“降冪”可以通過二倍角公式 sin2α= 2 sin α cos α及變形式來達到目的.

例3.

分析：由于已知，目標式中含有正弦函數和余弦函數，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α轉變為α ，使冪的次數統一，即將所求的式子轉化為關于 sin α、cos α的齊次式，然后依據，將目標式中的分子、分母同時除以，得到只含有tan α的分式，將代入求解即可得到答案.

解：原式

總而言之，在進行三角恒等變換時最重要的就是要做到“變異為同”，靈活使用各種三角函數公式，將角、函數名稱、冪的次數不同的式子轉化為角、函數名稱、次數相同的式子.在解題的過程中，同學們要熟記各種三角函數公式，并靈活使用，根據角、函數名稱、冪的特點合理進行變換，以實現“變異為同”.

（作者單位：山東省聊城第一中學）