解答圓錐曲線中定值定點(diǎn)問題的思路

劉琳

在我們的印象中，圓錐曲線中定值定點(diǎn)問題的計(jì)算繁瑣，求解的思路難找，很多同學(xué)在解答圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)無法順利求得問題的答案.其實(shí)解答圓錐曲線中定值定點(diǎn)問題的關(guān)鍵是，從題目中的原始量，也就是題設(shè)中的點(diǎn)或者線入手，其他的點(diǎn)或者線都是根據(jù)原始量作相應(yīng)的變動(dòng)得到的，所以抓住原始量是解題的關(guān)鍵.下面我們通過幾個(gè)例題來談一談如何尋找解題的切入口，找到原始量，并假設(shè)變量，解答圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問題.

例1

分析：

證明：

我們可根據(jù)題意尋找原始量，也可根據(jù)繪制的圖象來確定.找準(zhǔn)原始量后，便可用其表示相關(guān)的變量.雖然圓錐曲線問題的運(yùn)算量大，解題過程繁瑣，但是我們只要理清了解題的思路，便能節(jié)約很多時(shí)間.

例 2.

分析：第一個(gè)問題較為簡單，我們將點(diǎn) A 的坐標(biāo)代入橢圓方程中，化簡就可以得到，從而得到圓錐曲線的方程為 .第二個(gè)問題有一定的難度，題目的條件比較復(fù)雜，不易看出各條件之間的關(guān)系.這里A是一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)D是根據(jù)MN的位置來確定的，所以直線MN是原始量，探究MN直線具有怎樣的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

證明：設(shè)直線 MN 的方程為，將 y = kx + m 與橢圓的方程聯(lián)立可得，滿足題意.

圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問題主要考查的是點(diǎn)或者直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.如果點(diǎn)是原始量，那么點(diǎn)必是原始的動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示其他的量.如果直線是原始量，在解題的過程中為了方便還要設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再用韋達(dá)定理進(jìn)行求解.圓錐曲線問題是解析幾何中的難點(diǎn)，可結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析，找到原始量，通過層層分析，抽絲剝繭，找到問題的本質(zhì).

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃 2020 年度重點(diǎn)自籌課題“新課標(biāo)下提升高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的實(shí)踐研究”階段研究成果.

（作者單位：江蘇省泰興中學(xué)）