例析數學思想在解答不等式問題中的應用

候秀麗

不等式問題的形式多種多樣，如解不等式、求參數的取值范圍、比較兩式的大小、證明不等式恒成立等.此類問題側重于考查同學們的運算能力和邏輯推理能力.而靈活運用數學思想，能有效幫助我們快速求得問題的答案.本文重點探討了函數思想、數形結合思想、分類討論思想在解答不等式問題中的應用.

一、靈活運用函數思想

函數思想是指運用函數的圖象和性質解題的思想.在解答不等式問題時，我們可以將不等式進行合理變形，構造出合適的函數模型，然后借助函數的圖象來分析函數的單調性、對稱性、周期性、最值等，建立新關系式，從而證明不等式成立或者求得不等式的解.

例 1.

解：

我們首先根據函數單調性的定義，判斷出函數 f（x）的單調性，求得函數的最值，根據不等式恒成立建立關于參數 a 的不等式，解不等式即可求得 a 的取值范圍.

二、靈活運用數形結合思想

數形結合思想是解答函數、不等式問題的重要方法.在解題時，我們需先畫出相應的圖形，通過分析圖形找出使不等式恒成立的極端情形，建立新關系式，便可求得不等式的解集或者參數的取值范圍.

例2.已知函數，則實數c 的取值范圍是____.

解：

由圖象可知當f（x）的值域為

解答本題，我們只需根據已知的函數解析式畫出對應的函數圖象，然后結合圖象明確函數取得最值的情形，求出函數取最值時對應的 x 的值，即可求得 c 的取值范圍.

三、靈活運用分類討論思想

分類討論思想是指把所有研究的問題分成若干類，轉化成若干個小問題來求解的思想.在解答不等式問題時，我們需要根據題目的特點和要求，把問題進行分類，可按照參數的取值來進行分類，也可按照問題的不同情況進行分類，還可按照不等式成立的條件來分類，等等.在分類后，對各種情況逐一進行研究、討論，最后綜合所得的結果即可.

例3.解不等式

解：將不等式變形可得

在本題中，a 為參數，而不等式的解受 a 影響，所以需對a進行分類討論，可分為a >1、0

不等式問題是一類綜合性較強的問題，在解題時我們不僅要熟練運用相關的不等式知識類求解，還要學會靈活運用數學思想來輔助解題，這樣才能使解題變得更加高效.

（作者單位：山東省青島市即墨區第二中學）