四類排列組合問題及其解法

陳憶新

排列組合問題在各類考試中常以選擇題和填空題的形式出現.此類型問題的題型多變，解法一般較為靈活，因而很多同學在解答此類問題時往往難以得到正確的答案.筆者總結了以下四類常見的排列組合問題，并深入探討了其解法，以期能為同學們的解題提供一些幫助.

一、相鄰問題

有些題目要求幾個元素相鄰，此類問題稱為相鄰問題.在解答這類問題時，我們可以將這幾個要求相鄰的元素捆綁起來看作一個整體，當成一個“大元素”進行排列.在排順序時，可先排“大元素”外部元素的順序，然后再排“大元素”內部元素的順序，最后運用分步計數原理求出最后的結果即可.

例1.某小區有排成一排的7個車位，現有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數為（ ）.

A.16 B.18 C.24 D.32

題目只要求剩余的4個車位連在一起，對剩余的4個車位的排列順序沒有要求，所以我們只需將剩余的4個車位捆綁在一起，與其他元素一起排列即可.

二、不相鄰問題

所謂不相鄰問題，就是要求幾個元素不能排在一起的問題，我們可以運用插空法來解題，首先將沒有要求的元素先安排好，再將要求不相鄰的元素插入已排好的元素的空隙中和首尾兩端，最后運用分步計數原理求解即可.

例2.某學校為了慶祝元旦，安排了2個朗誦節目、3個小品、3個歌唱類節目，要求歌唱類節目不排在最前面，并且任何2個歌唱節目不排在一起，那么有幾種不同的排法？

解答不相鄰問題的關鍵是區分有相鄰要求和沒有相鄰要求的元素，并找出沒有相鄰要求的元素之間的空隙的個數.

三、分排問題

所謂分排問題是指要求將元素分成幾排進行排列的問題.解答此類問題，我們一般用直排法.若把 n 個元素分成 m 排進行排列，可以將前一排的最后一個元素和后一排的第一個元素連接起來，當作所有元素排成一排或者一列的問題來處理，有種排法.

例3.小紅一家8口人，其中4位男性、4位女性.應攝影師要求站成兩排拍全家福，每排 4 人，并且2位個子矮的女性站在前排，另外2位女性站在后排，請問一共有多少種排法？

解析：可先讓小紅家的8口人站成一列，然后優先安排特殊元素：4 位女性.在前排的四個位置中安排 2位個子矮的女性，有種排法，再將另外2位女性安排在后排的四個位置中，有種排法.剩下的4位男性有種排法.根據分步計數原理可得一共有種排法.

在解答分排問題時，若遇到有特殊要求的元素，需優先處理這些元素，然后將所有的元素看成排成一排或一列來進行排列，最后依據分步計數原理將所有排法數相乘就可得到正確的答案.

四、定序問題

所謂定序問題就是指要求某些元素要保持固定的順序進行排列的問題.對于此類問題，我們可以使用消序法來解答，即根據題目的不同要求，先將所有元素進行全排列，然后求有固定順序的排列情況的數目，就可得到我們所需的答案.

例 4.小馬、小紅、小于、小楊、小李 5 個人站成一列，要求小紅必須站在小馬的后面，請問有多少種不同的排法？

解析：小紅站在小馬的后面和小紅站在小馬的前面的排列數目相等，因此可先將5人進行全排列，有種排法，但符合題意的排法只有一半，即有種排法.綜上所述，小紅必須站在小馬的后面的排法一共有 60 種.

排列組合問題中的元素較多，且要求各不相同，對同學們的邏輯思維能力要求較高，但是解答此類問題也是有法可循的.在解題時，我們只要先分析題目中對元素的要求，如相鄰、不相鄰、分排、定序等，然后選擇與之相應的方法，如捆綁法、插空法、直排法、消序法，就能順利解題.

（作者單位：福建省泉州第十七中學）