巧用變更主元法解答不等式恒成立問題

楊紅生

不等式恒成立問題的命題形式多變，且綜合性強，是讓很多同學感覺“頭疼”的問題.此類題型側重于考查同學們的運算能力與轉化問題的能力.在解題的過程中，巧用變更主元法，能達到快速解題的目的.

變更主元法一般適用于解答含有參數的不等式恒成立問題.如果已知條件中給出了參數的取值范圍，可采用變更主元法，根據參數的取值范圍求出主元的取值范圍.在解題時，我們需將參數視為主元、自變量視為參數，將不等式進行適當的變形，構造出關于參數的函數模型，然后根據函數的圖象和性質建立新的關系式，根據參數的取值范圍確定問題的答案.

解答本題主要采用變更主元法.將參數變更為主元，構造關于參數 m 的一次函數，借助一次函數的單調性建立關于 x 的新不等式，通過解不等式求得 x 的取值范圍.

若主元的取值范圍是未知的，那么在某個區間上關于主元的函數值是根本無法確定的，然而參數的取值范圍是已知的，我們就可以將參數視為主元，根據參數的取值范圍來求得主元的取值范圍.

在解答本題時，我們將目標不等式進行變形，構造出關于 b 的一元二次函數，采用變更主元法來解題.將b視為主元，通過探究函數 Q（ b ）在 [-1，1]上根的分布情況，從而建立關于 m 的不等式，進而求得 m 的取值范圍.

通過上述分析我們不難發現，變更主元法主要適用于解答已知參數的取值范圍，求主元的取值范圍的不等式恒成立問題.在解題時，我們需首先明確主元和參數，將主元進行變更，然后建立函數模型，根據參數的取值范圍來求主元的取值范圍.同時要學會靈活運用一次函數、二次函數的圖象和性質來解題.

（作者單位：江蘇省啟東中學）