一種繩索驅動的仿下頜機構設計與分析

叢 明，任 杰，秦文龍，劉 冬

（大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引言

仿下頜機器人研究始于20世紀90年代初期，根據人體口頜系統進行仿生設計，用來完成一定的下頜功能性運動，可應用于牙科學、食品科學、生物力學和醫療康復領域。

目前，針對不同的應用領域，國內外已設計了不同機構形式的仿下頜機器人。文獻[1]研制了一種基于Stewart平臺的牙科仿下頜機器人；文獻[2]采用6RSS并聯機構研制了食品仿下頜機器人，用于食品科學；文獻[3]研制的下頜運動模擬器主要用于研究下頜骨的動態負載、關節退變；文獻[4]在機構中加入了仿顳下頜關節，研制了具有3自由度的WY和WJ系列下頜康復醫療機器人；在國內，文獻[5-8]設計了6PUS-2HKP冗余驅動并聯機構，用于牙科義齒性能測試。

針對現有的仿下頜機器人存在咀嚼肌單向力驅動不符和機構尺寸過大等問題。提出一種新型的繩索冗余驅動仿下頜機構，該機構考慮顳下頜關節和肌肉的單向拉力等特性?；谌梭w下頜運動機理以及咀嚼肌附著點位置對仿下頜機構進行了設計，并完成對機構運動學分析、雅克比矩陣推導、力封閉空間分析和軌跡規劃等工作。

2 仿下頜機構的設計

2.1 仿生設計基礎

人類口頜系統主要由咀嚼肌、上下頜和顳下頜關節構成，如圖1所示。下頜由升頜肌群和降頜肌群驅動，相對上頜在三維空間內作復雜的周期性張合運動。顳下頜關節作為人體內最復雜的關節，能進行純轉動、純滑動和轉動與滑動的復合運動，共同參與完成咀嚼、言語等功能活動。在下頜運動過程中，最重要的是顳下頜關節中的髁突運動，根據下頜開口度大小的不同，髁突既有轉動又有滑動。下頜運動的驅動肌肉主要包括咬肌、顳肌、翼狀肌，呈兩兩對稱分布[7]。

圖1 口頜系統Fig.1 Jaw System

2.2 仿下頜機構設計思路

將口頜系統視為并聯機構，其下頜為動平臺，上頜為靜平臺。采用6根繩索將上下平臺連接，繩索與上下平臺的連接位置參考人體咬肌、顳肌和翼狀肌三組肌肉與上下頜骨的附著位置；在人體口頜系統中，顳下頜關節的髁突在韌帶與關節的約束下，始終與下頜窩關節面保持接觸。在設計過程中，簡化髁突與關節面之間的柔性組織，將兩者視為剛體接觸。這里采用兩側點接觸高副來仿顳下頜關節。

對繩索連接位置和點接觸高副對結構進行設計。點接觸高副對結構為機構增加兩個約束，實現了仿口頜系統的冗余特性。在繩索連接位置具體設計過程中，要兼顧咀嚼肌的上下附著點位置的仿生性、運動過程中不會發生干涉、滿足空間運動范圍因素。設計流程，如圖2所示。

圖2 設計流程Fig.2 Design Flow

2.3 仿下頜機構設計結果

仿下頜機構的繩索連接位置設計參數，如表1所示。參考坐標系為圖4中的靜坐標∑B（原點為兩髁突的連線中點）。

表1 繩索連接位置設計參數Tab.1 Design Parameters of Cable Connection Position

通過對髁突中心運動軌跡特征點進行擬合逼近得到小球在點接觸高副的約束下的運動軌跡，從而得到包絡小球的點接觸高副的接觸面[6]。采用直徑為4mm的小球來仿髁突?？紤]到加工等方面的因素，采用五次分段線來擬合。

最終確定髁突中心點運動軌跡方程表達式如下：

三維設計結果，如圖3所示。

圖3 機構三維模型Fig.3 Three-Dimensional Model of Mechanism

3 運動學分析

3.1 坐標系建立

為描述并聯平臺的運動，建立靜坐標系∑B和動坐標系∑M，如圖4所示。其中，RCP表示右髁突，LCP表示左髁突。靜坐標系∑B的原點為兩髁突初始位置的中點OB，X為人體矢狀軸方向，Y為額狀軸方向，Z為垂直軸方向；動坐標系∑M的原點為OM，動坐標系∑M與下頜固連，初始位姿和靜坐標系∑B重合。O、I分別為各繩索與靜平臺、動平臺的連接點。

圖4 坐標系Fig.4 Coordinate System of Mechanism

為描述下頜平臺的位姿，一般用6個運動學參數描述，即：x，y，z，α，β，γ。其中，α，β，γ是RPY角，依次為繞瞬時轉動軸Z`，Y``，X```的旋轉角；x，y，z為相對于OB的平移量。那么，動坐標系OM相對于靜坐標系OB的關系可用齊次變換矩陣BTM表達。

3.2 機構分析

傳統柔索驅動并聯機器人末端執行器的自由度僅有六種可行組合情況：一個平動；兩個平動；平面三自由度；空間三平動；三平動+二旋轉；空間6自由度[9]。該機構由于含有點接觸高副對的約束，限制了下頜繞動坐標系的z軸移動和繞x軸的轉動，故下頜平臺只有4個自由度（2個平動+2個轉動），該機構為繩索驅動機構領域增添了新的構型。

為完全描述動平臺的位姿，選取4個運動參數x，y，α，β作為仿下頜機構的廣義坐標。根據驅動冗余度對繩索驅動并聯機器人進行的分類：當繩的數目m大于動平臺自由度n+1時，該機構稱為冗余約束繩牽引并聯機器人。故該機構為冗余約束繩牽引并聯機器人。

3.3 運動學逆解

設各下接入點為Ii（i=1，2，...，6），各上接入點為Oi（i=1，2，...，6）。那么每根繩索的長度可表示為|BOIi|：

式中：MIi—下接入點Ii在動坐標系里的位置；BOi—上接入點Oi在靜坐標系里的位置。

由于點接觸高副使機構含有兩個約束，即：

式中：L、R—分別代表左右約束?？赏ㄟ^x，y，α，β可求解出z，γ。

3.4 雅可比矩陣推導

傳統繩索驅動機構的雅克比矩陣推導有較為成熟的方法，但點接觸高副對的引入增加了機構的復雜程度。

記Ii到Oi相對于靜坐標系的矢量BOIi為Bli。那么：

式中：BM—動坐標系原點OM在靜坐標系下的位置。

由Bli的2 范數的平方，并關于時間求導可得關于速度的公式：

由于BOi與MIi為定值，所以Bi與Mi為0。將Bli帶入式（5），并整理可得：

整理式（6）可得：

由矢量混合積運算法則可得：

將上式重新整理為矩陣形式：

式中：

將左右兩邊同乘以B的逆，可得：

上式得到關于與的雅克比轉換關系。BωM是下頜結構在靜坐標系下的角速度，那么BωM與歐拉角的變化率[，，]T的轉化關系如下：

整理可得：

式中：J—該冗余繩索牽引并聯機器人的雅克比矩陣；[JB]—4個獨立參數關于時間的導數與6個姿態參數關于時間的導數的轉換關系。可由約束式（3）來確定[JB]。

XL、ZL與XR、ZR可由動平臺相對靜平臺的轉換關系可得：

式中：MYL—左髁突在動坐標系的y方向位置，為43mm。

對式（14）關于時間求導，整理后可用，，，表示和，可得：

式中：

所以，可整理得到：

4 力封閉工作空間分析

4.1 力封閉工作空間

與傳統并聯機構的工作空間定義不同，繩牽引并聯機構由于繩單向約束性能（只能承受拉力而不能承受壓力），其工作空間要保證每根繩處于正拉力空間的子集內，使得末端執行器（動平臺）實現力和力矩平衡。

由于繩索特殊的單向力特性，為研究動平臺位形與繩索單向力特性之間的關系，學者提出了力封閉工作空間的概念。力封閉工作空間是指在不限制繩索拉力大小的情況下，對任意外部作用力都具有可行解的空間位置集合。

力封閉條件[11]是指在任意外力作用下，并聯機構的繩索張力都必須大于零，其數學描述如下：

4.2 靜力學

為分析力封閉空間，需要建立繩索驅動仿下頜機構的靜力學模型。由于機構存在兩個點接觸高副，限制了動平臺在動坐標系下沿Z方向的移動和繞X軸的轉動兩個自由度。相較于靜坐標系，在動坐標系下分析靜力學可簡化了問題的復雜度。在動坐標系下，Ii到Oi的矢量MIOi滿足以下幾何關系：

式中：MRB—全局坐標系∑B相對于局部坐標系∑M的旋轉矩陣（MRB=-BRM）；MB—靜坐標系原點OB在動坐標系下的位置，為：

根據動平臺的受力平衡關系得到靜力學方程：

式中：

式中：A—結構矩陣；T—繩索拉力；W—動平臺廣義外力；Ui—繩索單位拉力向量在動坐標系下的X與Y方向的分量；Vi—繩索單位力矩向量在動坐標下的Y與Z分量。

4.3 仿下頜動平臺的力封閉空間

對于繩索驅動的并聯機構的力封閉工作空間的求解，學者們提出了不同的求解算法，但本質都是采用迭代搜索進行求解。這里采用文獻[11]中提出的求解算法，對該冗余繩牽引的仿下頜機構進行力封閉空間分析。在醫學中常用下頜切牙中心點來描述下頜的運動空間，故也采用該位置來描述機構的工作空間，且定下頜切牙中心點為（79.55，0，-38.77）。由于下頜窩關節曲面的寬度和長度的限制等因素，設定在x為［-4，14］區間，y為［-3，3］區間，α為［-π/4，π/4］區間，β為［0，π/3］區間內搜索力封閉工作空間。計算結果，如圖5所示。

圖5 繩索驅動仿下頜機構下切點運動空間Fig.5 Workspace of the Cable-Driven Parallel Machanism for Jaw Movement with Respect to the Lower Incisor Point

下頜切牙中心點前移18mm，最大可以下降50mm，后移65mm，側移34mm，張嘴最大點與初始點直線距離為82mm。通過在Matlab 中進行數值計算得到的力封閉工作空間與文獻[6]中的醫學測試結果進行對比，該含點接觸高副的繩索冗余驅動并聯機構可以滿足模擬人下頜的目的，且工作空間形狀具有較高的仿生性。

5 軌跡規劃與仿生分析

下頜運動是在咀嚼肌、顳下頜關節共同參與完成的一種復雜的三維運動，是實現口腔功能的必要條件。認識下頜運動的規律對于認識咀嚼、吞咽及語言等功能具有十分重要的意義。仿下頜運動機器人的功能運動包括：開閉運動、前后運動、側方運動。在仿真軟件Admas中建立仿真模型，如圖6所示。定義兩側顳下頜關節的仿生髁狀突與顳骨關節面為連續接觸。人體的關節運動是靠肌肉收縮牽引骨骼實現的。繩索驅動和肌肉驅動具有相似之處，都是通過主動收縮來提供動力實現運動。在仿真模型中，繩索收縮時，繩索連接驅動器端沿x負方向運動。繩索被動拉伸時，繩索連接驅動器端沿x正方向運動。

圖6 繩索驅動仿下頜機構Adams模型Fig.6 Adams Model of The Cable-Driven Parallel Machanism for Jaw Movement

5.1 開閉運動

開閉運動分為開頜運動和閉頜運動。開頜運動又可細分為小開頜運動、大開頜運動和最大開頜運動3個階段。第一階段：小開頜運動，下頜下降約2cm，髁狀突僅作轉動運動；第二階段：大開頜運動，下頜下降約2cm以上，髁狀突不僅有轉動運動，還有滑動運動，髁狀突沿關節結節后斜面向前下方滑動，在向前滑動的同時又稍向后方旋轉；第三階段：最大開頜運動，髁狀突停止在關節結節處僅作轉動運動而不再向前滑動。閉頜運動時基本上是開口運動的逆過程[13-14]。

開口運動的力：髁突向前下運動，運動力主要來自翼外肌。閉口運動的力：顳肌、咬肌和翼內肌的收縮，牽引下頜向前上方運動，使下頜回到牙尖交錯位[13-14]。

依照人體下頜開閉口運動的特性，規劃的開閉口運動軌跡，如圖7（a）所示。仿下頜結構進行開閉口運動規劃后，各驅動繩索的變化，如圖7（b）所示。仿翼外肌繩索在開口運動過程中，沿x負方向運動，此時該繩索收縮提供動力。仿翼外肌繩索在閉口運動過程中，沿x正方向運動，此時該繩索被動拉伸。仿顳肌繩索和仿咬肌繩索在開口運動過程中，沿x正方向運動，此時該兩組繩索被動拉伸。仿顳肌繩索和仿咬肌繩索在閉口運動過程中，沿x負方向運動，此時該兩組繩索收縮提供動力。通過分析可以得到，在該開閉口運動規劃后，繩索的長度變化吻合人體下頜開閉口運動時咀嚼肌的伸縮。

圖7 開閉口運動規劃與各繩索變化Fig.7 Trajectory Planning of Jaw Opening and Closing and The Change of Cables

5.2 前后運動

前后運動分為前伸運動和后退運動。前伸運動是雙側顳下頜關節的對稱運動。前伸運動的軌跡取決于結節后斜面斜度和前牙的覆合。正常覆合或者開合者，髁突和關節盤沿關節結節后斜面向前向下滑動。內傾型深覆合者，下頜前伸運動必須先做小幅度的開口運動，解除前牙鎖結，然后才能做前伸運動。后退運動時，大致是沿前伸運動原軌跡做相反方向運動[13-14]。

前伸運動的力：髁突向前下滑動的動力主要來自翼外肌收縮。后退運動的力：主要由顳肌和二腹肌等收縮完成[13-14]。

依照人體下頜前后運動的特性，規劃的開閉口運動軌跡，如圖8（a）所示。仿下頜結構進行前后運動規劃后，各驅動繩索的變化，如圖8（b）所示。仿翼外肌繩索和仿咬肌繩索在前伸運動過程中，沿x負方向運動，此時該繩索收縮提供動力。仿翼外肌繩索和仿咬肌繩索在后退運動過程中，沿x正方向運動，此時該繩索被動拉伸。仿顳肌繩索在前伸運動過程中，沿x正方向運動，此時該兩組繩索被動拉伸。仿顳肌繩索在后退運動過程中，沿x負方向運動，此時該兩組繩索收縮提供動力。通過分析可以得到，在該前后運動規劃后，繩索的長度變化吻合人體下頜前后運動時咀嚼肌的伸縮。

圖8 前后運動規劃與各繩索變化Fig.8 Trajectory Planning of Jaw Protracting Movement and the Change of Cables

5.3 側方運動

側方運動是一種非對稱運動。下頜從牙尖角錯位（Intercuspal position，ICP）開始向一側運動，兩側髁突的運動形式不同，髁突運動范圍較小的稱為工作側。一側髁突滑動，另一側基本上做轉動運動。側方運動時，工作側髁突做轉動，并向外做微小滑動。非工作側的髁突為滑動運動，髁突從關節窩沿關節結節后斜面向前向下向內作滑動運動。Bennett角是由于下頜側向咬合運動為一種非對稱的運動，兩側髁突運動方式及運動方向并不一致，非工作側髁突向前、內、下滑行，其運動軌跡與矢狀面形成的夾角[13-14]。

側方運動的動力：工作側髁突運動的動力主要來自該側顳肌收縮，非工作側髁突向前、內、下運動的動力主要來自該側翼外肌收縮。返回牙尖交錯位（ICP）的運動主要來自非工作側顳肌收縮[13-14]。側方運動正常的標志：頦部運動范圍約10mm；Bennett角約為20°。

依照人體下頜前后運動的特性，規劃的開閉口運動軌跡，如圖9（a）所示。仿下頜結構進行前后運動規劃后，各驅動繩索的變化，如圖9（b）所示。在前3s側方運動中，主要是左側仿顳肌繩索和右側仿翼外肌繩索沿x負方向運動，此時該兩根繩索收縮提供動力。在后3s返回牙尖交錯位（ICP）過程中，主要是右側仿顳肌繩索沿x負方向運動，此時該繩索收縮提供動力。通過分析可以得到，在該側方運動規劃后，繩索的長度變化吻合人體下頜側方運動時咀嚼肌的伸縮。非工作側髁突中心在側方運動過程中，每時刻與初始位置的連線與矢狀面所形成的夾角，如圖9（c）所示。圖9（c）中B點為下頜在規劃的側方運動的極限所形成的Bennett角，為19.2°。通過分析可以得到，該下頜側方運動軌跡規劃吻合人體下頜側方運動正常的標志。

圖9 側方（左側）運動規劃、各繩索變化和Bennett角Fig.9 Trajectory Planning of Jaw Left Side Movement、the Change of Cables and the Angle of Bennett

6 總結

根據人體口頜系統的冗余驅動特性和人體肌肉單向拉力的機理，設計了帶有點接觸高副的繩索冗余驅動的并聯機構。該機構在繩索并聯機構的基礎上，考慮仿人體的顳下頜關節，設計了點接觸高副對。該機構在繩索驅動機構領域增添了新的構型，也為仿下頜機器人領域增加了新的機構。點接觸高副對的引入，增加了繩索驅動并聯機構的特殊性與分析難度。對這種機構進行了運動學和雅可比矩陣的分析與推導。由于繩索驅動的特殊性，為研究繩索的單向力特性與位形之間的關系，對該機構進行了力封閉空間的求解。在matlab中的求解力封閉空間的結果中，可以看出該機構能達到人體下頜運動的空間范圍。最后，在Adams中建立了模型，進行了下頜功能運動（開閉運動、后運動、側方運動）的軌跡規劃，分析了繩索長度變化與人體咀嚼肌伸縮的相似性。結果表明，該仿下頜機構在一定程度上解決了目前仿下頜機構仿生性不足的問題。