粒子群優化的磁軸承自適應反演滑模控制

石 瑤，陳美玲，張 云，朱鋁芬

（南京工業大學浦江學院，江蘇 南京 211134）

1 引言

主動磁軸承（Active Magnetic Bearing，AMB）[1-2]是一種利用電磁力來穩定懸浮軸承轉子的新型軸承技術。該技術以其能耗小、壽命長、無需潤滑和懸浮可控等優點，在電氣傳動領域具有廣闊的應用前景，例如飛輪儲能、離心機與渦旋泵等裝置中[3-4]。

磁軸承系統中，由于軸承轉子系統在懸浮過程中會收到不平衡擾動，會使得軸承轉子發生無規律振動，這會使得軸承轉子在高速旋轉狀態下極易與機壁發生碰撞，所以磁軸承轉子系統的抗擾控制顯得尤為重要[5-7]。通過分析磁軸承系統的數學模型可知，系統具有非線性且開環不穩定的特點[8]，因此合適的閉環控制是使得系統收斂的必要條件。

目前行業內最常見的磁軸承系統閉環控制采用PID 算法[9-10]，但PID算法的非線性處理能力較差，其參數整定過程完全靠經驗選取，且抗擾能力較差。文獻[11-12]則考慮引進BP神經網絡來整定最佳PID參數，該方法提升了PID控制器的非線性處理能力，但是系統收斂速度過慢，且在神經網絡訓練及預測過程中需要收集大量數據集才能提高精度，使得整個控制流程繁瑣冗長。文獻[13-14]則是考慮將模糊算法與PID算法結合，通過確定的模糊規則在線調整PID參數，提高了系統達到最優控制的效率，增強了系統魯棒性，但是模糊PID對論域進行初始設置后不再改變，系統在線整定PID參數過程中，隨著誤差的不斷減小，勢必使得初始輪域的誤差會變大，影響被控對象的控制精度。

近年來，隨著高級控制理論的發展，滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）[15-17]作為一種強魯棒控制器受到眾多研究者的關注，目前已有多種非線性被控對象采用這種控制策略。在滑模控制的基礎上，將自適應反演滑模控制器（Adaptive Backstepping Sliding Mode Control，ABSMC）應用到磁軸承的控制系統中。將反演控制的思想引入滑模控制中，將磁軸承系統復雜的非線性系統分解成不超過系統階數的子系統，在子系統中分別設計Lyapunov函數和中間虛擬控制量，反推出整個控制系統的設計。反演滑模設計可與Lyapunov型自適應率結合，這樣使得整個系統滿足大范圍漸近穩定的動態性能指標。但由于這種設計方法所需考慮的控制器參數較多，為了提高系統的收斂速度與精度，故引入粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）來優化ABSMC的部分參數。仿真結果表明經過PSO優化后的ABSMC對不確定干擾進行預測使其位移波動減小，使得系統具有更好的魯棒性與動態性能。

2 磁軸承的數學模型與分析

2.1 數學模型

二自由度的AMB基本結構，如圖1所示。由轉子、控制線圈及A1、A2、A3、A4構成軸承的定子組成。這里所使用的轉子結構為細短型，磁軸承兩自由度間的陀螺效應極小，因此忽略兩自由度間的耦合部分，得到兩個獨立的單自由度AMB系統。A1、A2繞組中通電流i1產生x1方向上的懸浮力F1，A3、A4繞組中通電流i2產生x2方向上的懸浮力F2。在x1、x2方向上分別通入電流i1、i2進行控制，若轉子受到外部環境擾動的影響，則可以通過改變i1、i2的大小方向以此維持轉子的平衡。

圖1 二自由度主動磁軸承的結構圖Fig.1 Structural Chart of Active Magnetic Bearing with Two Degrees of Freedom

設轉子相對平衡位置沿著x1、x2方向的偏移量為x1、x2，采用等效磁路法并在平衡點附近進行泰勒極數的展開，可以得出轉子在x1、x2方向上的懸浮力模型為：

式中：kxx1—AMB的x1方向上的位移剛度；

kix1—AMB的x1方向上的電流剛度；

kxx2—AMB的x2方向上的位移剛度；

kix2——AMB的x2方向上的電流剛度。

轉子質量為m，考慮到外部環境擾動d1、d2，根據牛頓第二定理推出轉子的運動方程為：

2.2 控制分析

在AMB的傳統控制中，由于受到外部環境的干擾會影響控制系統的精度、破壞轉子的動態平衡，對控制過程造成一定的影響，為削弱干擾帶來的影響，提升系統的魯棒性、控制的精度、降低懸浮脈動，將自適應反演滑模控制器引入到控制系統。滑模控制器中的參數調節需求大量經驗，也給實際的操控過程帶來了困難，利用粒子群算法優化最佳參數，降低了控制調控的難度。二自由度的AMB的控制框圖，如圖2所示。

圖2 控制系統框圖Fig.2 The Diagram of Control System

以位移誤差量作為自適應反演滑模控制器的輸入，通過滑模控制器輸入參考懸浮力，由轉換模塊和功率放大器的共同作用下分別得出x1、x2方向上的控制電流i1、i2，滑模控制器調控參數經粒子群算法優化，實現轉子位移軌跡的實時精準跟蹤，以此調控AMB使其轉子即使在擾動作用下也能在平衡位置保持穩定運行，使控制系統具備魯棒性強、高精度的特點。

3 自適應反演滑模控制器

設外部擾動δ是有上界，即||δ||≤γ。考慮帶有不確定干擾的非線性系統的徑向方程分別為：

式中：F1—x1方向上的懸浮力；

F2—x2方向上的懸浮力；

δ1—x1方向上的干擾；

δ2—x2方向上的干擾；

m—AMB的轉子質量。

令F1=u1，F2=u2，設x1方向上的滑模控制率u1，x2方向上的滑模控制率u2，坐標化對被控對象的方程：

式中：x=［x1，x2］T，u=［u1，u2］T，G=［-g，0］T，δ=［δ1，δ2］T，A=Λ（Λ1=Λ2=1/m）。

針對式（4）所示系統，設計反演滑模控制器。

第一步，設xd為系統位移的期望值，定義輸入的位移誤差向量：

選取虛擬控制量a1=Kce1，其中Kc∈R2×2為正定對稱常值矩陣，設計e2=+α1，則選取Lyapunov函數：

對式（6）進行求導且將式（5）和虛擬控制量代入可得：

由式（7）可知，若有e2=0，則V1≤0，系統趨于穩定。以此進行第二步設計。

第二步，結合式（5）對e2=+α1進行求導：

定義滑模面：

其中，Kλ∈R2×2—正定對稱常值矩陣。選取Lyapunov函數：

結合式（4）且為確保控制的精度上限將擾動δ取為上界值δˉ，對式（10）進行求導可得：

由于干擾δ在實際控制中難以觀測，因此采用自適應率對干擾進行預估計，即，估計誤差為。假設控制系統的外部擾動δ是慢時變擾動，則有=0。此時，選取Lyapunov函數：

其中，β＞0，對式（12）求導并代入（11）可得：

根據式（13）設計擾動自適應率為：

設計控制系統的等效控制率ueq和切換控制率us分別為：

其中，ρ＞0且為常數，Kh∈R2×2是正定對角系數矩陣，因此可得滑模控制系統的控制率u=us+ueq。

將式（14）、式（15）代入式（12）進行穩定性分析：

其中，e=［e1e2］，且取

由式（17）可知，只需調控參數Kc、Kh、Kλ使φ正定，從而根據式（16）可得出：

因（18）可知，系統的控制過程中能保持穩定。

4 基于PSO的ABSMC參數在線優化

ABSMC的參數整定以往通過隨機或者經驗選取，這使得控制系統的設計十分繁瑣并且效果不佳。目前，采用粒子群算法優化整定各種控制器的參數已成為行業內的熱門研究方向，PSO算法能夠全局尋優，保證了ABSMC 的系統參數處于最優狀態，對ABSMC的魯棒性和控制精度都有所提高。

4.1 PSO算法原理

PSO 算法是一種輕量級算法，具有參數較少、收斂速度快、易于找到全局最優解等優點，已有文獻[18-20]將其應用于PID和滑模的參數優化中。

在優化過程中，所有的粒子都由一個fitness-function確定適應值以判斷目前位置的好壞，且每個粒子有兩個屬性：位置和速度。初始總群規模為N，在一個D維的目標搜索空間中，粒子i的位置表示為Xi=（Xi1，Xi2，…，XiD）T，速度表示為vi=（vi1，vi2，…，viD）T，粒子當前自身搜索到的最好位置表示為pbesti=（pi1，pi2，…piD）T，當前種群全局最優位置表示為gbest=（pg1，pg2，…pgD）T，則有下列公式來模擬粒子速度和位置的變化：

式中：1≤i≤N，t—迭代次數；a1，a2—加速常數，決定著粒子速度變化，其中a1作用于粒子個體最優解，a2影響粒子的全局最優解；r1D，r2D—兩個相互獨立的（0～1）隨機系數，用來約束粒子的速度。

為了平衡粒子群算法的全局搜索能力和局部搜索能力，又引入慣性權重系數w，引入后粒子速度變化如下：

當w＞1時，增加粒子的全局搜索能力；當w＜1時，粒子做減速運動，減小粒子的搜索范圍，增加粒子的局部搜索能力。

4.2 PSO算法整定ABSMC參數步驟

以x1方向的ABSMC控制器參數整定為例，其步驟如下：

（1）初始化粒子群，隨機產生所有粒子的位置和速度，并確定粒子pbesti和gbest；（2）將該粒子群中的粒子依次賦值給ABSMC 控制器的參數Kc1、Kρ1、Kh1，然后在程序中直接調用Simulink模型，在該組參數運行下，將磁軸承系統的輸出位移和設定位移之間的均方誤差作為該組參數對應的性能指標，并將其傳遞到PSO中作為該粒子的適應值；（3）進行粒子群尋優，根據目標函數在每次迭代中計算每個粒子的適應度，按式（21）和式（20）更新速度、位置和全局最優位置；（4）新粒子的個體最優位置pbesti和全局最優位置gbest的適應值與先前粒子進行比較，若更好，則實時更新位置，否則不更新；（5）若迭代次數超過迭代上限，則終止算法，否則，重復（3）和（4）；（6）輸出粒子的全局最優位置（Kc1，Kρ1，Kh1），保存全局最優位置對應的適應值。

粒子群算法優化ABSMC 參數的實現流程圖，如圖3 所示。在這里所應用的PSO中，各項參數取值為（w，a1，a2，N，t）=（0.2，2，2，100，50）。

圖3 PSO算法優化ABSMC參數流程圖Fig.3 The Flow Chart of PSO Optimizing ABSMC

5 仿真結果分析

為驗證所設控制系統的有效性，在Simulink 中進行仿真研究，仿真中AMB的軸承轉子質量為1.5kg。采樣時間為0.4s，采樣方式為變步長ode45，獲取仿真數據。

經過初步的參數經驗選取，確定了x1的ABSMC控制器內部分參數尋優范圍為Kc1∈（70，100），Kρ1∈（20，100），Kh1∈（60，100）；x2的ABSMC 控制器內部分參數尋優范圍為Kc2∈（50，80），Kρ2∈（20，60），Kh2∈（55，65）。x1和x2的ABSMC控制器部分參數的最優個體適應值迭代變化曲線，如圖4所示；參數Kc1、Kρ1、Kh1及Kc2、Kρ2、Kh2的變化曲線，如圖5 所示。

圖4 x1和x2的最優個體適應值迭代變化曲線Fig.4 Iterative Variation Curves of Optimal Individual Fitness for x1 and x2

圖5 x1和x2的ASBMC控制器部分參數優化曲線Fig.5 Partial Parameter Optimization Curves of ABSMC Controllers of x1 and x2

在PID控制算法下，軸承轉子在x1方向上于0.15s和0.25s分別受到-50N 和50N 的外擾動力下位移動態響應情況，如圖6所示。在ASBMC 控制算法下，與圖6所受相同外擾動力下位移x1動態響應情況，如圖7所示。

圖6 PID控制的AMB在x1方向上的動態位移響應Fig.6 Dynamic Displacement Response of PID Controlled AMB in x1 Direction

圖7 ABSMC控制的AMB在x1方向上的動態位移響應Fig.7 Dynamic Displacement Response of ABSMC Controlled AMB in x1 Direction

在PID控制算法下，軸承轉子在x2方向上于0.15s和0.25s分別受到-60N和60N的外擾動力下位移動態響應情況，如圖8所示。

圖8 ABSMC控制的AMB在x2方向上的動態位移響應Fig.8 Dynamic Displacement Response of PID Controlled AMB in x2 Direction

在ASBMC控制算法下，與圖8所受相同外擾動力下位移x2動態響應情況，如圖9所示。對比圖6與圖7，圖8與圖9，可以發現在仿真開始階段，在ABSMC 控制時，兩自由度下的位移較于PID控制可快速響應至設定平衡位置。系統在0.15s和0.25s受到兩個方向的擾動時，ABSMC 控制下的系統動態響應較于PID 控制波動明顯減小，且恢復至平衡位置的時間有了明顯降低。仿真結果表明自適應反演滑模控制器提高了磁軸承系統的魯棒性與動態性能。

圖9 ABSMC控制的AMB在x2方向上的動態位移響應Fig.9 Dynamic Displacement Response of ABSMC Controlled AMB in x2 Direction

6 結論

設計了一種基于粒子群算法的自適應反演滑模算法來實現主動磁軸承系統的兩自由度控制，分析了磁軸承系統的數學模型，給出了自適應反演滑模控制器的搭建方法并分析了其穩定性。由于該控制器決定控制品質的系統參數較多，使用粒子群算法優化整定部分參數，提高了系統收斂速度與精度。仿真結果表明在外部環境干擾下，基于粒子群算法的自適應滑模控制器對不確定干擾進行預測使其位移波動減小，使得系統具有更好的魯棒性與動態性能。