半張量積在線性映射中的應用

李東方，劉會彩，張 錦

(1.許昌電氣職業學院公共教學部，許昌 461000；2.聊城大學數學科學學院，聊城 252059)

文[1]中，程代展給出了一種新的矩陣乘法——矩陣的左半張量積，并給出了它在Morgan問題中的應用.隨后，程代展研究員把它應用于幾何、代數、邏輯、圖論、動態系統、故障檢測、模糊控制、非線性控制等領域，效果顯著，取得了豐碩的成果，并把部分成果總結于文獻[2-3]中。在文獻[4]中，程代展、齊洪勝、賀風華等把半張量積方法應用于有限集上的映射表示及動態系統的演化規律及控制，利用新的工具，從新的角度審視，給出了一系列新的結果。在文獻[5-13]中，程研究員等把半張量積應用于布爾網絡控制，先構造了它的代數形式，然后再返回邏輯形式。這與傳統的直接構造布爾網絡的邏輯動態方程的方法截然不同。

本文把程代展研究員定義的矩陣左半張量積應用于線性映射中，從新的視角解決了幾類復雜的線性映射的矩陣表示問題，讓我們看到了用半張量積研究線性映射的優越性。

1 預備知識

給定矩陣A∈Mm×n,B∈Mp×q，如果n=tp，我們記為A?tB；反之，如果nt=p，我們記為AtB。那么左半張量積有如下等價定義：

定義1.3[2]換位矩陣W[m,n]是一個mn×mn矩陣，定義如下：它的行和列都是有雙指標(i,j)標注，列是按照索引Id(i,j;m,n)排列，行是按照索引Id(J,I;n,m)排列，并且位于[(I,J),(i,j)]上的元素的值為

可以看出換位矩陣W[m,n]總是一個正交矩陣。

定理1.2[2]設A∈Mm×n,X∈Mn×q,Y∈Mp×m，則有Vr(AX)=A?Vr(X)，Vc(YA)=AT?Vc(Y)。

定理1.3設A是一個m×n維矩陣，則有(1)Vr(A)=Vc(AT),Vc(A)=Vr(AT)；

(2)W[m,n]Vr(A)=Vc(A),W[n,m]Vc(A)=Vr(A)。

推論1設A是一個m×n維矩陣，則有Vc(AT)=W[n,m]Vc(A),Vr(AT)=W[m,n]Vr(A)。

證明由定理1.3直接可得。

定理1.4[2]設A∈Mm×n,B∈Mp×q，則有A?B=W[p,m]?B?W[m,q]?A=(Im?B)?A。

特別地，有W[p,m]?B?W[m,q]=(Im?B)。

定理1.5[2]設A∈Mm×n,B∈Mp×q，則有

(1)(Ip?A)W[n,p]=W[m,p](A?Ip)；(2)W[m,p](A?B)W[q,n]=(B?A)。

定理1.6[4]設A∈Mm×n,B∈Mp×q,C∈Mn×r，以及D∈Mq×s。那么(A?B)(C?D)=(AC)?(BD)。

特別地，有(A?Ip)(In?D)=A?B。

在文獻[2-3]中已表明左半張量積是普通矩陣乘法的推廣，普通矩陣乘法是它的一種特殊情況。除非為了強調左半張量積，一般情況下我們省略半張量積符號?。

2 主要結論

設X∈Mn×p，我們考慮一般的線性映射ρ:Mn×p→Mm×q，定義如下：

X→AXB+CXTD，

其中，A∈Mm×n,B∈Mp×q,C∈Mm×p,D∈Mn×q。

定理2.1設A∈Mm×n,X∈Mn×p，對于映射ρ:X→AX，則其行展開表示是Vr(ρ(X))=(A?Ip)Vr(X)。

證明由定理1.2可得：Vr(ρ(X))=Vr(AX)=A?Vr(X)=(A?Ip)Vr(X)。

定理2.2設X∈Mn×p,B∈Mp×q,對于映射ρ:X→XB，則其行展開表示是Vr(ρ(X))=(In?BT)Vr(X)。

證明由定理1.2，1.3及1.5可得：

Vr(ρ(X))=Vr(XB)=Vc(XB)T=Vc(BTXT)=W[q,n]Vr(BTXT)=W[q,n](BT?In)Vr(XT)=W[q,n](BT?In)Vc(X)=W[q,n](BT?In)W[n,p]

Vr(X)=(In?BT)Vr(X)。

定理2.3設A∈Mm×n,X∈Mn×p,B∈Mp×q,對于復合映射ρ:X→AXB，則其行展開表示是

Vr(ρ(X))=(A?BT)Vr(X)

證明由定理2.1，2.2及1.6可得：

Vr(ρ(X))=Vr(AXB)=(A?Iq)Vr(XB)=(A?Iq)(In?BT)Vr(X)=(A?BT)Vr(X)

證明定理2.3中令B=A-1可得。

定理2.4設C∈Mm×p,X∈Mn×p，對于映射ρ:X→CXT，則其行展開表示是

Vr(ρ(X))=(C?In)W[n,p]Vr(X)

證明由定理1.2，1.3可得：

Vr(ρ(X))=Vr(CXT)=C?Vr(XT)=(C?In)Vr(XT)=(C?In)W[n,p]Vc(XT)=(C?In)W[n,p]Vr(X)

定理2.5設D∈Mn×q,X∈Mn×p，對于映射ρ:X→XTD，則其行展開表示是

Vr(ρ(X))=(Ip?DT)W[n,p]Vr(X)

證明由定理1.3，2.1可得：

Vr(ρ(X))=Vr(XTD)=Vc(DTX)=W[q,p]

Vr(DTX)=W[q,p](DT?Ip)Vr(X)=W[q,p](DT?Ip)Vc(XT)=W[q,p](DT?Ip)W[p,n]W[n,p]

Vc(XT)=(Ip?DT)W[n,p]Vc(XT)=(Ip?DT)W[n,p]Vr(X)。

定理2.6設C∈Mm×p,X∈Mn×p,D∈Mn×q,對于復合映射ρ:X→CXTD，則其行展開表示是

Vr(ρ(X))=(C?DT)W[n,p]Vr(X)

證明由定理2.4，2.5及1.6可得：

Vr(ρ(X))=Vr(CXTD)=(C?Iq)Vr(XTD)=(C?Iq)(Ip?DT)W[n,p]Vr(X)=(C?DT)W[n,p]Vr(X)

推論3(Lyapunov映射)設A∈Mn×n考慮映射LA:Mn→Mn，定義如下：LA(X)=AX+XAT，則其行展開表示是Vr(LA(X))=(A?I+I?A)Vr(X)。

證明由定理2.1，2.2可得：

Vr(LA(X))=Vr(AX+XAT)=Vr(AX)+Vr(XAT)=(A?I)Vr(X)+(I?A)Vr(X)=(A?I+I?A)Vr(X)。

推論4(辛映射)設A∈Mn×n考慮映射SA:Mn→Mn，定義如下：SA(X)=AX+XTA，則其行展開表示是Vr(SA(X))=(A?I+(I?AT)W[n])Vr(X)。

證明由定理2.1，2.5可得：

Vr(SA(X))=Vr(AX+XTA)=Vr(AX)+Vr(XTA)=(A?I)Vr(X)+(I?AT)W[n]Vr(X)=(A?I+(I?AT)W[n])Vr(X)

推論5(伴隨映射)設A∈Mn×n考慮映射adA:Mn→Mn，定義如下：adA(X)=AX-XA，則其行展開表示是Vr(adA(X))=(A?I-I?AT)Vr(X)。

證明由定理2.1，2.2可得：

Vr(adA(X))=Vr(AX-XA)=Vr(AX)-Vr(XA)=(A?I)Vr(X)-(I?AT)Vr(X)=(A?I-I?AT)Vr(X)

定理2.7設A∈Mn×n,X∈Mn×n,對于復合映射ρ:X→XAX，則其行展開表示是

Vr(ρ(X))=(In?VrT(In))(AT?In)

證明Vr(ρ(X))=Vr(XAX)=XA?Vr(X)

對于XA，我們有

定理2.8設A,B,C,X∈Mn×n，對于復合映射ρ:X→AXBXC，則其行展開表示是

證明由定理2.3可得

Vr(ρ(X))=Vr(AXBXC)=(A?CT)?

Vr(XBX)=(A?CT)?XB?Vr(X)

對于XB，我們有

本文討論的幾種線性映射都是按矩陣的行展開Vr(X)表示。相應的，對于線性映射的列展開Vc(X)表示也有類似的結論成立，這里不再贅述。

3 應用

作為應用，下面我們給出計算一般線性群的李代數。一般線性群記作GL(n,R)，把它看作Rn×n的一個開子集，它是一個解析流形。在這個流形結構下，乘法和逆運算都是解析的。因此，它是一個李群。李群的所有左不變向量場構成它的李代數。

又因為F(X)是左不變的，A左平移到X的向量正好是F在該點的值，故

上式最后一個等號由定理2.1得到。因此，F(X)在X的矩陣形式是XA。

接著給定兩個左不變向量場F和W，分別由A和B生成。由上面的過程可知，F和W的矩陣形式分別是F(X)=XA和W(X)=XB。利用定理2.1，在向量形式下，它們可以分別表示成

F(x)=(In?AT)x，W(x)=(In?BT)x

這里x=Vr(X)。

根據公式[14]

我們有

[F(x),W(x)]=(In?BT)(In?AT)x-(In?AT)(In?BT)x=((In?BT)(In?AT)-(In?AT)(In?BT))x=(In?BTAT-In?ATBT)x=(In?(BTAT-ATBT))x=(In?(AB-BA)T)x

再次利用定理2.1，[F(x),W(x)]的矩陣表示是(AB-BA)X，也就是由AB-BA生成的左不變向量場。因此，李群GL(n,R)的李代數gl(n,R)上的李括號是[A,B]=AB-BA。