哥德爾定理中遞歸結構在圖形設計中的探究

摘要：本文簡要分析自我遞歸結構在埃舍爾幾幅著名作品中的應用，以圖形設計過程中設計靈感的獲取、設計程序的敲定、設計信息的提煉之間的內在聯系為基礎，對獲取的設計元素在圖形視覺形態上進行整合，最終應用于圖形設計的設計實踐中，為今后的遞歸結構應用到圖形設計領域以及數理邏輯與藝術設計領域的結合提供科學理論研究與案例參考。

關鍵詞：哥德爾不完備定理 遞歸函數 埃舍爾 圖形設計

美國作家侯世達的《哥德爾，艾舍爾，巴赫——集異璧之大成》一書，將哥德爾的數理邏輯、埃舍爾的版畫、巴赫的音樂貫穿在一起，揭示出三者之間“三位一體”“殊途同歸”的關系。哥德爾深奧的數理邏輯與埃舍爾的版畫和巴赫的音樂有著相同的“自指遞歸”。埃舍爾用他的版畫表現出視覺藝術的怪圈，他的名言是“誰敢確定地板不是天花板”;本著自指遞歸的思維，巴赫創造出“合理錯位”但結尾又能回到開頭的《卡農》;哥德爾依靠數理邏輯來推理數理邏輯本身，從而創造出了哥德爾不完備定理。

一、哥德爾定理簡述

（一）哥德爾不完備定理

作為數學界最重要的定理之一，其“不完備定理”的影響已經遠遠超過了數學領域，尤其是哥德爾的不完備定理在推理過程中使用的原始遞歸函數如今在元數學、邏輯學、音樂、藝術設計方面也產生重要影響。

哥德爾不完備定理認為：在一個足夠復雜的公理體系形式系統中（包含皮亞諾算術公理），都存在一個命題，它在這個系統內既不能被證明也不能被否定。簡言之，哥德爾認為：數學系統是不完備的，并且還是不可完備的。

（二）遞歸函數與遞歸結構

據甘迪（Robin Gandy，1919—1995）考證，首先使用“遞歸”術語的人是形式主義學派“首領”希爾伯特。原始遞歸函數是由哥德爾首先提出來的，現如今仍然是計算機理論的一個重要概念。所謂的原始遞歸函數是指由初始函數開始，經過有限次數的代入于原始遞歸式而作出的函數。

不管是哥德爾首先提出的原始遞歸函數，還是后來提出的一般遞歸函數，其實都是一種典型的遞歸結構。遞歸函數關系本質是一種迭代關系，而迭代實質上是一個循環反饋的過程，即由最初的函數（或自身）作為“輸入”，由“輸入”通過遞歸得到“輸出”，隨后把得到的“輸出”再作為“輸入”引入函數，不論是多復雜的遞歸函數，都可以看作是一種把“果”又當成“因”的循環迭代過程。這樣一種互為因果、互為輸入與輸出的循環迭代過程就是遞歸過程或成為遞歸結構。而這種互為因果、互為輸入與輸出的循環過程在埃舍爾的版畫中體現得淋漓盡致，創造出了許多令人驚奇的圖形設計作品。

哥德爾當時所說的一般遞歸函數，可根據它本身的定義理解為“在有限證明步驟內可以計算的函數”。如今數學界已經證明：可以從初始函數開始以有限步驟計算出的函數都是遞歸函數。在《哥德爾，艾舍爾，巴赫——集異璧之大成中》，作者通過自指遞歸思維將哥德爾不完備定理，埃舍爾自相纏繞的版畫，巴赫循環上升最終又回到起點的音樂三者緊密聯系在一起。本文重點探討遞歸結構在埃舍爾版畫中的應用以及與圖形創新設計的結合。

二、遞歸結構在埃舍爾版畫中的應用

作為20世紀荷蘭著名版畫家的埃舍爾，他的畫作因包含大量的數學性、物理性以及哲學性被許多數學家、畫家所喜愛。埃舍爾將二維空間里視覺元素以及遞歸過程描繪在三維空間的真實場景中，并且畫面沒有一絲違和感，其中自相纏繞的怪圈或自指遞歸過程經常作為主體出現在他的畫中。

1960年，英國數學家莫比烏斯勸埃舍爾創作一幅表現莫比烏斯帶的版畫，隨后埃舍爾在充分了解莫比烏斯帶后創作出一系列優秀的拓撲學版畫，例如《莫比烏斯帶II》（圖1）。《莫比烏斯帶II》中的這只螞蟻沿著莫比烏斯帶走了一整圈最后又回到原位，沒有跳躍，也沒有跨越什么邊界，無可辯駁地證明這個結構只有一個面。螞蟻的行走路徑陷入了一個無限循環的怪圈，以自身為初始函數開始計算完成了一個簡單的遞歸過程。

《手畫手》（圖2）是埃舍爾一生中最有名的作品之一，畫中一只右手正在畫左手的袖子，同時左手也在執筆畫右手，此時正好處在快要結束的位置，達到了一種平衡。這是一種循環，就像前面的遞歸結構，從一個層次進入了另一個層次，然后又返回到原來的層次，進行了一種無限的循環。這幅畫的空間由于手的形態，在一個二維畫面中創造了一個三維立體世界。

《畫廊》（圖3），畫廊里左下角是畫廊的入口，畫廊內正在進行展覽。我們看到一個男青年站在一幅畫前看畫，其畫上是一座水城，有很多樓房，有一艘船在水面行駛，最右角有一棟角樓，角樓是一間畫廊的入口，畫廊內正在進行展覽，男青年站在那里看畫……畫面將整個畫廊、水城樓房、看畫男青年放在了一個平面中，形成了一個遞歸循環的怪圈。這個遞歸循環過程可以如圖4那樣抽象地表達出來。

埃舍爾創造出許多充滿矛盾卻令人驚嘆的作品，在他的許多作品中，都通過分割、對稱、循環、連續、遞歸等方法，把許多三維物體在二維平面上表現出來。其中的某一個設計元素，在同一個系統內循環上升或者循環下降，這個設計元素又回到了原來開始的地方。這是一個循環怪圈，也是一個自指遞歸的過程。

三、遞歸結構在圖形設計中的應用

筆者從埃舍爾版畫中的循環怪圈、自指遞歸結構中受到啟發，探究其在圖形設計中的應用。

首先在埃舍爾版畫中進行設計靈感的獲取，埃舍爾版畫中使用了大量的球面來表示反射和透視的圖，比如《陽臺》（圖5），以陽臺和盆栽為中心進行突出顯示，整個建筑物呈球形膨脹起來。而進行循環遞歸的圖形設計創作，球體是最好實現的結構模型。

其次在設計元素提取上，采用解構式球形、藍色海浪、帆船構成循環遞歸，設計程序使用5W1H模型。

Why：根據數學原理中的遞歸結構與圖形進行結合進行創新設計。

What：（1）在哥德爾定理中提取遞歸結構模型;（2）探究遞歸結構在埃舍爾版畫中的應用;（3）將遞歸結構用于圖形設計實踐中做出一個創意圖形。

Where：用于創意圖形設計。

Who：1人。

When：2020年第二學期。

How：（1）色彩定位：外部海浪天藍色，內部采用深藍色，帆船采用褐色與紅色;（2）元素定位：解構球體模型，海浪漩渦以及帆船;（3）特點定位：通過圖形體現遞歸結構在其中的應用。

最后在確定設計元素、主題顏色、設計程序后進行設計，如圖6所示，從最底部來看帆船從漩渦開始，帆船沿海浪循環上升，最終到達最頂部的漩渦，隨后又循環下降回到最底部的漩渦之中，從而形成一個遞歸循環的怪圈，圖形也體現了漁民出海與歸來的路徑情景。

四、結語

本文以哥德爾不完備定理為指導，借助其推理過程中的遞歸函數，總結出遞歸結構與模型，以遞歸結構在埃舍爾版畫中的應用作為理論支撐，探究其在圖形設計中的具體應用。

遞歸結構能夠作為一種有效的設計思維方法應用在圖形、造型創造性的設計實踐之中，從而形成一個靈活有趣、富有深意的創意圖形。同時，遞歸結構（包含自我遞歸結構）能夠完全融入藝術設計領域之中，特別是在圖形、造型設計之中，進而促進藝術設計跨學科設計思維的發展。遞歸結構與認知結構有部分相似性，是一種“大遞歸中套小遞歸”的層次嵌套結構和過程，且當前的遞歸結構只能滿足我們當前的需求或設計需求，隨著認知需求和設計需求的不斷更新，遞歸結構也會被更新優化，應用在圖形、造型設計中也會創新優化，從而產生符合這個時代需求的創意圖形。

本文只是就遞歸結構對圖形進行創意設計，更細致的內容還有待于思考探究，但筆者相信，遞歸結構融入藝術設計領域中，能夠為設計師從事設計實踐工作時提供靈感，無論是藝術設計，還是遞歸結構，都能夠在創新、批駁、再創新、再批駁的過程中不斷走向科學與成熟。

參考文獻：

[1]侯世達.哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成[M].嚴勇，劉皓明，莫大偉，譯.北京：商務印書館，1997.

[2]布魯諾·恩斯特.魔鏡：埃舍爾的不可能世界[M].田松，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.

[3]郭勝男.矛盾與悖論在條件下合理性的遞歸論[D].大連工業大學，2015.

[4]余勁松，陳勝利.遞歸對象模型在圖形設計中的應用[J].包裝工程，2018，39（10）：74-79.

[5]郝寧湘.丘奇——圖靈論點與認知遞歸計算假說[J].自然辯證法研究，1997（11）：19-23.

[6]莫紹揆.遞歸論[M].北京：科學出版社， 1987.

[7]林迅.文化和藝術中的數學——M.C.埃舍爾圖形創意的數學觀研究[J].上海交通大學學報（哲學社會科學版），2010，18（05）：37-45.

[8]孫言.埃舍爾的藝術思潮影響[J].金田，2013（05）：76.

[9]紫圖大師圖典叢書編輯部.埃舍爾大師圖典[M].西安：陜西師范大學出版社，2003.

（作者簡介：董天碩，男，碩士研究生在讀，曲阜師范大學美術學院，研究方向：視覺傳達設計）

（責任編輯 劉月嬌）