輔助角公式幾何推證和工程實例應用

李金泰 韓焱 曹洪 張俊康

【摘要】輔助角公式被廣泛運用于工程力學計算，但其幾何意義卻鮮為人知.因此，本文采用幾何變換法推證輔助角公式，提供一種在幾何意義上的理解方法.同時，舉例說明輔助角公式在工程實例中的應用.

【關鍵詞】輔助角公式;幾何推證;工程實例

一、引言

輔助角公式是李善蘭先生提出的一種高等三角函數公式，使用代數式可表達為：

asin x+bcos x=a2+b2sin x+arctanba （a>0），

asin x+bcos x=a2+b2cos x-arctanab （b>0）.

雖然該公式已被寫入課本，但其幾何意義卻鮮為人知.

本文提供一種輔助角公式的幾何推證方法和在幾何意義上的理解方法，以供廣大學者、同行們參考.同時，舉例說明輔助角公式在工程實例中的應用.

二、幾何推證及意義

（一）幾何推證

如圖1所示，有兩個相似的直角三角形△ABC，△DEF，其中A，D重合.

設∠CBA=∠FED=x，BC=a，EF=b.

則AC=BCsin x=asin x，

DE=EFcos x=bcos x.

先將△DEF以D點為中心順時針旋轉90°，再將△DEF沿FD方向平移，使F點與B點重合，得到圖2.

將線段DE向右平移，使D點與A點重合，得到線段AG，再連接CE，EG，就得到新的三角形△CEG，如圖3所示.

易得∠CBE=90°，所以CE=a2+b2.

又DE=AG，所以CG=AC+AG=asin x+bcos x.

由于∠CEB=arctan BCEF=arctan ab，

∠BEG=π2-x.

所以CG=asin x+bcos x=CEsin ∠CEG=a2+b2·sin （∠CEB+∠BEG）

=a2+b2sin? arctanab+π2-x

=a2+b2sin? π2-arctanba+π2-x

=a2+b2sin? π-arctanba-x

=a2+b2sin? x+arctanba，

即asin x+bcos x=a2+b2sin? （x+arctanba）.

又本證明中，BC必然大于0，所以a>0.

即可證明輔助角公式成立.

對asin x+bcos x=a2+b2cos x-arctanab（b>0）的證明亦然.

（二）幾何意義

在此證明中，asin x+bcos x為一個斜邊長為a的直角三角形ABC的∠ABC的對邊和另外一個斜邊長為b的與三角形ABC相似的直角三角形的∠DEF的鄰邊長度的和.該數值等于以a和b為直角邊長的直角三角形的斜邊長乘sin x+arctan ba，或者等于以a和b為直角邊長的直角三角形的斜邊長乘cos x-arctan ab.

在圖3中，△ABC和△DEF是兩個相似的直角三角形，其斜邊長分別為a和b，∠ABC=∠DEF=x，則CG=AC+DE，EG=BD-AB，以CG和EG為直角邊，可得到

另一個直角三角形，該三角形的斜邊長為a2+b2，進

而可得代數表達式：（asin x+bcos x）2+（acos x-bsin x）2=a2+b2.

如圖4所示，以將BC和EF為直角邊的直角三角形斜邊的中點為圓心作圓，可以發現新直角三角形CEG的直角頂點一定位于圓上.

該幾何證明的特殊情況說明：

若這兩個相似直角三角形，在一個銳角為x的前提下，一個三角形中該角的一個對邊和另外一個三角形中該角的鄰邊相等，則可得到asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0），

即當acos x=bsin x時，

asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0）.

亦為tan x=ab時，asin x+bcos x=a2+b2（a，b>0）.

三、工程實例應用

（一）實例

計算汽車吊吊裝時，在支腿最大反力計算部分會用到本輔助角公式.

當汽車吊被用在工程結構，如地下室頂板上拆卸塔式起重機時，需要考慮最不利的情況的結構安全，即將支腿最大反力和結構的安全承載力進行比較.其最大反力計算如下.

汽車吊在工作時，其計算模型可簡化為圖5、圖6.

計算模型中，F=吊重，G=汽車吊自重+吊重，M=F×L，L=汽車吊的起重臂工作幅度，A為左、右支腿間距，B為前、后支腿間距，汽車吊回轉中心位于4個支腿交叉連線的交點處.

各個支腿的反力分別為N1，N2，N3，N4，每個支腿的反力均由兩部分組成，一是G[]4，二是各支腿平衡彎矩M在x，y軸的兩個分量所產生的支反力.

當起重臂位于圖5所示的位置時，起重臂與x軸的夾角為a，吊重F在x軸方向上的彎矩分量為M×cos? a，分別由支腿1，2產生的支反力平衡;在y軸方向上的彎矩分量為M×sin? a，分別由支腿2，3產生的支反力平衡.

又易知0≤a≤π，可得支腿2的支反力最大.

N2=G4+M×sin a2×A+M×cos a2×B，

故支腿最大反力即為N2取最大值的情況.

根據輔助角公式，asin x+bcos x=a2+b2·sin x+arctanba（a>0），

sinx+arctanba的最大值為1，則可得到

N2max=G4+M×sin a2×A+M×cos a2×B

=G4+M12×A2+12×B2.

這樣就得到了最大的支腿反力.

然而，在實際操作中，不少的工程師會對N2max的取值產生迷惑.

（二）錯誤舉例

在實際運用中容易出現“當a=45°時，可得N2max”這種經驗取值.

錯誤分析：實際上，只有當左右支腿間距和前后支腿間距相等的時候，即A=B時，才會有a=45°時，N2取最大值.盡管多數汽車吊，左右支腿間距和前后支腿間距較為接近，但依舊很少有相等的情況，例如QY25K汽車吊，其前后支腿間距為5140 mm，而左右支腿間距為6000 mm.

盡管多數汽車吊左右支腿間距和前后支腿間距較為接近，這樣當a=45°時，其支腿反力和最大支腿反力相近.但倘若，場地受限，汽車吊僅能半伸支腿而不能全伸支腿時，使用45°取值就會出現較大誤差.

四、總結

輔助角公式其幾何意義如下：

asin x+bcos x為一個斜邊長為a的直角三角形的x度銳角的對邊和另外一個斜邊長為b的與之相似的三角形的x度角的鄰邊長度的和.該數值等于以a和b為直角邊長的直角三角形的斜邊長乘sin x+arctanba，或者等于以a和b為直角邊長的直角三角形的斜邊長乘cos x-arctanab.

輔助角公式在工程中的應用眾多，汽車吊吊裝時最大支腿反力的計算便可使用該公式分析，然而部分工程師并未深刻理解該公式，從而導致計算錯誤.

【參考文獻】

[1]盛登，胡小平.三角函數中輔助角公式的新證法及其應用[J].中學數學教學參考，2017（33）：44-46.