也談二次無理數展成多重特定無窮連分數

孔慶海

【摘要】文章給出了把二次無理數展成其整數部分與一個特定二重無窮循環連分數的和，以及展成其整數部分與一個特定三重無窮循環連分數的和，給出部分常用展式，并給出了兩個有趣的事實， 希望能激發學生學習數學的興趣.

【關鍵詞】無理數;二重無窮連分數;三重無窮連分數

定理1設a，b是正整數，且b≤a，則二重無窮連分數

ba+ba+ba+… =a2+4b2-a2.

證設這個二重無窮連分數的值為k，

顯然 0

于是k=a2+4b2-a2，

即ba+ba+ba+…=a2+4b2-a2，

或a2+4b2=a2+ba+ba+ba+….

于是只要取合適的正整數a，b（b≤a）的值，就可以把二次無理數展成一個正整數與特定二重無窮循環連分數的和的形式.只要取a=2n，n∈N+，顯然可得到下面的推論.

推論

n2+b=n+b2n+b2n+b2n+…，（b≤2n）.

為方便，將上式記作

n2+b=（n|b，2n），b≤2n.

于是有如下展式：

2=1+12+12+12+…，（n=1，b=1），

記作2=（1|1，2）;

3=1+22+22+22+…，（n=1，b=2），

記作 3=（1|2，2），

類似地，

5=（2|1，4）， 6=（2|2，4），

7=（2|3，4）， 8=（2|4，4），

10=（3|1，6）， 11=（3|2，6），

12=（3|3，6）， 13=（3|4，6），

14=（3|5，6）， 17=（4|1，8），

18=（4|2，8），19=（4|3，8），

20=（4|4，8），21=（4|5，8），

22=（4|6，8），23=（4|7，8），

……

10001=（100|1，200），

1234400=（1111|79，2222）.

定理2設a，b，c是正整數，且b≤a，b≤c，a≠c，

則三重無窮連分數

ba+bc+ba+bc+b…=a2c2+4abc2a-c2.

證設這個三重無窮連分數的值為k，

顯然 0

于是k=a2c2+4abc2a-c2，

即ba+bc+ba+bc+b…=a2c2+4abc2a-c2，

或c24+bca=c2+ba+bc+ba+bc+b….

特別地，取c=2n，n∈N+， 顯然可得到下面的推論.

推論

n2+2bna=n+ba+b2n+ba+b2n+b…，（b≤a，b≤2n，a≠2n）.

為方便，將上式記作

n2+2bna=（nb，a，b，2n），a≠2n，b≤a，b≤2n.

這樣，只要取合適的正整數a，b，n的值，就可以把某些二次無理數展成一個正整數與特定三重無窮循環連分數的形式.有趣的是：（1）符合這種特定要求的展法不唯一;（2）有的無理數不能展成這種特定要求三重無窮循環連分數的形式，例如7，14，21，23等.

下面是一些無理數展成上述三重無窮連分數的形式.

2=1+24+22+24+22+…，（n=1，a=4，b=2），

記作 2=（1|2，4，2，2）;

3=1+11+12+11+12+…，（n=1，a=b=1），

記作 3=（1|1，1，1，2）.

類似地，

5=（2|b，4b，b，4），（b=2，3，4），

6=（2|b，2b，b，4），（b=1，3，4），

8=（2|b，b，b，4），（b=1，2，3），

10=（3|b，6b，b，6），（b=2，3，4，5，6），

11=（3|b，3b，b，6），（b=1，3，4，5，6），

12=（3|b，2b，b，6），（b=1，2，4，5，6），

13=（3|2b，3b，2b，6），（b=1，3），

15=（3|b，b，b，6），（b=1，2，3，4，5），

17=（4|b，8b，b，8），（b=2，3，4，5，6，7，8），

18=（4|b，4b，b，8），（b=1，3，4，5，6，7，8），

19=（4|6，16，6，8），

22=（4|3，4，3，8），

24=（4|b，b，b，8），（b=1，2，3，4，5，6，7），

……

10001=（100|b，200b，b，200），（b=2，3，...，200），

1234400=（1111|79b，2222b，79b，2222），（b=2，3，…，28）.

【參考文獻】

[1] 趙義超.也談連分數[J].文教資料，2005（25）：164-165.

[2] 何雅.連分數及其基本性質[J].長江工程職業技術學院學報，2004， 21（1）：50-52.

[3] 李復中.初等數論選講[M].長春：東北師范大學出版社，1984.