用等價無窮小代換求極限的幾個問題

周繼振 張曉亮 許峰

【摘要】本文指出了高等數學中應用等價無窮小代換求極限的幾種常見錯誤，分析了產生錯誤的原因，并給出了應用等價無窮小求極限的條件.

【關鍵詞】無窮小;等價無窮小代換;極限

【基金項目】安徽省教育廳省級質量工程支持：2020jyxm0440.

等價無窮小代換是高等數學中求極限的一個有效且重要的方法，也是學生需要掌握的重點內容，其在考研和數學競賽中經常出現.然而，看似簡單的等價無窮小代換也有很多陷阱，若學生對使用等價無窮小代換的條件不能夠深入理解，則極易出現各種錯誤.本文將分析使用等價無窮小代換時出現的常見錯誤以及原因.首先來回憶一下相關概念.

定義1若limx→0 f（x）=0，則稱當x→0時，f（x）為無窮小.

定義1中的極限過程x→0可以換為其他極限過程，例如x→∞ 或x→1+ ，根據定義1，易得1[]n（n→∞），x2（x→0），1[]x-1（x→∞）均為無窮小.本文的極限過程總以x→0為代表.

定義2設limx→0 α=limx→0 β=0，若limx→0βα=C，則稱x→0時，α與β是同階無窮小.若C=1，則稱x→0時，α與β是等價無窮小，記為α～β.

根據高等數學中的兩個重要極限，易得當x→0時，sin x～x，ln（1+x）～x.等價無窮小的重要性體現在下面的定理上.

定理1設α～α′，β～β′，x→0，且limx→0 β′[]α′存在，則

limx→0βα=limx→0β′α′.

該定理的證明在高等數學教科書上能查到，在此證明省略.應用定理1時，大多是省略驗證條件limx→0β′α′存在.下面通過一個例子來說明在求解極限時如何使用定理1.

例1求極限limx→01+xsin x-1ex2-1.

解因為1+x-1～x2，ex-1～x，x→0，故

limx→01+xsin x-1ex2-1=limx→012xsin xx2=12limx→0sin xx=12.

那么在使用的過程中學生容易犯的錯誤是什么呢？或者需要注意的地方有哪些呢？

一、加減運算中不可用等價無窮小代換，同階不等價無窮小可以用等價無窮小代換

例2求極限limx→0x-sin xsin 3x .

該題的常見錯誤是分子直接用等價無窮小sin x～x，x→0代換，從而得出錯誤結論，即

limx→0x-sin xsin 3x=limx→0x-xx3=limx→00x3=0.

正解根據泰勒公式，易得sin x=x-13！x3+ox3，故

limx→0x-sin xsin 3x=limx→0x-x-13！x3+ox3x3=limx→013！x3-ox3x3=16.

例3求極限limx→0cossin x-cos xx4.

請讀者指出下面的解題過程錯在哪里.

limx→0cossin x-cos xx4=-2limx→0sin sin x+x2sin sin x-x2x4

=-limx→0（sin x+x）（sin x-x）2x4

=limx→0x2-sin 2x2x4=limx→0x-sin xcos x4x3

=limx→0x-sin x4x3=124.

上面倒數第二步作等價無窮小代換sin xcos x～sin x，x→0是錯誤的，在這里繼續用洛必達法則就可得出正確結論.

正解接上面解題過程的第三步可得

limx→0cos（sin x）-cos xx4=limx→0x2-sin 2x2x4

=limx→0x-sin xcos x4x3

=limx→01-cos 2x+sin 2x12x2

=16.

在加減運算中，什么條件下可以用等價無窮小代換呢？下面的定理2給出了回答.

定理2設α～α′，x→0，limx→0α-α′γ=0且limx→0α′-βγ存在，則

limx→0α-βγ=limx→0α′-βγ.

證明利用極限的運算法則，直接展開計算得

limx→0α-βγ=limx→0α-α′γ+α′-βγ

=limx→0α-α′γ+limx→0α′-βγ

=limx→0α′-βγ.

定理證畢.

條件limx→0α-α′γ=0也可以記為α-α′=o（γ），即α-α′為γ的高階無窮小.

例3中，顯然limx→0sin x-sin xcos x4x3=limx→0sin x1-cos x4x3=18，

不符合定理2的條件.

例4求極限limx→0x-sin xcos x4x2.

解因為limx→0sin x-sin xcos x4x2=limx→0sin x1-cos x4x2=limx→01-cos x4x=0，故可用等價無窮小代換sin xcos x～sin x，x→0，得

limx→0x-sin xcos x4x2=limx→0x-sin x4x2=0.

二、復合函數的中間變量不可用等價無窮小代換

這里以高等數學中常見的未定型為例.

例5求limx→0sin xx1x2.

解limx→0sin xx1x2=limx→01+sin x-xxxsin x-xsin x-xx3=explimx→0sin x-xx3=e-16.

若這里采用等價無窮小來化簡計算，則得如下的錯誤結論：

limx→0sin xx1x2=limx→0xx1x2=1.

下面分析上面的錯誤解法到底錯在哪里.

定理3α～α′～β，x→0，limx→0f（x）=∞，limx→0αα′f（x）=1且limx→0α′βf（x）存在，則

limx→0αβf（x）=limx→0α′f（x）.

證明注意到

αβf（x）=αα′×α′βf（x）=αα′f（x）×α′βf（x），

從而

limx→0αβf（x）=limx→0αα′f（x）×limx→0α′βf（x）=limx→0α′βf（x）.

定理證畢.

根據定理3，得limx→0αβf（x）不能代換為limx→0α′βf（x）的原因是limx→0αα′f（x）=1未必成立.易驗證例5不滿足定理3的條件，見例5的正解過程.請讀者驗證limx→0sin xx1x可以作等價無窮小代換sin x～x，x→0.

類似于定理3，可得00型也可用等價無窮小代換.

推論1設α～α′，x→0，limx→0 β=0且limx→0 βln? α′存在，則

limx→0 αβ=limx→0 α′β.

證明注意到

αβ=expβln α=expβln αα′+ln α′，

從而

limx→0 αβ=explimx→0 βln α=explimx→0βln αα′+ln α′

=explimx→0 βln? α′=limx→0 α′β.

定理證畢.

例6求limx→01-cos xx.

解limx→01-cos xx=limx→0x22x=limx→01xlimx→0x2x=explimx→0 2xln x=0.

三、遇零不可用等價無窮小代換

在定理1中，當x→0時，limx→0 α=0，切記，當x≠0 時，則α≠0.

例7指出

limx→0sinx2sin 1[]x[]x=limx→0x2sin1[]x[]x=limx→0 xsin 1[]x=0的錯誤，并給出正確解法.

解令xn=1nπ，則x2nsin 1xn=0，sin x2sin 1x～x2sin 1x，x→0錯誤，正解如下.

顯然，

sin x2sin 1x=sin x2sin 1x≤x2sin 1x≤x2，

故對ε>0，取δ=ε，當0<|x|<δ時，

有sin x2sin 1xx=x2x≤|x|<δ=ε，

從而limx→0sin x2sin 1xx=0.

上述幾種利用等價無窮小代換求極限的方法，學生容易出錯的原因是沒有理解等價無窮小以及等價無窮小代換在乘除中的應用，個別題目在滿足一定的條件下，加減和復合運算中也可以使用等價無窮小代換，但是條件驗證較為復雜，這里不推薦使用.

【參考文獻】

[1]許峰，范自強.高等數學：上[M].北京：人民郵電出版社，2016.

[2] 趙瓊.用等價無窮小代換求極限的兩個誤區[J].高等數學研究，2009，12（5）： 17-18.

[3] 國防科學技術大學大學數學競賽指導組.大學數學競賽指導[M].北京：清華大學出版社，2009.