對一道全國大學生數學競賽題的探討

王艷

【摘要】本文從一道2020年全國大學生數學競賽試題出發，給出關于該試題的推廣，并舉例說明其應用.

【關鍵詞】 冪指函數;極限;導數;積分

【基金項目】2020年安徽省質量工程項目：高職數學課程思政教學團隊（項目編號：2020kcszjxtd51）;安慶職業技術學院高職數學課程建設項目.

一、引言

在2020年11月全國大學生數學競賽初賽中有一道如下試題：

設f（x），g（x）在x=0的某一鄰域U內有定義，對任意x∈U，f（x）=g（x），且limx→0f（x）=limx→0g（x）=a>0，則limx→0f（x）g（x）-g（x）g（x）f（x）-g（x）=.

解由于limx→0f（x）=limx→0g（x）=a>0，所以由極限的保號性，存在x=0的一個去心鄰域U0，使得對x∈U0，有f（x）>0，g（x）>0.下面開始計算：先分子、分母同除以[g（x）]g（x），得

limx→0[f（x）]g（x）-[g（x）]g（x）f（x）-g（x）=limx→0f（x）g（x）g（x）-1f（x）-g（x）·[g（x）]g（x）=aalimx→0f（x）g（x）g（x）-1f（x）-g（x）……（Ⅰ）.

這里f（x）g（x）g（x）是冪指函數，由反函數的性質f-1f（x）=x，有

f（x）g（x）g（x）=elnf（x）g（x）g（x）=eg（x）lnf（x）g（x）.

由等價無窮小替換，當x→0時，g（x）·lnf（x）g（x）→0，有eg（x）lnf（x）g（x）-1～g（x）lnf（x）g（x），

則

（Ⅰ）式=aalimx→0g（x）lnf（x）g（x）f（x）-g（x）

=aalimx→0g（x）ln1+f（x）g（x）-1f（x）-g（x）……（Ⅱ）.

再由等價無窮小替換，當x→0時，f（x）g（x）-1→0，

有ln1+f（x）g（x）-1～f（x）g（x）-1，

則（Ⅱ）式=aalimx→0g（x）f（x）g（x）-1f（x）-g（x）=aalimx→0f（x）-g（x）f（x）-g（x）=aa.

這道題主要用到冪指函數極限的相關性質.冪指函數形如f（x）g（x），這個函數既像冪函數又像指數函數，它的特點是底數和指數都是變量.我們初識冪指函數是在學習初等函數的時候，很多同學認為它不是初等函數或者錯誤地進行初等分解，其實冪指函數是初等函數，它滿足初等函數的所有性質.在高等數學學習過程中，很多內容都涉及冪指函數，例如求極限和求導，特別是求導的時候，很多同學會錯誤地把它當成冪函數或指數函數的復合函數來求導.本文基于幾道競賽題和習題推廣冪指函數在導數和不定積分中的應用，并給出一些對應的解題方法.

二、相關問題的進一步探討

（一）冪指函數的極限

這類題型一般有兩種解題方法：（1）取對數化成隱函數;（2）利用冪指函數指數化.

冪指函數指數化又分為兩種：f（x）和g（x）都是關于x的函數，為了方便，簡記為g和f.

① 設lim f=a>0，lim g=b，則lim fg=lim eln fg=elim gln f=ab=（lim f）lim g.

② 1∞型未定式.設lim f=1，lim g=∞，利用等價無窮小替換，ln f～f-1，則lim fg=elim gln f=elim（f-1）g.

例1 limx→0sin x2+cos 2x1x.（第八屆北京大學生數學競賽大專組第4題）

解方法一：取對數化成隱函數.

設y=sin x2+cos 2x1x，

則ln y=lnsin x2+cos 2x1x=1xlnsin x2+cos 2x.

由洛必達法則，得

limx→0lnsin x2+cos 2xx=limx→012cos x2-2sin 2xsin x2+cos 2x1=12，

即limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.

方法二：冪指函數指數化.這里又可以分兩種解法：

limx→0sin x2+cos 2x1x=elimx→0sin x2+cos 2x-1·1x

=elimx→0sin x2-2sin2xx=e12.

或limx→0sin x2+cos 2x1x=limx→01+sin x2-2sin 2x1x

=limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x·sin x2-2sin 2xx，

由于limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x=e，

limx→0sin x2-2sin 2xx=limx→0sin x2x2·2-0=12，

所以limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.

（二）冪指函數的求導或微分

1.冪指函數的求導

這類題型一般用指數函數求導法或取對數求導法.下面對指數函數求導法和取對數求導法做簡要說明.

設f（f>0）和g都可微，

① 指數函數求導法：利用恒等式fg=egln f，得

（fg）′=（egln f）′=eg ln f（gln f）′=fgg′ln f+gf′f.

② 取對數求導法：等式y=fg（f>0）兩邊取對數，ln y=ln fg=gln f，再求導，1yy′=g′ln f+gf′f，得（fg）′=fgg′ln f+gf′f.

例2若u=xyyx，求uy.（第六屆北京市大學生數學競賽大專組第8題）

解用取對數求導法，u=xyyx兩邊同時取對數，得

ln u=lnxy-lnyx=1xln y-1yln x.

等式兩邊對y求導，得1uuy=1x·1y+1y2·ln x，

即uy=xy1-xyx1x+ln xy.

本題直接用乘積的求導公式和冪函數及指數函數的求導公式也可以得到結果.

u=xyyx=x-1y·y1x，把x，y 當作獨立的變量，則

uy=x-1y·ln x·-1y′·y1x+x-1y·1x·y1x-1·y′

=x-1y·1y2·y1x·ln x+x-1y·y1x-1·1x·1

=x-1y·y1x-1·ln xy+x-1y·y1x-1·1x

=xy1-xyx1x+ln xy.

2.冪指函數的微分

有時候遇到求多元函數的偏導數僅僅用指數函數求導法或取對數求導法并不容易得出正確的答案，這時候需要用到全微分的計算公式和隱函數的微分法.

① 若函數z=f（x，y）可微，則dz=fx（x，y）dx+fy（x，y）dy.由一階全微分形式的不變性，不管x，y是自變量還是中間變量，該等式都成立.

② 隱函數的微分法：若二元方程確定的一元隱函數F（x，y）=0，y=y（x），則dydx=-FxFy;

若三元方程確定的二元隱函數F（x，y，z）=0，z=z（x，y），則zx=-FxFz，zy=-FyFz.

例3設z=f（x，y）是由方程zx=yz確定的，求z對x的偏導數.

解方法一：兩邊同時取對數，有xln z=zln y，

兩邊同時求微分，d（xln z）=d（zln y），

ln zdx+x1zdz=ln ydz+z1ydy，

化簡，得xz-ln ydz=-ln zdx+zydy，

x-zln yzdz=-ln zdx+zydy，

即dz=-zln zx-zln ydx+z2yx-zln ydy，

得到zx=-zln zx-zln y=zln zzln y-x.

方法二：設Fx，y，z=zx-yz，

則Fx=zxln z，Fy=xzx-1-yzln y，

zx=-FxFy=-zxln zxzx-1-yzln y=zxln zyzln y-xzx-1=zxln zzxln y-xzx-1，

等式右端分子、分母同時除以zx，得zx=zln zzln y-x.

（三）冪指函數的不定積分

這類題型實質上是冪指函數求導的逆過程，主要用到湊微分法，掌握了冪指函數求導方法，處理相關積分就容易多了.下面給出被積函數是一階導數和二階導數的不定積分公式.

設f（f>0）和g都可微，則∫f gg′ln f+gf′fdx=∫f g（gln f）′dx=∫（f g）′dx=f g+C，其中C為任意常數.由于（f g）′=f g（gln f），有（f g）″=f ggln f″+gln f′2，所以

f g{（gln f）″+[（gln f）′]2}=（f g）″dx2=f g+C1x+C2.

有時候也會遇到被積函數是高階導數的不定積分，求解方法同上.下面給出例題加深理解.

例4求不定積分：

∫xx（1+x+xln x）dx.

解原式=∫xx+11+xx+ln xdx

=∫xx+1（x+1）（ln x）′+ln x（x+1）′dx

=∫xx+1[ln x（x+1）]′dx

=∫（xx+1）′dx

=xx+1+C.

三、結論

冪指函數既不是冪函數也不是指數函數，它是冪底數和冪指數都是變量的函數，正因為這個特點，在求其極限、導數和不定積分的時候才稍顯復雜.本文受2020年全國大學生數學競賽一道冪指函數試題的啟發，對相關內容進行了拓展和應用.冪指函數主要貫穿在解題中的某一環節，搞清楚它在各題型中需要的解題方法至關重要.本文結合幾道競賽題目給出了更直觀的結論，以方便大家理解和應用，也可融入今后的高數教學中.

【參考文獻】

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