微積分中求數(shù)列極限的幾種方法

盧蘭

【摘要】本文主要針對求解數(shù)列極限的具體實(shí)例，對各類求解數(shù)列極限的方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，掌握了這些求數(shù)列極限的解題方法和技巧，能夠大大提高解題能力和解題效率.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列極限;解題方法

數(shù)列極限問題是高等數(shù)學(xué)中極限問題的重要組成部分，如何求數(shù)列的極限教材一般介紹得比較簡單、分散.本文將根據(jù)具體的數(shù)列求極限問題探討其解題方法.

一、先求出n項(xiàng)和的表達(dá)式再求極限

這種方法通常適用于求數(shù)列通項(xiàng)為n項(xiàng)和的極限問題.求n項(xiàng)和的表達(dá)常常需要高中階段求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，高中問題這里不再詳述.

例1求limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1.

由于cn=2n-12n-1=anbn，其中an=2n-1是等差數(shù)列，bn=12n-1是等比數(shù)列.求這樣的數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和，常用“乘公比，錯位減”的方法.故設(shè)Sn=1+32+522+723+…+2n-12n-1，則12Sn=12+322+523+724+…+2n-12n，將兩式相減，可得

12Sn=2+12+122+123+…+12n-2-2n-12n=3-2n+32n，

故Sn=6-4n+62n.

因?yàn)閘imx→∞4x+62x=limx→∞42xln 2=0，

故limn→∞4n+62n=limx→∞4x+62x=0.

所以limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1=6-0=6.

二、利用兩邊夾準(zhǔn)則求數(shù)列極限

有時求數(shù)列通項(xiàng)為n項(xiàng)和的極限問題先求n項(xiàng)和的表達(dá)式是很難做到的，這時需要嘗試其他的方法，兩邊夾準(zhǔn)則就是常考慮的方法.利用兩邊夾準(zhǔn)則求極限時一般需要放縮n項(xiàng)和，常用的放縮技巧如下：

（1）幾個正數(shù)乘積中，略去大于1的因子就縮小，略去小于1的因子就放大;

（2）分子、分母都是正數(shù)，分母縮小（放大），則分?jǐn)?shù)放大（縮小），分子縮小（放大） ，則分?jǐn)?shù)縮小（放大）;

（3）n個正數(shù)之和可縮小為n個最小數(shù)之和（或縮小為最大數(shù)），也可放大為n個最大數(shù)之和.

例2求limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.

由于和式中各項(xiàng)的分子、分母都是正數(shù)，故可用放縮技巧（2），即

i[]n2+n+n≤i[]n2+n+i≤i[]n2+n+1（i=1，2，…，n），

于是，有n（n+1）[]2n2+n+n≤∑ni=1in2+n+i≤n（n+1）[]2n2+n+1，

又limn→∞n（n+1）[]2n2+n+n=12，limn→∞n（n+1）[]2n2+n+1=12，

則limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n=12.

例3求limn→∞1+2n+3n+4n1n.

由于表達(dá)式的底數(shù)部分是幾個正數(shù)之和，可用放縮技巧（3），即

4=（4n）1[]n≤（1+2n+3n+4n）1[]n≤41[]n·4，limn→∞ 4·41n=4，

所以limn→∞（1+2n+3n+4n）1n=4.

三、利用定積分定義求數(shù)列極限

一般求每項(xiàng)為無窮小的無限項(xiàng)的和式極限時通常要考慮利用定積分定義求極限.

例4求limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2.

將這個和式化為某個函數(shù)在某個區(qū)間上的積分和，從而可利用定積分求和式極限.

先將和式改寫，

nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2

=1n11+1n2+11+2n2+…+11+nn2.

考慮用[0，1]區(qū)間上的函數(shù)f（x）=11+x2將[0，1]區(qū)間n等分，取每個小區(qū)間的右端點(diǎn)ξi，故

nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∑ni=111+ξ2iΔxi

=∑ni=111+in2·1n，

所以limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∫011+x2dx=π4.

有的求數(shù)列極限問題表面上看不能利用定積分的定義來求，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃沃笫强梢杂玫模缋?.

例5求limn→∞nn！n.

求解過程如下：limn→∞nn！n=elimn→∞ lnnn！n=elimn→∞1n [ln（n！）-nln n]

=elimn→∞1n∑ni=1lnin=e∫10ln xdx=1e.

注意，這里的∫10ln xdx是瑕積分，具體求瑕積分的過程此處省略了.

四、由單調(diào)有界原理及其遞推公式求數(shù)列的極限

用這種方法求極限的一般步驟如下：

（1）由已知條件確定數(shù)列{xn}的遞推公式xn+1=f（xn）;

（2）利用遞推公式證明此數(shù)列是單調(diào)有界數(shù)列;

（3）對遞推公式兩邊取極限得到關(guān)于此數(shù)列極限的方程，解方程得到數(shù)列極限.

例6設(shè)x1=2，xn+1=12xn+2xn，n=1，2，3，…，證明：數(shù)列{xn}收斂，并求此極限limn→∞ xn.

由已知，顯然有xn>0n=1，2，3，…，

xn+1=12xn+2xn≥xn·2xn=2，n=1，2，3，…，

即數(shù)列xn有下界，由此可知，

xn+1-xn=122xn-xn=2-x2n2xn≤0.

因此，數(shù)列xn單調(diào)遞減且收斂，故limn→∞ xn的極限存在.設(shè)limn→∞ xn=A，對所給遞推公式兩邊取極限，可得A=12A+2A，解得A=2，注意A>0.

五、利用級數(shù)收斂的必然條件求數(shù)列極限

級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)∑∞n=1un收斂，則limn→∞ un=0.

例7求limn→∞n！nn.

考慮正項(xiàng)級數(shù)∑∞n=1n！nn.

由于limn→∞（n+1）！[]（n+1）（n+1）[]n！[]nn=limn→∞1[]1+1[]nn=1[]e<1.

所以正項(xiàng)級數(shù)∑∞n=1n！nn收斂.

由級數(shù)收斂的必要條件，得limn→∞n！nn=0.

六、利用施篤茲定理（Stolz）求數(shù)列極限

施篤茲定理一般教材都沒有介紹，它可以用來計(jì)算某些難度較大的數(shù)列極限limn→∞xnyn（無窮比無窮型）.施篤茲定理被稱為數(shù)列極限的洛必達(dá)法則，其定理內(nèi)容如下：

設(shè)數(shù)列yn嚴(yán)格增大，且無界，若limn→∞xn-xn-1yn-yn-1存在或?yàn)椤蓿瑒tlimn→∞xnyn=limn→∞xn-xn-1yn-yn-1.

下面利用施篤茲定理再求解一遍例5.

limn→∞n[]n！[]n=limn→∞n[]n！[]nn=elimn→∞1[]nlnn！[]nn=

elimn→∞ln（n！）-nln n[]n

=elimn→∞ln（n！）-nln n-ln（（n-1）！）+（n-1）ln（n-1）[]n-（n-1）

=elimn→∞ln（n（n-1）！）-nln n-ln（（n-1）！）+（n-1）ln（n-1）[]n-（n-1）

=

elimn→∞（n-1）（ln（n-1）-ln n）=

elimn→∞ lnn-1[]nn-1

=

limn→∞n-1[]nn-1

=

limn→∞1-1[]n-nn-1[]-n=1[]e.

七、利用中值定理求數(shù)列極限

例8求limn→∞n2arctanan-arctanan+1（a≠0）.

由極限表達(dá)式的形式考慮用拉格朗日中值定理求解，設(shè)f（x）=arctan x，在an與an+1構(gòu)成的區(qū)間上對f（x）使用拉格朗日中值定理，即存在介于an與an+1的ξ，使得

fa[]n-fa[]n+1=f′（ξ）a[]n-a[]n+1

=1[]n（n+1）·a[]ξ2+1

=arctana[]n-arctana[]n+1，

所以limn→∞ n2arctanan-arctanan+1=limn→∞n2n（n+1）·a1+ξ2=a.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉玉蓮，楊奎元.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004.