對“錐體之外接球問題”專題復習課的教學思考

林朝暉

【摘要】高中數學立體幾何的旋轉體中，關于球的度量問題（表面積與體積等）是歷屆高考的高頻考點，尤其以錐體外接球問題為考查側重點.立體幾何教學應遵循從特殊到一般的認知規律，充分利用實物模型與多媒體空間演示功能，進一步培養學生的空間想象能力，并輔以科學有效的學習方法.本文從特殊、常見、一般的錐體的外接球問題三個層面剖析如何提高球類問題的復習效果，提升學生的空間思維素養.

【關鍵詞】外接球問題;空間想象能力;復習教學

球類問題是高考熱點之一，在2019年與2020年全國一卷選擇題中均有考查，且屬于中高難度.往年學生對于球類題的得分率普遍較低，其根本原因是空間想象力及應對思路的欠缺.要提高學生的得分率，教師就必須有針對性地歸結此類問題的應對規律，尋求思維切入點和常用手法，并加以專項訓練.下面筆者談談高三一輪復習中關于“錐體外接球問題”的專題復習.

課程設計心得：（本文中錐、柱體均在有外接球的前提下研究，案例中的R均默認為外接球半徑，球心為O）首先在上課前讓學生思考以下問題：（1）初中學過的三角形、四邊形的外接圓有哪些性質？（2）球的截面圓的內接等邊或直角三角形應怎樣科學畫圖才易于觀察？（3）球心在相對截面小圓上的射影在什么位置？（4）三角形外接圓半徑r的一般求法是什么？（5）長方體與其外接球位置之間有何特性？并在本節課開始先通過提問環節落實這些問題的答案，為下面針對性復習做好必要的鋪墊.

一、引入“具有特殊棱、角位置關系的錐體”外接球問題，激發興趣

由于長方體外接球問題是學生最容易掌握的，第一步可從特殊棱角位置題型來引入.

案例1如圖1，三棱錐A-PBC中，AP垂直于平面PBC，PB垂直于PC，PB=5， PC=4 ，PA=3，求其外接球的半徑.

教師引導學生：“抬頭看看教室的一個角落，你會感悟到什么？”同時拿出自己制作的長方體金屬框模型進行演示.學生自然聯想到該問題可補形成長方體，即可通過預備中的“長方體與其外接球之間的位置特性”求解.

1.小組討論：對于三組對棱均相等的四棱錐，如何求它的外接球半徑呢？（圖2）誘導學生先畫出一個長方體，再進行點對點連線模仿切割體驗，感受局部與整體的關聯性，從而提升應變能力.

2.課堂演練：圖3是一個多面體的三視圖，縱橫每小格長均為1個單位，試畫出該多面體的示意圖.本題學生在短時內作出圖比較困難，若借助長（正）方體在對應點、線、面處描點A，B，C，D（如圖4），即可撥云見日，鞏固思維成果.

建立補形意識，尋找與長（正）方體對應的點、線、面，通過變換轉化為長（正）方體外接球問題，能大大降低學生的空間想象及作圖難度，增強趣味性的同時讓學生建立了信心.

二、引出“常見的棱、角位置關系的錐體”外接球問題，彰顯重點

由特殊題型導入，調動了學生的思維興奮點之后，第二步可推出常見的也是重點的題型.

1.對于“側棱相等的棱錐”的外接球問題，可引導學生抓住“一心一形（確定球心的位置及創建有效的直角三角形）”來突破

案例2若一個正四面體ABCD的棱長為3，求該四面體的外接球半徑.

正四面體是最特殊的“側棱相等的棱錐”，由此引入易于拓展.

教師可通過多媒體演示引導學生全方位觀察，并讓學生自行學會歸納球心的位置，建立直角三角形，嘗試列出方程.教師進行規范化演示如下.

如圖5，在Rt△BOH中，由勾股定理，得BH2+OH2=BO2， 列方程（3）2+（6-R）2=R2求解.

這是將一個未知邊也用R來表示，建立關于R的一元二次方程的典例.

小組討論：（1）“將正四面體改為正三棱錐，情形有何變化？”引導學生尋找異同點（側棱長改變，本質不變），進一步提升知識遷移能力.

（2）“三條側棱均相等的三棱錐，當底面是直角三角形時，你會聯想到什么？”引導學生發現大細節中的小細節，多總結，再遇到此類問題便可極速求解.

這種通過構建關于R的一元方程思想，是該類問題的核心價值體現，加強學生這種意識的培養及定量的訓練，定能收到舉一反三的成效.

2.對于“錐體中有一條側棱垂直底面”的外接球問題，可引導學生通過“垂直具有的特性”來突破

在上例的基礎上，導入常見的“有一條側棱垂直底面的錐體”外接球問題，培養學生的洞察能力.

案例3如圖6，三棱錐P-ABC中，側棱PA垂直于底面，AB=BC=3，且AB⊥BC.若其外接球的體積為48，求PA的長.

教師可利用多媒體演示引導學生交互討論，嘗試導出結論“因PA垂直底面，該側棱兩端點關于水平大圓面對稱”，并進一步啟發：“若AC是底面小圓面的直徑，PC與球的關系是什么？”熟練運用這些對稱性結論，能提高解題效率.

圖6

圖7

課堂演練：上例的前提不變，數量條件改為PA=BC=2，cos∠BAC=223，求球O的體積.

如圖7，設r為小圓半徑，而球心與小圓心的連線與PA平行，再根據對稱性，得R2=r2+PA[]22，輕松獲解.

一條側棱垂直于底面的錐體的外接球問題也是較常見的，抓住關鍵的對稱特性，并結合模型演示，可進一步增強學生的空間對稱感，達到事半功倍的解題效果.

三、上升到“一般的棱、角位置關系的錐體”外接球問題，突破瓶頸

在引入特殊并導出常見題型后，可上升到在一定情境下的一般錐體的外接球問題.

1.對于“有二面角大小等條件的錐體”的外接球問題，可引導學生抓住“球心與兩個相鄰截面圓的位置關系”來突破

案例4如圖8，三棱錐S-ABC中，SB=SC=AB=AC=BC=3，二面角A-BC-S的平面角為120°，若該三棱錐內接于球O，求球O的體積.

要點引導：如圖9，先確定球心的位置，當條件中有二面角大小時，可結合二面角定義在Rt△OBD中求解.

小組討論：（1）進一步特殊化，“已知四面體S-ABC滿足AB=BS=SC=CA=2，BC=22，求四面體S-ABC外接球的半徑.”

（2）進一步拓展：“當二面角的兩個半平面相互垂直時，該四邊形是什么四邊形？”

由一般性問題推敲特殊細節，可進一步提升學生的持續性思維素養.

難點延伸：“面面垂直情形下，一般地，如果面PAB⊥面ABC，兩個三角形外接圓圓心在三角形外時球心的位置應如何找到？”

圖10

在多媒體動態演示下引導學生動手畫出矩形OO1DO2如圖10所示，再根據題設在Rt△AOO2中列方程求解.

本題型是訓練空間想象力的極好素材，可有效提高學生的空間搭建能力，通過層層變式，一般與特殊之間關系的相互轉化，就可將所學知識運用自如.

2.對于“有一個側面垂直底面的錐體”的外接球問題，可引導學生運用“二元方程組思想”來突破

圖11

案例5如圖11，四棱錐P-ABCD中，平面PCD垂直于正方形ABCD，AB=2，PC=PD，E是DC的中點，PE=3，求該四棱錐外接球的體積.

討論并嘗試列式：列一元方程易求解嗎？若不易，能否列二元方程求解呢？

如設OO1=m，引導學生在底部和頂部不同方位分別構造直角三角形，（提問：為什么是選取不同方位的直角三角形？）列二元方程組：R2=m2+2及R2=（3-m）2+12，消元即可.錐體外接球問題列二元方程組求解的類似題型很多，教師可以特征典例訓練學生舉一反三的能力.

樹立方程組思想，不拘于思維定式，將一個關鍵量以不同角度運用兩次，在立體幾何運算與解三角形板塊中是一種常用的發散思維，應加強培養學生的這種能力.

文末，筆者給學生梳理出本節專題復習課解決“錐體外接球問題”的思維導圖如下.

四、結語

對于本專題復習課，教師要善于引導學生總結錐體與球的各種位置特性，引導學生緊扣“一心一形”，即先確定球心的位置，尋找有效的直角三角形，架構度量間的勾股關系（方程或方程組），樹立設元消元的思想，靈活輾轉于特殊與一般的本質聯系，加強實物模型觀察與多媒體演示，提升空間思維素養，加以針對性題型訓練，學生具備了各種常見的應對策略后，自然會消除畏難情緒，應考能力自然水漲船高.

【參考文獻】

[1]黃家禮.幾何明珠：第三版[M].北京：國家行政學院出版社，2014.

[2] 甘志國.高中數學題典：立體幾何[M].黑龍江：哈爾濱工業大學出版社，2106.