美國高中數學教科書中涉及代數的數學寫作內容分析

王 琦

（蘇州市吳中區迎春中學 江蘇·蘇州 215000）

0 引言

自“通過寫作來學習”（writing-to-learn，WTL）的活動誕生以來，國外越來越多的研究者在課堂中進行數學寫作活動，并且總結了寫作的教育價值。Nahrgang&Peterson(1986)認為寫作能夠給學生提供機會去明確地表達、組織和內在化概念。Braun(2014)認為通過寫作，學生可以改變對數學的態度，能夠拓展知識的理解并加深對數學的信任度。Pinter(2014)認為數學寫作這一方式能夠拉近數學與學生的距離，增強學生對數學的理解。國內外數學寫作的研究主要以實踐嘗試、調查研究和教學實驗等形式開展。

現在對美國教科書的研究一般圍繞內容設置與編排研究以及習題研究兩方面，大多是對習題的整體分析或是特點分析，但是很少涉及教科書中數學寫作的內容，也沒有細化到這一方面。事實上，關于我國教科書中寫作情況的研究也并不多。不可否認的是教科書與教學活動緊密相關，教科書往往能為教學活動提供素材與依據。因此，對于美國教科書中數學寫作內容的研究是很有必要的。美國教科書中寫作題總數達到889道，代數部分的寫作題約占62%的比重，因此本文主要針對美國Prentice Hall出版的中學數學教科書中代數部分的寫作題。

1 分析框架

美國Prentice Hall出版的中學數學教科書中涉及代數的數學寫作題一共有549道題，其中Algebral（代數學1）包含108題，Algebra2（代數學2）包含119題，Mathematics Course1（數學課程 1）包含 73 題、Mathematics Course2（數學課程2）包含68題、Mathematics Course3（數學課程3）包含 68題，Geometry（幾何學）包含 24題、PreAlgebra（初等代數）包含89題。本研究主要是針對這一套教材中的Writing in Math（數學寫作）這一欄目的練習題進行研究分析。在這一欄目中的數學寫作題主要是指要求學生將自己對數學概念知識的理解、對解題過程和方法的思考、對公式定理的運用等寫成文字的一些練習題，這些練習題都需要學生描述思維過程。

Paugalee（1998）對數學寫作的應用進行了總結，分為發展數學知識、成就問題解決、培養反思行為、促進情感流露、加強對話交流這五類。通常我們也都認為寫作題大多是情感類或是交流對話類的，但本文研究針對的寫作題主要為教科書中的練習題，因此與課程內容聯系性較大，并且通過對寫作題研究分析后發現這些練習題均緊密圍繞知識點，因此本文主要由發展數學知識這一功能展開，然后對數學寫作習題進行兩層分類：第一層根據數學內容；第二層根據數學寫作題的類型。

1.1 數學內容

數學知識有概念、法則、公式、定理等基本內容。因此第一層分類主要依據題目的針對性，即根據數學寫作題所在章節的重點內容以及題目主要考察的方向進行分類，例如主要是關于知識點的概念、定理或是公式等。美國教科書的練習題中有部分計算類型的題目是要求學生使用計算器或者電腦軟件來進行計算，另外也有題目是針對單詞語義的擴展。因此除了概念、法則、公式、定理等內容作為分類類別之外，再加上一個類別稱為“其他”，代表上述的情況。在對數學內容的分析過程中也發現在方程這一塊內容中，有解方程的要求。解方程主要是考查學生對解題過程和方法的體會，針對這種情況，添上一類“問題解決”。由于公式與定理兩部分內內容均較少，所以把兩類放在一起進行統計，如表1所示。下面是對概念、公式定理、法則、問題解決、其他這五部分進行的具體說明。

表1：分類的具體描述

1.2 數學寫作題型

在對數學寫作題依據數學寫作內容進行分類后，再根據數學寫作題目的要求進行分類，比如依據題目信息中包含的解釋、總結、描述等的要求，得到數學寫作題目的幾種類型，如表2所示。

表2：數學寫作題型分類

2 結果分析

代數部分內容主要涉及的知識點有：有理數、復數、函數、方程、不等式、比例和百分比、排列組合、數列、推理與證明、代數式、三角函數。

關于數學內容分類可以得到：概念類一共有269題，法則類一共有89題，公式定理類一共有31題，問題解決類有145題，其他類有15題。

關于寫作題型分類可以得到如表3。

表3：寫作題型的分類

由上分析可得：代數部分概念類比重最大，其次是問題解決類。可見在代數部分數學寫作類題目主要是針對知識點的概念和解題的過程和方法。概念類又以解釋型占多數，其次是應用型和辨析型。因此數學寫作的目的主要是提高學生對概念的理解，能夠用概念來解釋相關問題并能夠將數學概念與生活聯系起來。問題解決類主要是解釋型和應用型，期望通過數學寫作能夠理解求解問題的過程和方法，提高對解題方法和策略的應用意識。綜合分析我們可以得到如下結論：代數部分的寫作題重視知識概念，注重對概念的理解。比較重視求解問題的過程和方法，注重對解題方法和策略的應用。

3 寫作題實例

下面列舉幾道代數部分的寫作題，分別對應于我國人教版中學數學教科書的章節。

初中人教版教材：見表4。

表4

高中人教版教材：見表5。

4 寫作題應用于課堂教學

上面根據章節內容列舉了相應的寫作題，那么寫作題如何在教學中使用呢？下面給出一個例子。

比如在上有理數加減法這一節內容時，在總結出有理數加法法則并做完幾道例題后，可以讓同學完成一道寫作題，考查學生對有理數加法的理解。

Father：好，Calvin，現在檢查你的數學作業。

Calvin：不要，就讓它去吧。

Father：你的老師說你要多花些時間在你的功課上，現在坐下。

Calvin：更多的時間？！我已經花費了整整十分鐘的時間！十分鐘！浪費掉！

Father：你這兒寫了8+4=7，我們知道這是不可能的。

Calvin：所以我只是犯了一點小錯誤，你就指責我。

Father：兩個數相加的和是不可能小于加數的！

Calvin：我可以做到！這是個自由的國家！我有自己的權利！

問題：Calvin的父親說：“兩個數的和是不可能比這兩個加數小的。”Calvin的父親的說法總是正確的嗎？

在給學生呈現題目后，可以給學生幾分鐘的作答時間，讓學生將自己的理解寫在紙上，然后上交老師批改。教師通過批改學生的回答，能獲得學生對知識點的掌握情況以及或許存在的理解誤區，然后可以針對性的書寫反饋意見，學生通過閱讀教師的反饋，能夠及時查漏補缺。通過這種方式能將寫作題與課堂教學結合起來，發揮寫作題的教育價值。同樣地，在上不同章節的內容時，教師也可根據課程安排合理的將寫作題融入課程環節。

5 總結

美國教科書中代數部分的寫作題主要還是以基礎題為主，大多是概念類習題，并且知識點覆蓋面較為廣泛，緊扣章節內容，因此也可以同我國中學教科書的章節內容相聯系。我國教科書中目前也沒有傳統意義上的數學寫作的練習題，但事實上，數學寫作的教育價值不可忽視。寫作題就是把自己的思維寫在紙上，能拉近學生與教師的距離，增進相互理解。在課程中加入數學寫作練習題，對于教師和學生來說都有很大的益處。