題中悟道 模型備考
——2021年數學新高考全國Ⅰ卷數列解答題分析

>>>李 翠

數列是高中數學的重點內容，是考查考生邏輯推理和數學運算核心素養的重要載體。課程標準要求學生“探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n 項和的公式，能在具體問題情境中發現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題”。縱觀這幾年高考數列解答題，難度中等，大穩定、小創新。本文以2021 年新高考全國Ⅰ卷數列解答題為例，分析考生存在的問題并提出備考建議。

一、原題再現

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數列{bn}的通項公式；

（2）求{an}的前20項和.

分析：第一問通過求特殊的兩項b1，b2，再求數列{bn}的通項公式，降低了試題的難度，也體現出數列中從特殊到一般的推理方法；第二問，根據數列的特點進行分組求和，或者通過遞推關系將奇數項轉化為偶數項再求和。

解析：（1）由題設可得b1=a2=a1+1=2，b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.

又a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2（k ∈N*）.

故a2k+2=a2k+3，即bn+1=bn+3，即bn+1-bn=3.

所以{bn}是首項為2，公差為3 的等差數列，故bn=2+（n-1）×3=3n-1.

（2）方法一：設{an}的前20 項和為S20，則S20=a1+a2+a3+…+a20，

因為a1=a2-1，a3=a4-1，…，a19=a20-1，

所以S20=2（a2+a4+…+a18+a20）-10

方法二：由（1）知數列{an} 的奇數項與偶數項都是以3 為公差的等差數列.

設數列{an}的前20 項和為S20，則

二、考生存在的問題

從考生答題的情況看并不理想，仍然存在較大的問題，主要表現在以下幾個方面。

1.對定義理解不準確

注重性質解題，不注重基本量運算，眼高手低。

2.解題過程不規范，缺少必要的計算步驟和轉化依據

3.邏輯推理的素養有待提升

不清楚求通項的關鍵在于通過遞推關系尋找數列的特征、判斷數列的類型，從而求出通項。

4.計算能力不高

三、備考建議

1.強化對數列定義、基礎知識和基本方法的練習與鞏固，用好教材。

2.熟練掌握等差數列、等比數列的通項公式和前n 項和公式，適當加強通過遞推關系式和列舉法觀察規律的題目的訓練。

3.加強新定義數列問題的研究，總結利用歸納猜想進一步求數列通項的解題規律。

4. 熟練掌握“累加法”“累乘法”“構造法”求數列的通項，“倒序相加法”“ 錯位相減法”“ 裂項相消法”求數列前n 項和的解題方法，掌握利用遞推關系求數列通項的題目特征及相應的求解方法。

5.數列解答題是容易得分的大題，主要考查數列的基本概念、基本量運算、基本方法的運用以及簡單不等式的放縮等，建議在備考中加強常規方法的訓練。