高中立體幾何中多面體外接球的多維理論

鐘景明

摘 要：立體幾何是高中數學中的重要內容，而外接球問題不僅涉及到了球本身的性質，而且側重考查學生對于內部幾何體的結構與性質的理解與掌握，有力地考查了學生的學科素養.因此，近年來，該問題常常受到全國卷與省地區的命題者的青睞.針對該類問題的復雜性，筆者將從理論與題型這兩個方面重點研究，提出一套完整的理論與相關的方法，促使理論與實踐、經驗與手段、題型與解法均可相互融合與促進，以達到教與學、學與用均可相得益彰.

關鍵詞：多面體;外接球;多維理論;方法

研究高中立體幾何，自然離不開平面幾何的相關概念.平面多邊形的外接圓，顧名思義，就是指“與多邊形各頂點都相交的圓”。對于一個多邊形，若其外接圓存在，則就只有一個，其圓心與半徑是確定的，而外接圓的圓心自然到每個頂點的距離均相等。據此，我們對于立體幾何中，外接球的定義就非常明朗。

一、立體幾何中外接球的定義

定義 ?若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球。

顯然，要解決外接球的問題關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的各頂點的距離均等于球的半徑。

二、外接球問題的多維理論

解決外接球問題，關鍵需要借助以下的相關結論：

結論一：數軸上，到兩點A、B的距離相等的點就是線段AB的中點。

結論二：平面內，到兩點A、B的距離相等的點的軌跡就是線段AB的垂直平分線（過AB的中點），簡稱為中垂線。

結論三：平面內，到不共線的三點A、B、C的距離相等的點就是△ABC的外心。

結論四：空間中，到兩點A、B的距離相等的點的軌跡就是過其中垂線且垂直AB的一個平面，簡稱為中垂面。

結論五：空間中，到不共線的三點A、B、C的距離相等的點的軌跡就是過△ABC的外心且垂直于平面ABC的一條直線，簡稱為外垂線。

結論六：對于一般的三棱錐，其中兩個三角形的外垂線的交點就是該三棱錐外接球的球心。

根據以上六個結論，不難看出，尋找外接球球心的關鍵核心就是弄清楚維度的變化與點數之間的遞進關系.另外，確定球心位置后，所有求外接球半徑最初或最終幾乎都歸結到三角形中的勾股定理.因此，我們需要熟知以下特殊三角形外心的若干題型與規律。

1.等邊三角形的外心為其中心（四心合一）。

2.直角三角形的外心為斜邊的中點。

3.銳角等腰三角形的外心在三角形內部，且在頂角的角平分線上，可由關系式：求出外接圓的半徑r，其中L為底邊長，h為底邊上的高。

4.鈍角等腰三角形的外心在三角形外部，且在頂角的角平分線上，可由關系式：求出外接圓的半徑r，其中L為底邊長，h為底邊上的高。

5.對于給定任一邊邊長及其對角的三角形，則可由正弦定理求出外接圓的半徑rv

6.針對結論六，對于一般的三棱錐，其外接球的半徑可由以下公式（*）求出：

其中，l1、l2分別是三棱錐其中兩個三角形的外接圓圓心到其交線的距離，L為交線長，α為該兩個三角形所在半平面所形成的二面角的平面角大小。

特別地，若三棱錐有兩個三角形互相垂直時，公式（*）則變為，其中，r1、r2分別是兩個垂直的三角形的外接圓半徑。

三、外接球問題的若干題型與解決方法

例1 （正方體或長方體的外接球問題）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為3、4、5，求該球的體積。

分析：易知，正方體或長方體的外接球的球心位于其體對角線的中點，

則半徑，故該球的體積為.

思路二：根據思路一的分析，結合若干題型與規律6中的公式（*）易得，

同樣地，最后得到該外接球的表面積為。

事實上，思路二只是對思路一的高度概括與提煉，兩者并沒有明顯的差異，都繞不開正余弦定理的應用。

解決該問題，關鍵核心還是“定心”，包括確定三角形的外心，或其他多邊形的中心等，借助多維理論，不難確定出“球心”，最后往往利用勾股定理、正余弦定理求半徑。該多維理論能夠促使學生深刻而嚴謹地理解平面幾何與立體幾何之間本質上的聯系，從而系統性、科學性、有效性地去掌握外接球問題。

參考文獻：

[1]武增明. 確定簡單多面體外接球的球心的策略[J]. 數理化學習：高中版， 2013（2）：8-9.

[2]蘇旭景. 高中數學中外接球問題的解題策略[J]. 吉林畫報（學術版）， 2013（6）.