基于時空濃度梯度反演扁平微通道中平均流速的優化算法

吳斯達，陳柯潔，曾 效，李泳江，覃開蓉

大連理工大學 光電工程與儀器科學學院，遼寧 大連 116024

0 引言

近年來，隨著微流控芯片技術在化學、生命科學、醫學等相關領域的廣泛應用，微流控通道內流體的定量檢測與精確操控已成為重要的研究熱點[1]。速度是流場最主要的特征參數之一，因此微流控通道內流速的測量對于研究微量多相流體的精準操控、構建復雜的離體生物力學微環境、控制生化反應過程等都具有重要意義[2-4]。高度遠小于橫向和縱向幾何尺寸的扁平微通道是最常見的微通道結構形式，其高度方向的平均流速測量是定量分析壁面剪切力和物質輸運規律的前提[5-7]。

常見的流速測量方法是通過測量粒子跟隨流體的運動來實現，例如微尺度粒子圖像測速法（micro-PIV）和微尺度粒子跟蹤測速法（micro-PTV）。前者通過連續拍攝記錄流場中的粒子群，比較相鄰時間間隔的粒子群位置變化來計算流體速度[8]；后者采用拉格朗日類方法直接測量分析單個粒子的運動，避免了micro-PIV 的平均效應，實現了更高的空間精度[9-10]。但這類基于粒子的測速方法在測量小尺度結構時存在較大誤差，因為測量小尺度的流動特性需要較大的示蹤粒子濃度，但過大的粒子濃度會引發激光穿透困難等問題。此外，這類方法的測量精度還受示蹤粒子跟隨性的影響[11-13]。隨著光學技術的快速發展，科研人員提出了點檢測掃描方法[14]。該方法利用光學儀器對準激光進行強聚焦，可以實現高分辨率的單點速度測量，但對系統的校準精度要求較高，且設備昂貴、操作復雜。常見的測量方法還有標量圖像測速法，其原理是從守恒標量（如濃度、厚度）的觀測中獲取速度[15]。與基于粒子的測速技術相比，該方法不存在由粒子尺寸帶來的流場干擾和跟隨性誤差，可以更精確地實現流速測量，已被廣泛應用于湍流研究和天氣預報[16-17]；而在微流控通道內主要是低雷諾數的層流，標量圖像的時空分布必然受流體對流-擴散的共同作用，特別是在擴散占優的流動條件下，標量場的時空梯度分布與流場之間的耦合關系變得相對復雜，如何依據標量場的時空分布確定微通道內的流體流動信息及相關影響因素尚有待于進一步研究。

為實現扁平微通道內流速的精確測量，本文以標量圖像測速法為基礎，結合微通道內物質輸運原理，提出了一種基于時空濃度梯度反演扁平微通道中平均流速的優化算法。通過光學成像技術獲得微通道內物質的時空濃度梯度，利用扁平微通道結構特點，基于Taylor-Aris 彌散方程得到描述物質濃度與平均流速間的定量關系，結合優化問題中最小化目標函數的思想，計算得出扁平微通道內流體的平均流速。通過數值仿真驗證該優化算法在無噪聲條件下的可行性和精度，分析噪聲條件下輸入濃度信號和物質擴散系數對算法求解準確度的影響。最后利用提出的方法分析微通道中物質濃度圖像的時間序列，將優化算法反演得到的流速與流量傳感器測量計算結果進行比較，驗證算法的可行性和準確性。

1 基于濃度場反演流速的方法

為了獲得微通道內濃度場與平均流速之間的定量關系，首先基于Navier-Stokes 方程和Taylor-Aris 彌散方程構建流道模型并進行理論分析。待檢測的扁平直通道如圖1所示，其高為H，寬為W，長為L。

圖1 扁平直通道示意圖Fig.1 Schematic of a straight shallow microchannel

1.1 直接反演法

1.2 優化算法

圖2 優化算法流程圖Fig.2 Flow chart for the optimization algorithm

2 數值仿真

2.1 微通道內時空濃度分布

為了研究基于濃度分布反演流速的方法，首先構建了微通道內物質時空濃度分布。以扁平微通道為例構建如圖1所示微通道，其長度L為3 cm，寬度W為3 mm，高度H為150 μm。在微通道內給定均勻分布的流速條件，按其形式可分為定常流和脈動流。在脈動流情況下，流速以正弦波形式變化，滿足其中為速度信號的平均值，λ2為速度信號的振幅，f2為速度信號的頻率。將通道始端正中間寬度為1 mm 的區域作為入口，向其通入濃度動態變化的組分，其濃度以正弦波形式變化，滿足其中為濃度信號的平均值，λ1為濃度信號的振幅，f1為濃度信號的頻率。通過MATLAB 程序求解式（8），將速度作為已知量迭代求解濃度分布，邊界條件設為左右壁面和微通道出口處無濃度梯度，即可得到微通道內時空濃度分布情況。圖3 為脈動流入口濃度條件下物質在微通 道內傳輸5 s 和10 s 后的濃度分布。

圖3 微通道內濃度分布仿真結果Fig.3 Simulation results of the concentration distribution in the microchannel

2.2 無噪聲條件下流速反演

基于構建的微通道內時空濃度分布，分別在定常流和脈動流條件下，對無噪聲存在時以直接反演法與優化算法計算平均流速的方法進行了驗證。基于動態濃度信號在定常流中的濃度分布，圖4（a）給出了直接反演法和優化算法計算得到的平均流速與真實流速的比較結果。結果表明：直接反演法所求流速在濃度信號處于極值點時有明顯誤差。原因是當濃度處于極值點時，濃度對時間的導數為零，式（10）中ci存在較大誤差；此外，一元二次方程的求解存在除法運算，分母ai的微小波動也會對結果產生較大影響。相比之下，由優化

算法求得的流速與真實流速幾乎完全重合，相對誤差ε=0.001%。在脈動流情況下（圖4（b）），直接反演法所得流速在特定點處仍存在較大的計算誤差，而由優化算法求得的平均流速與真實流速的相關系數R=1，相比于直接反演法有更高的反演精度。

圖4 直接反演法和優化算法求得平均流速與真實流速對比Fig.4 Comparison between the real velocity and the average velocity derived based on the direct inversion method and the optimization algorithm

2.3 有噪聲條件下流速反演

由于實驗中測得的時空濃度分布通常存在噪聲，因此本節討論噪聲條件下物質濃度信號的頻率、振幅和物質擴散系數對流速求解的影響。通過在濃度數據中添加0.1% 的白噪聲來模擬實驗測得濃度數據中的噪聲。

圖5 濃度信號參數對優化算法反演平均流速的影響Fig.5 Influence of parameters of the concentration signals on the average velocity derived by the optimization algorithm

由仿真結果可知：在噪聲條件下，增大物質濃度

信號的頻率和振幅、選擇擴散系數較小的物質可以提升優化算法的準確度。

3 實驗驗證

3.1 實驗裝置與方法

實驗裝置如圖6所示，主要包括物質濃度時空梯度生成裝置、具有扁平微通道的微流控芯片、倒置熒光顯微鏡和廢液回收裝置。實驗中組合使用恒流泵和工控計算機控制的壓力泵作為濃度梯度生成裝置。

圖6 實驗裝置圖Fig.6 Experimental setup

利用該裝置確定扁平微通道內平均流速包括以下步驟：在壓力泵配套的儲液管內加入摩爾濃度為5 ×10–6mol/L 的羅丹明溶液，其擴散系數為4.14×10–10m2/s，在恒流泵的注射器中加入去離子水，通過調節參數控制兩泵，使其體積流率隨時間按照一定規律變化，進而在微通道的入口處產生摩爾濃度隨時間變化的羅丹明溶液，由于橫向分子擴散效應，最終在扁平微通道中產生時空濃度梯度。待廢液回收裝置出現液體后，利用倒置熒光顯微鏡記錄距離微通道入口一定長度處的測量視野內不同時刻的羅丹明溶液摩爾濃度分布，進而得到時間間隔為Δt的一

系列熒光圖像，如圖7所示。最后對所得圖像進行處理：取不同時刻相同區域的熒光圖像，提取灰度值并轉化為對應摩爾濃度值后代入優化算法式子中，設置優化參數進行計算，即可得到不同時刻下微通道內的平均流速。

圖7 實驗方法示意圖Fig.7 Schematic of experimental method

3.2 實驗結果

實驗時采用的直線型微通道幾何尺寸如下：長度4 cm，寬度4 mm，高度80 μm。將距離微通道入口2 cm 處作為顯微鏡觀測位置，照片拍攝幀率為13.407 Hz，空間分辨率為4 μm/pixel。實驗時拍攝的熒光圖像如圖8所示。

圖8 實時熒光圖像Fig.8 Real-time fluorescent images

提取實驗所得圖像序列的灰度值，進行濾波降噪處理并轉換為對應濃度值，代入優化算法式子中求解微通道內的平均流速。在相同條件下利用流量傳感器測量微通道內的實時流量，用測量結果除以微通道橫截面積得到微通道內的流速。將上述兩種方法測得的流速結果進行對比，如圖9所示。可以看出：優化算法所得流速與使用傳感器測量計算的結果基本一致，速度變化的頻率預測準確，幅值存在一定誤差，相關系數為0.9814。

圖9 優化算法與流量傳感器測量計算結果對比Fig.9 Comparison of the average velocity derived by the optimization algorithm and the experimental measurement by the flow sensor

4 結論

本文提出了基于時空濃度梯度反演扁平微通道中平均流速的優化算法。無噪聲條件下優化算法反演結果幾乎無誤差；噪聲條件下，增大濃度信號的頻率與振幅、采用擴散系數較小的物質可以提升算法的準確度；優化算法反演結果與流量傳感器測量計算結果進行比較，相關系數為0.9814。本文提出的方法操作簡便、精度較高，是一種行之有效的微通道流速測量手段。