數學建模思想在“算用結合”課例中的應用

【摘要】背景分析：《數學課程標準》指出：“計算應該使學生經歷從現實生活中抽象出簡單的數量關系，在具體的情境中理解，并應用所學的知識解決問題的過程，應避免將運算與應用割裂開來。”為此，我們在教學中應該著力解決以下問題：是知識從哪里來——讓學生知道為什么要計算（為了解決問題）;二是知識是怎樣的一一讓學生結介問題情境理解算理、掌握算法;三是知識到哪里去一一讓學生用計算進一步解決問題。解決以上問題的關鍵是怎樣將“算”、“用”有機結介，構建行之有效的“算用互促”的數學模刑，使“計算意義”成為“解決問題”的依據，用“解決問題”來解釋“算理”。在實際教學中如果使兩者結合得好，叫以提高解決問題的效率。

【關鍵詞】 解決問題;數學建模;數學模型;數量關系;問題情境;引導學生;計算教學;有機結合。

課例研究：下而以課程標準實驗教材二年級下冊“混合運算”為例，探討怎樣利用數學建模思想有效應用“算用結合”。

教學片段：

一、情境導入，提出問題——為什么要計算以“用”引“算”

出示主題圖“過河”：一群小學生上學途中要乘船過河，河邊擺著許多船，每條船限乘9人。現在河邊共有男生29人，女生25人，其中個男生在想：至少需要幾條船？

二、建立模刑，解決問題—理解算理、掌握算法（以“用”釋“算”）

師：要求需要幾條船，可以用什么方法來計算？請說出數量關系式。

生：總人數÷每條船限乘的人數=需要船的條數。（提出模型假設）

師：哪個信息還沒有直接告訴我們？怎樣解決？

生：“總人數”還不知道，可以用“男生人數+女生人數=總人數”求出。（利用數學模型解決中間問題）

（利用模型求解）生：29+25=54（人）54÷9=6（條）。

綜介算式：29+25÷9

師：請各學習小組討論這樣列綜合算式對不對？（讓學生用前面提出的模型假設來驗證運算順序是否正確。）

生：這樣列式是不對的，因為要先算“25÷9”，它是有余數的，和原來的得數不一樣了。

生：在分步計算的時候，是先求總人數，然后按照“總人數÷每條船限乘的人數=需要船的條數”來算的，而這樣列綜介算式就不能先求“總人數”了，所以是錯的。

師：那有什么辦法讓綜介算式與分步計算的運算順序樣呢？

生：要將綜介算式中的“29+25"用小括號括起來。

師：（讓這個學生在板書的算式中添上小括號）小括號有什么作用呢？

生：算式中小括號括起來的部分能夠先算。

師：對，小括號的作用就是能夠先算。請大家和前面的數量關系對照一下，現在運算順序是否正確了？（讓學生根據數學模刑體驗小括號的作用）

讓學生完整地計算“（29+25）÷9”，并說說它的運算順序。

三、拓展模型，解釋應用——讓計算運用新情境（以“算”促“用”）

1.基本練習（模型應用）

18-9÷3 （18- 9） ÷3

2.變式練習（模型拓展）

（1）歡歡有10支鉛筆，用去4支，剩下的送給2個小朋友，平均每個小朋友能分到幾支？

3.提煉概括（模型提升）

師：下而我們來總結解決兩步計算問題的共同特征。（兩步計算問題解決的共同模型及關鍵）

解讀：

在以往的教學中，計算和應用問題各自單獨安排，如四則混合運算就純粹地解決運算順序，應用題教學中也沒有學習小括號的任務。本次課程改革對“應用題”動了“大手術”：不再單獨編排“應用題”章節，強調從運算意義出發進行思考。倡導“問題情境一一建立模型一一解釋、應用與拓展”的學習模式和“原型一一模型——應用”的知識呈現形式。教材是抓住了計算和應用問題之間的內在聯系，使計算的意義成為解決問題的依據，而通過解決問題又可以加深對算理和算法的理解，兩者之間是相互促進的關系，在教學中只有把它們有機結介起來，使它們“水乳相融”而不是“油水分離”。上述教學片段就是基于這樣的思考來開展的，體現了以下特點。

1、在問題情境中計算。以往的計算教學是沒有具體情境的，一般是通過復習舊知導入的。新課程強調計算教學要緊密聯系學生的生活實際，因此，上述課例創設了學生上學途中乘船的情境，讓學生從情境中發現數學信息，提出數學問題，發展學生收集信息、發現問題的能力。這是數學建模的第一步，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋、應用現實問題的過程。該課例中的整個計算教學，學生始終在問題情境中提出問題、探索算理、掌握算法，這樣的情境有“以用引算”的作用。

2、在計算中解決問題。為了解決提出的數學問題，教師引導學生分析數量關系和解題思路，這是提高學生解決問題能力的重要手段。當前，有些教師存在困惑：在解決問題教學中要不要進行數量關系的分析？要回答這個問題，我們首先來分析下“解決問題”的思維過程，在解決問題中要實現兩個轉化：（1）實際情境→數學問題;（2）數學問題→解決問題。在以往的教學中，第一個轉化教材編寫者代替了，學生只需解決第二個轉化。有些教師關注了情境的創設，關注了信息的收集，而忽略了數量關系的提煉，形成了“就題論題”現象，學生的每次活動都只是個孤立的“個案”，沒有加以必要的“梳理”與“整合”，沒有通過問題情境，探索并構建數學模型，也就難以實現結構化遷移，這樣的教學也不是真正的數學建模學習活動，因為數學模型的核心要素是要用數學語言表述數學結構。因此，教學中應該讓學生根據數量關系和解題思路獨立地解決問題。

3、在解決問題中釋算。在學生完成分步解決的基礎上，教師及時引導學生列綜合算式，此時又創設了個新的問題情境：沒有小括號的綜合算式和分步的算式不一致。此時，教師引導學生充分利用數量關系和解題思路去驗證綜合算式是否正確，在引出小括號后，又用它們去解釋、體驗小括號的作用，達到了以“用”釋“算”的功效。在解決問題的情境中，學生體驗到小括號的引進是解決實際問題的需要，它的運用使原先產生的“矛后沖突”得到解決，學生不僅理解了算理、掌握了算法，還順利完成了解決問題的任務，而且負擔不重，收到了一舉多得的效果。

4、在釋算中提煉升華。當學生得出具體的數學模型后，教學中還安排了拓展應用的環節。首先設計了基本練習，以鞏固和加深對基本模型的理解。接著安排了變式練習，這是對基本模型的拓展，使該計算模刑應用到新的情境中去，達到“以算促用”的目的。最后，對解決兩步計算問題的共同特征進行了提煉概括，引導學生理出解決兩步實際問題的知識鏈，形成認知網絡結構，實現結構化遷移，提高解決數學問題的能力。

在當前的教學中，不少學生不會分析數量關系，找不到兩步計算的中間問題，講不清解題思路。這些現象都與教師在教學中忽略對解決問題基本方法的提煉和總結有關，而這些基本方法對提高學生的數學思維能力和解決問題能力是很有作用的，它有別于解定類型題的個別技能技巧，它是種具有廣泛遷移性的解任何題都需要具備的能力。可見，學生只有積累必要的基本數量結構，弄清數量結構之間的組合特點，才能在獲取信息后形成解題思路，學會解決問題，并把零散的知識匯編成系統的網絡，從而把握“問題解決”學習領域總的結構系統。

參考文獻

【1】陽志長《把握初中教材的實踐性-一抓好數學建模啟蒙教育》中學數學教學參考2016. 10

【2】數學課程標準編寫組《數學課程標準（實驗）解讀》江蘇教育出版社2004. 3

【3】堵盤華《從教材入手提煉數學建模思想》數學教育學報2018. 8

作者簡介：

姓名：朱艷梅，出生年月：1990年10月，性別：女，籍貫：廣西興業縣，民族：漢族，學歷：本科，職稱：二級教師，研究方向：小學數學，單位：廣西貴港市港北區石羊塘小學，郵編：537000