積分方法在判斷級數斂散性中的應用

楊卓 翟羽

摘要：本文通過幾個實例，介紹了定積分在判斷數項級數斂散性以及求級數和運算中的應用，這種方法是數學分析級數理論中積分判別法應用的延伸.

關鍵詞：數項級數 正項級數 斂散性 定積分

數項級數斂散性的判別是數學分析課程中級數理論的重點和難點內容，其中又以正項級數的斂散性最為重要.大部分數學分析教材中涉及的正項級數斂散性判別法主要包括達朗貝爾判別法，柯西判別法和積分判別法等，它們的本質都是比較原則.其中，積分判別法是利用非負函數的單調性與積分性質，以反常積分作為比較對象來判斷正項級數斂散性的方法，例如重要的級數的斂散性結論就是利用積分判別法給出的.關于級數的基本概念與理論，可以參考[1]和[2].接下來，我們將通過幾個例子來進一步說明積分工具在處理級數斂散性問題中的重要應用.

（2013年第五屆全國大學生數學競賽（非數學專業類）預賽試題[3]）判斷級數的斂散性，若收斂，求其和.

分析：判斷正項級數斂散性時，我們主要采用的方法是比較估計級數通項趨于0的速度，經常選取的比較對象是級數.本題無法直接使用達朗貝爾判別法或柯西判別法判斷，不過可以借助適用范圍更廣泛的拉貝判別法來判斷其收斂性.這里，我們通過將通項分子中的各項轉化為定積分，從而給出通項趨于0的速度的估計.

如果大家熟悉歐拉常數

那本題中得到的對通項的估計是非常顯然的.

在級數理論中有一個常識性的結論：沒有收斂最慢的正項級數，也就是說，對任何一個收斂的正項級數，總可以找到另外一個比它收斂更慢的正項級數.所以沒有任何一種收斂判別法對所有的正項級數都適用.證明這個結論的方法有很多，下面的這種方法就利用了定積分這一工具.

通過以上幾個例子我們可以發現，在估計正項級數收斂速度和計算級數部分和數列時，利用積分技巧，將通項轉化為定積分形式，可以大大簡化證明和計算的過程，且這個過程較容易理解.因此，掌握這種技巧對于處理某些類型數項級數的斂散性問題是十分必要的.

參考文獻

[1]華東師范大學數學科學學院，數學分析（第五版）.高等教育出版社，2019.5.

[2]陳紀修，於崇華，金路，數學分析（第三版）.高等教育出版社，2019.5.

[3].呂新民，呂新華，大學生數學競賽輔導及真題詳解（第2版），北京航空航天大學出版社，2021.1.

[4].林源渠，方企勤，數學分析解題指南.北京大學出版社，2003.11.

[5].蒲和平，大學生數學競賽教程.電子工業出版社，2014.7.

中國礦業大學（北京）大學生創新訓練項目（C202007327），中國礦業大學（北京）教學改革項目（J20ZD25，J200810），北京高等教育本科教學改革創新項目（202011413003）資助