基于改進Logistic 映射的混沌圖像加密算法

曾祥秋，葉瑞松

（汕頭大學 數學系，廣東 汕頭 515063）

0 概述

在大數據時代，信息具有極大的價值，圖像是承載信息的一個重要載體，某些圖像隱含的信息至關重要。因此，必須保證數字圖像的傳輸、存儲、訪問等過程安全可靠。圖像加密技術能夠保障多媒體數據的隱私和保密性，是目前保護圖像安全最有效的方法之一，在許多應用中發揮著重要作用，如軍事圖像數據庫、付費電視、保密視頻會議、健康管理系統、在線私人相冊等［1］。

常見的圖像加密方案主要有2 種策略：一類重點關注加密系統中隨機序列的生成方式；另一類關注加密算法的結構設計。在第一類圖像加密策略中，隨機序列的生成方式大部分基于混沌系統，在基于混沌序列的圖像加密方案中，研究人員大多關注混沌映射的構造，原因是加密系統的安全性依賴其所使用的混沌系統的復雜性。現有的混沌映射具有周期性短、點分布不均勻、控制參數受限等缺點，因此，有很多學者針對混沌系統進行改進，以獲得更好的安全性。文獻［2］以混沌系統的初始值和參數作為密鑰，采用改進Joseph 遍歷的方法對圖像進行加密。文獻［3］利用2 個現有混沌映射作為種子映射，將余弦變換作為框架，從而生成一種新的混沌映射，并將其應用于所設計的圖像加密算法中。文獻［4］提出一種基于比特反轉的增強型數字混沌映射，其可以有效增強密鑰流的混沌特性。高維混沌映射比一維混沌映射更具安全性，前者經常直接被用于加密系統中：文獻［5］直接利用二維Logistic 映射進行圖像加密；文獻［6-7］分別利用二維和三維可逆模塊化混沌映射加密灰度圖像和彩色圖像，它們有效增大了密鑰空間；文獻［8］將Logistic 映射和sine 映射相耦合，將一維映射擴展到二維并用于圖像加密以獲得更快的速度和更好的性能。在關注加密算法結構設計的圖像加密策略中，利用DNA 運算和比特層次進行加密是常見的做法［9-10］。文獻［11］利用DNA序列實現多圖像加密中基于索引的置亂和擴散操作。文獻［12］提出一種結合纏繞Logistic 映射、動態DNA 編碼與運算的彩色圖像加密算法。文獻［13］利用比特替換的方法將混沌映射置亂后的圖像序列融合為2 組混沌序列，從而產生中間密文并有效隱藏明文信息。文獻［14］提出基于PWLCM 混沌映射、交叉替換和循環移位以實現比特級加密的圖像加密算法。

在上述2 類圖像加密策略的啟發下，本文改進傳統的一維Logistic 映射，提出一種同時進行置亂與擴散的加密算法。通過增加模運算使傳統Logistic映射的混沌參數范圍變大，參數范圍突破（0，4］的限制，利用該混沌系統設計的加密系統的密鑰空間也將擴大。為了使改進Logistic 映射在原有參數范圍（0，4］中所生成的序列具有更好的混沌特性，本文對改進映射所生成的序列進行比特重排，以使序列具有更好的混沌特性、遍歷性、初值敏感性、偽隨機性。利用改進Logistic 映射生成混沌序列用于預加密以及置亂-擴散階段的加密。為了抵抗已知明文攻擊或者選擇明文攻擊，加密算法的密鑰流設計不僅與密鑰有關，同時還和明文圖像信息相關聯。

1 基于改進Logistic 映射的混沌系統

本文對經典的一維Logistic 混沌映射進行改進，利用改進的Logistic 映射構造一個新的混沌系統。用分叉圖、Lyapunov 指數圖以及SP800-22Rvlla 的15 標準檢測對照改進前后混沌系統所生成序列的混沌特性，結果表明，改進后的混沌映射比傳統Logistic 映射具有更好的混沌特性和更大的參數范圍。

一維Logistic 映射［15］的數學 表達式如式（1）所示：

其中：μ為控制參數，μ∈(0,4]，只有當3.569 945 627 ≤μ≤4 時，序列Xn才處于混沌狀態。

為在一維Logistic 映射的基礎上解決控制參數范圍受限、點分布不均等問題，本文對傳統的Logistic 映射進行改進，具體如下：

其中：r≠0 為控制參數；Xn∈(0,1)；模函數mod(s,t)表示取模，返回余數。顯然，式（2）是式（1）的推廣。雖然增加模運算會提高運算量以及加密系統的時耗，但是增加模運算可以使得式（2）中參數r的范圍突破（0，4］的限制，從而擴大系統的混沌區域以及加密系統的密鑰空間。為了使式（2）在參數范圍（0，4］中所生成的序列具有更好的混沌特性，本文對式（2）所生成的序列進行比特重排，此時式（2）生成序列的具體步驟如下：

1）將r和初始值X0代入式（2）得到新的X1，再將X1化為L位的二進制形式。例如，假設X1為0.75，把0.75 寫成L位的二進制形式，L可以取任意的正整數，假設L=16，則有0.75→0.1100000000000000。

2）將小數點后的二進制序列進行比特重排，將奇數位比特值倒序排在前半部分，將偶數位比特值倒序排在后半部分，得到一個新的數，如圖1 所示。

圖1 比特重排示意圖Fig.1 Bit rearrangement diagram

3）將第2 步中得到的二進制數轉化為十進制數，作為新的初始值X1，代入式（2）得到下一個值，如此重復第2 步和第3 步，得到一個長度為n的混沌序列。

比特重排能夠提升序列的混沌性能，當系統初值和系統參數發生微小改變時，在剛開始的混沌過渡態中2 個軌道的點差別十分小，意味著過渡態中的序列值改變不大，將這樣的點列量化為整數，將大概率出現相同的整數值。對所生成的差異小的點列進行比特重排，可以使得重排后的2 個更新點列的差異變大，從而使更新序列具有更好的敏感依賴性、偽隨機性、遍歷性等混沌特性。圖2 分別為Logistic映射和基于改進Logistic 映射進行比特重排的新混沌映射的分岔圖，從中可以看出，本文改進的混沌映射比傳統Logistic 映射具有更大的混沌參數范圍，新混沌系統在（0，4］范圍內具有更好的混沌特性，其對所有參數所生成的序列均遍歷整個（0，1）狀態空間，并且具有更好的分布均勻性。

圖2 2 種映射的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagrams of two kinds of maps

對初始值的敏感依賴性是一個可以清晰表達動力系統混沌性質的重要屬性，該性質可以用Lyapunov 指數來刻畫，利用計算機數值計算得到的Lyapunov 指數若是正值，說明系統具有混沌性，Lyapunov 數值越大，系統的混沌性越強。圖3 所示為Lyapunov 指數圖，其中：圖3（a）為經典Logistic 映射的Lyapunov 指數圖，參數范圍為（0，4］，混沌區域為3.569 945 627 ≤μ≤4；圖3（b）為對Logistic 映 射進行模運算之后的新Logistic 映射的Lyapunov 指數圖，其混沌參數范圍更大，但不是所有參數對應的Lyapunov 指數都是正值；圖3（c）是對新Logistic 映射進行比特重排之后得到的改進Logistic 映射的Lyapunov 指數圖，所有參數對應的系統Lyapunov 指數均是正值，并且較大，達到21 以上，遠大于傳統混沌映射的Lyapunov 指數。從圖3 可以看出，在改進Logistic 映射中，所有參數對應的系統均具有正值的Lyapunov 指數并且數值相對較大，說明本文所提改進Logistic 映射具有更好的混沌性能。

圖3 3 種映射下的Lyapunov 指數情況Fig.3 The case of Lyapunov exponent under three kinds of maps

通過檢測序列在2 個不同時刻的相關程度，可以進一步刻畫序列的偽隨機性。將控制參數r和初始值X0分別設置為0.23 和3.98，分別將這2 個參數進行微小的改變，改變量均為10-14，得到2 個新序列，將新序列和原序列進行互相關系數計算。圖4（a）、圖4（b）分別是由改進前后混沌系統所產生混沌序列的自相關系數圖，圖4（c）～圖4（f）為混沌序列互相關系數圖，圖4（c）、圖4（d）是改進前混沌系統所產生序列的互相關系數圖，圖4（e）、圖4（f）是改進后混沌系統所產生序列的互相關系數圖。

圖4 混沌序列的自相關和互相關系數圖Fig.4 Coefficient diagram of autocorrelation and cross correlation of chaotic sequences

SP800-22Rvlla 標準由美國國家標準技術研究所（NIST）提出，專門用于對密碼應用中的隨機數或偽隨機數發生器產生的二進制隨機序列進行統計測試。SP800-22Rvlla測試給出了15種測試方法［1］，通過每種測試計算一個p值并與給定的顯著性水平作比較，從而判斷被測試的比特序列是否具有隨機性。將混沌序列轉化為比特序列的具體方法是將混沌序列值轉化為二進制形式，然后取小數點后的前52位比特值組成比特序列。利用SP800-22Rvlla 來測試比特重排前后的混沌系統所產生的混沌序列是否具有隨機性，設置比特序列長度為106，顯著性水平為0.01，當測試p值大于顯著性水平時，檢驗通過，測試結果如表1～表3所示。

表1 SP800-22Rvlla 測試結果Table 1 SP800-22Rvlla test results

表2 隨機旅行測試結果Table 2 Random travel test results

表3 隨機旅行變種測試結果Table 3 Random travel variant test results

從表1～表3 可以看出，比特重排后的混沌系統所生成的比特序列可以通過15 個子測試，而重排前的混沌系統所生成的比特序列只能通過15 個子測試中的一部分，說明由新混沌系統所生成的序列具體更好的隨機性。

由混沌系統的分岔圖、Lyapunov 指數圖以及SP800-22Rvlla 標準測試實驗結果可以看出，比特重排后得到的改進混沌系統的隨機性能優于比特重排前系統，前者所產生序列的混沌性能更優。

2 圖像加密算法

2.1 加密系統密鑰

在整個加密過程中使用的密鑰包括6 個部分，分別為X1、r1、X2、r2、L、Z，前5 個分別是2 個新混沌映射的初始值和系統參數值以及將混沌序列轉化為二進制形式時所取小數點后的位數，Z是與明文相關的量，其目的是提高加密系統的明文敏感性，計算如式（3）所示：

其中：f表示輸入的明文圖像，大小為M×N。

2.2 圖像加密過程

本文加密算法采用預加密、置亂與擴散同時進行的結構，以對灰度圖像進行加密，算法流程如圖5所示。

圖5 加密算法流程Fig.5 The procedure of encryption algorithm

將大小為M×N的灰度圖像作為輸入，加密算法的具體步驟如下：

步驟1產生混沌序列K。利用密鑰X1、r1、L、Z以及第2 節提出的新混沌系統，迭代Z次，跳過混沌系統的過渡態，再迭代n次，生成長度為n的混沌序列K=(k1,k2,…,kn)，n=M×N。

步驟2生成隨機矩陣F。將步驟1 中得到的序列K進行量化，轉化為與明文圖像大小相同的隨機矩陣F=mod(floor(K×108),256)，其中，函數floor(x)返回不大于x的最大整數。

步驟3預加密。將隨機矩陣F與明文圖像P進行比特異或操作，得到新的圖像PC：PC=PC⊕F。

步驟4分塊。將PC分成大小均等的4 個部分，每個塊大小均為M1×N1。

步驟5分塊同時進行置亂與擴散操作，具體流程如圖6 所示。

圖6 置亂與擴散同時操作的流程Fig.6 The operation process of scrambling and diffusion is carried out simultaneously

圖6 所示流程具體步驟如下：

1）將每個矩陣塊按行優先原則轉換為一維數組，數組長度為n1，n1=M1×N1。

2）產生2 個待置換的位置D1、D2。位置D1為順序位置m（m從第一個位置開始順序往后取）。位置D2由第2 節所提混沌系統及式（4）計算得到：首先利用密鑰X2、r2、L以及新混沌系統迭代一次得到一個數d，再利用式（4）計算位置D2。

3）判斷位置D1、D2是否被重復選取。如果D1、D2中有一個被重復選取，則跳過該位置。若順序位置D1被重復選取，則D1向后順延一位，D1=m+1；若隨機位置D2已被選取過，則D2向后順延一位，即D2=D2+1。

4）利用比特平面翻轉和動態異或擴散位置D1、D2處的像素值：

（1）比特平面翻轉。將位置D1、D2處的像素值PCD1、PCD2分解為8 個比特平面，高4 位比特平面和低4 位比特平面翻轉交換，然后合成得到新的灰度值PCZ1、PCZ2。

（2）動態異或。Y由位置D1、D2動態生成，Y=mod(D1×D2,256)，然后將灰度值PCZ1、PCZ2分別與Y進行動態異或，Z1=PCZ1⊕Y，Z2=PCZ2⊕Y，得到Z1、Z2。

5）交換D1、D2位置處的像素值。

6）利用X2=mod(d×D2,1)生成新的初始值X2，代入混沌系統生成新的d后，代入式（4），產生新的隨機位置D2，順序位置D1=m+1。

步驟6在同時進行置亂與擴散操作后，將所有的塊合并成一塊，順時針旋轉90°，再重復一次置亂與擴散操作，得到新圖像PZ。

步驟7將PZ順時針旋轉180°得到PZ1，重復1 輪上述操作，得到密文圖像C。

本文所提加密算法的解密過程是加密的逆過程，進行反向操作即可無失真地還原明文圖像，本文不再詳述。

3 實驗結果及安全性分析

為了驗證本文加密方案的性能，采用標準256×256 的Lena、Clock 和Walter Cronkite 灰度圖 像進行實驗，加密系統的密鑰設置為：X1=0.76，r1=17.92，X2=0.21，r2=0.35，L=56。3 張圖像的加密結果如圖7 所示，其中：圖7（a）、圖7（b）分別為Lena 的明文和密文圖像；圖7（c）、圖7（d）分別為Lena 的明文和密文圖像的直方圖；圖7（e）、圖7（f）分別為Clock 的明文和 密文圖像；圖7（g）、圖7（h）分別為Walter Cronkite 的明文和密文圖像。

圖7 本文方案的加密結果Fig.7 The encryption results of this scheme

3.1 密鑰空間

基于改進Logistic 映射的混沌圖像加密系統的密鑰包括X1、X2、r1、r2、L、Z，其中：X1、X2的取值范圍在0～1 之間；r1、r2可取任意非零的數值；X1、X2、r1、r2的步長均為10-14。因此，密鑰空間大小為1056，大于2100，即所提加密系統的密鑰空間足夠大，可以有效抵抗窮舉密鑰攻擊。

3.2 密文統計特性分析

3.2.1 直方圖分析

利用直方圖可以直觀地看出一幅圖像的像素值分布特征，為了進一步從客觀上說明直方圖的均勻性，本文利用χ2檢驗進行驗證。取常用的顯著性水平α=0.05，臨界值為χ2(255,0.05)=293.25。通過計算，Lena、Clock、Walter Cronkite 的密文圖像χ2統計量分別 為273.14、252.66、197.91，均 比χ2(255,0.05)小，即在顯著性水平為0.05 的情況下，可以認為密文圖像直方圖呈現均勻分布。

3.2.2 相鄰像素相關性

明文圖像在水平、垂直、對角方向上的相鄰像素之間相關性都較強，理論上而言，通過加密系統加密后的密文圖像在各個方向上的相關性很弱才表明加密系統的加密效果理想。為了測試密文圖像的相鄰像素相關性，在密文圖像各個方向上隨機選取2 000個相鄰像素值，通過式（5）、式（6）計算相鄰像素的相關性系數，計算結果如表4 所示。

表4 相鄰像素相關性系數統計結果Table 4 Statistical results of correlation coefficient of adjacent pixels

從表4 可以看出，明文圖像在各個方向上的相鄰像素相關性很強，而密文圖像在各個方向上的相鄰像素相關性很弱。與文獻［16-17］算法相比，本文算法可以降低相鄰像素的相關性。

3.3 敏感性分析

敏感性包括密鑰敏感性、明文敏感性等，是指密鑰或者明文發生微小改變時加密后得到的2 幅密文圖像是否有顯著差別。衡量2 幅圖像的差別主要有定性方式和定量方式2 種方法：定性方式直接顯示2 幅圖像的差異；定量方式主要通過計算像素變化率（NPCR）和歸一平均變化強度（UACI）進行衡量。NPCR 和UACI 的計算公式分別為式（7）和式（8），其中，函數D用來比較2個數值是否相等，當C1(i,j)=C2(i,j)，D(C1(i,j),C2(i,j))=0；否則，D(C1(i,j),C2(i,j))=1。

3.3.1 密鑰敏感性

密鑰敏感性強是指在加密或解密過程中，密鑰發生微小的變化，在加密同一個明文圖像得到的2 個密文圖像或者解密同一個密文圖像得到的2 個明文圖像之間有巨大差異。對于密鑰X1、X2、r1、r2、L，每次實驗改變其中一個密鑰值，其他保持不變，分析2 個密文圖像之間的差異。利用Lena、Clock 和Walter Cronkite 圖像進行實驗，計算所得密文圖像的NPCR 和UACI 值，計算結果如表5 所示。從表5 可以看出，本文加密系統具有很好的密鑰敏感性。部分解密結果如圖8 所示，解密系統同樣具有良好的密鑰敏感性。

表5 加密過程的密鑰敏感性Table 5 Key sensitivity of encryption process %

圖8 部分解密結果Fig.8 Partial decryption results

3.3.2 明文敏感性

擁有良好明文敏感性的加密算法可以有效抵抗差分攻擊。使用同一密鑰對差別微小的2 個明文圖像進行加密，得到的2 幅密文圖像相差較大，即說明加密系統具有明文敏感性。隨機改變明文圖像的一個位置像素值或一個灰度級來產生具有微小差別的2 幅明文圖像，重復隨機選取像素位置100 次，經過相同密鑰加密后得到2 幅密文圖像，計算2 幅密文圖像之間的NPCR 和UACI 值。100 個NPCR 和UACI值的平均結果如表6 所示，從表6 可以看出，本文方案的NPCR 和UACI 值接近NPCR 和UACI 的數學期望值（99.609 4%和33.463 5%），說明本文加密系統具有很好的明文敏感性，與文獻［18-19］算法相比，本文算法在抵御差分攻擊上具有更好的性能。

表6 明文敏感性對比結果Table 6 Plaintext sensitivity comparison results %

3.4 信息熵分析

信息熵可以反映圖像的隨機性或不確定性。如果一幅圖像隨機性越強，那么其信息熵越接近于數學理論值［20］。信息熵的計算公式為：

其中：T是灰度等級數；p(i)表示灰度值i出現的概率。對于T=256 的灰度隨機圖像來說，H的理論值為8。各個明文圖像和密文圖像的信息熵結果如表7 所示，從表7 可以看出，密文圖像的信息熵接近于理想值，與文獻［18-19］算法相比，本文算法信息熵結果更優，其可以更好地抵御信息熵攻擊。

表7 信息熵對比結果Table 7 Information entropy comparison results

4 結束語

本文對經典Logistic 映射進行改進，添加模運算并對所生成的序列進行比特重排，使得新混沌映射所生成的序列具有更好的混沌特性，并利用改進混沌系統所生成的序列設計一個包含預加密且同時進行置亂與擴散操作的圖像加密方案。在預加密階段對圖像像素進行預處理，擴散圖像的像素值，然后利用改進Logistic 映射隨機不重復生成置亂-擴散的像素位置，其中，由簡單的交換實現置亂，對像素的比特平面進行翻轉和動態異或完成擴散。實驗結果表明，該圖像加密方案具有較高的安全性，可以抵抗暴力攻擊、差分攻擊、統計攻擊、明文攻擊等。本文是對標準256×256 灰度圖像進行加密與解密研究，下一步考慮將加密方案推廣到彩色圖像領域，同時在加密性能與加密時間2 個方面進行折中以獲得更好的加密效果。