基于交替方向乘子法的分布式負荷頻率控制策略

李玲芳，陳義宣，許巖，文福拴

(1. 云南電網有限責任公司電網規劃建設研究中心，昆明市 650011；2. 浙江大學電氣工程學院，杭州市 310027)

0 引 言

負荷頻率控制 (load frequency control, LFC) 指根據系統頻率變化和聯絡線傳輸功率變化調節發電機的有功出力，從而使電力系統頻率和聯絡線交換功率維持在設定的允許范圍內[1]。由于很難精確預測負荷需求，需要實時調整發電機有功出力以跟蹤負荷需求的動態變化，從而維持系統頻率在給定的允許范圍之內。導致系統實際頻率偏離額定頻率。LFC對抑制系統頻率偏差和區域間聯絡線上的功率偏差從而維持電力系統安全穩定運行具有重要意義。

電力系統頻率調節包括一次調頻和二次調頻[2]。在二次調頻中，通常采用比例-積分(proportional-integral，PI)控制。不過，PI控制的動態性能高度依賴其增益，而高增益一方面可以提高系統的響應速度，另一方面會惡化系統動態行為從而可能導致系統頻率振蕩和失穩。在此背景下，本文研究如何設計分布式最優LFC策略來進行二次調頻以實現頻率偏差為0且系統動態性能最優。

為提升LFC的性能，現有文獻中采用了一些先進控制方法設計負荷頻率控制器。文獻[3-5]采用魯棒控制策略抑制負荷變化導致的系統頻率偏差。文獻[6-7]研究了計及通信延遲情況下負荷頻率控制器的設計問題。文獻[8-9]采用自適應控制策略提升系統運行點發生變化時的系統控制性能。文獻[10]采用最優控制策略抑制系統頻率偏差和聯絡線功率偏差。此外，模型預測控制[11]、自抗擾控制[12]、滑模控制[13-14]和事件驅動控制[15]也被用于設計負荷頻率控制器以改善控制性能。不過，這些方法應用于實際多區域電力系統負荷頻率控制器設計時，參數整定比較困難。基于線性矩陣不等式的魯棒控制策略的控制器參數整定相對容易，但這種方法通常需要對系統模型進行降階預處理，從而可能導致系統部分動態特性的丟失。

也有一些文獻采用啟發式優化算法[16-21]設計負荷頻率控制器。文獻[22]采用粒子群優化算法整定控制器參數。文獻[23]采用灰狼優化算法確定分數階控制器的參數。不過從理論上無法保證這些啟發式優化算法能夠獲得控制器參數的最優解，尤其是對于實際多區域電力系統，需要優化的控制器參數較多，啟發式優化算法就未必能求得最優解。

在上述背景下，本文提出一種基于分布式優化策略的負荷頻率控制器設計方法，以優化系統頻率控制性能，并提高控制器參數整定的計算效率。在所構建的優化模型中，目標函數包含兩項，分別表征控制性能和控制器增益矩陣稀疏度。采用交替方向乘子法(alternating direction method of multiplier, ADMM)求解該優化問題。所提方法具有下述優點：1) 可以獲得與集中控制策略相當的頻率控制性能，且通訊復雜度較低；2) 利用ADMM的特點可把優化目標分解為可用解析方式求解的2個子優化問題，進而提高參數整定效率，且適用于實際多區域電力系統。最后，以三區域電力系統模型為例對所提方法的可行性和有效性進行驗證。

1 負荷頻率控制模型

多區域互聯電力系統中的每個區域都設有一個調度控制中心，系統頻率和區域間聯絡線上的交換功率均在其監控之中。目前大多數汽輪發電機和水輪發電機都裝有調速裝置，可以對系統頻率變化做出響應。

圖1為多區域互聯電力系統中第i個區域的負荷頻率控制系統框圖。盡管電力系統的穩態和動態模型都是非線性的，但負荷頻率控制是針對小擾動的，可以近似采用線性化模型[24]。圖1中的KBi和KEi為傳統的PI控制器參數。

圖1所示的第i個區域的模型可用下述微分方程組描述[24]：

圖1 互聯電力系統中第i個區域的模型Fig.1 The model of the i-th area in an interconnected power system

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：Δfi(t)、ΔPgi(t)、ΔXgi(t)和Δδi(t)分別表示t

時刻的頻率偏差、有功輸出調整量、調速器閥門位置調整量和轉子角偏差；N表示所研究的互聯電力系統中包含的區域數目；ΔPdi(t)表示t時刻的負荷擾動；TGi、TTi和TPi分別表示調速器、汽輪機和電力系統的時間常數；KPi和Ri分別表示電力系統的增益和速度調節系數；Ksij表示區域i和區域j之間的連接增益，如果這2個區域間沒有功率交換則Ksij為0；ui(t)表示區域i的輔助控制輸入。

為便于表述，可將微分方程組式(1)—(4)改寫成矩陣形式：

(5)

式中：Xi(t)和Xj(t)分別表示區域i和區域j在t時刻的狀態向量，Xi(t)=[Δfi(t) ΔPgi(t) ΔXgi(t) Δδi(t)]T；Ui(t)表示控制器在t時刻的輸入向量；

2 分布式最優負荷頻率控制器設計

根據式(5)，包含n個區域的互聯電力系統的負荷頻率控制問題可描述為：

(6)

在互聯電力系統中，一個區域內的負荷擾動可能會對另一個區域造成明顯影響，嚴重時甚至會產生級聯故障(cascade failure)。為盡可能降低這種區域間的耦合影響，可以采用最優控制策略實現負荷頻率控制[10]。雖然采用集中最優控制策略設計控制器增益K可以實現良好的負荷頻率控制性能，但其對區域間的信息實時交互要求較高。另一方面，描述多區域互聯電力系統動態過程的微分方程組相當復雜，這對采用集中優化策略實現負荷頻率控制帶來了很大困難。

本文所研究的負荷頻率控制器設計方法可以用下述優化問題描述：

minJ(K)+γg(K)

(7)

s.t.(A-B2K)TP+P(A-B2K)=
-(Q-KTRK)

(8)

式(8)所描述的等式約束為系統穩定條件，可通過動態系統穩定性理論分析得到[26]。

式(7)中的優化目標包含兩項：J和g。J表示傳統的控制性能指標。僅以指標J作為優化目標時，可實現對頻率控制性能的優化。但這種集中控制策略需要反饋的信號數量較多，因此增加了區域間信息實時交互的復雜度。g為控制器增益矩陣稀疏度指標，g的值越小，控制器增益矩陣的非零元素越少，需要反饋的信號數量也就越少。本文采用J和g之和作為優化目標，以兼顧最優控制性能和降低區域間信息交互的復雜程度這兩方面的期望。

由于式(7)中的優化目標同時包含了指標J和指標g，在求解由式(7)和(8)所描述的優化模型時，采用傳統基于梯度的求解方法一般只能求得局部最優解。采用ADMM算法可以有效求解這個問題。ADMM算法將要求解的優化問題分解為2個子優化問題，然后對這2個子優化問題交替迭代求解，最終求得原始優化問題的解。理論上已證明采用ADMM算法可求得控制器參數的最優解[27]。

采用ADMM算法求解式(7)和(8)所描述的優化模型的步驟如下：

步驟1：將式(7)和(8)所描述優化模型分解為2個子優化問題。

采用g(G)表示式(7)中指標g(K)，則由式(7)和(8)所描述的優化模型可分解為2個子問題：針對K優化系統的頻率偏差指標J(·)

(9)

和針對G優化控制器結構指標g(·)

(10)

Lp(K,G,Λ)=J(K)+γg(G)+

tr[ΛT(K-G)]+ (ρ/2)‖K-G‖2

(11)

式中：Λ表示拉格朗日乘子；ρ表示正的標量。

步驟2：交替求解子優化問題式(9)和式(10)。

基于ADMM的方法架構，通過對子優化問題式(9)和式(10)交替求解，最終可求得分布式最優負荷頻率控制策略；這種方法的計算效率較高，適用于決策變量較多的優化問題。采用ADMM算法求解這2個子優化問題的過程如圖2所示，其具體實現流程可參看文獻[27]，因篇幅所限這里不再贅述。

圖2 基于ADMM的分布式最優負荷頻率控制器設計過程Fig.2 Design procedure of the ADMM-based distributed optimal load frequency controller

3 算例與結果

3.1 算例參數

采用一個三區域電力系統算例來說明所提分布式負荷頻率控制策略的有效性。IEEE 10機39節點電力系統即新英格蘭測試系統[28]可劃分為3個區域，連接母線3和4、14和15、16和17為3個區域之間的聯絡線。根據文獻[29]，經過抽象建模之后的三區域控制系統連接框圖如圖3所示。u1、u2和u3為輸入的控制信號，由所提出的控制策略優化確定。區域1和區域3采用圖1所示的汽輪機調速系統模型。區域2采用水輪機調速器系統，其數學模型如下詳述[28]。

圖3 三區域電力系統模型框圖Fig.3 Block diagram of a three-area power system model

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：ΔPg2(t)表示水輪機有功輸出調整量；ΔXz2(t)表示閥門位置調整量；ΔXm2(t)表示引導閥位置調整量；ΔXy2(t)表示閥門動作速度補償調整量；Tw2表示水流慣性時間常數；TG2表示調速器時間常數；Tr2表示軟反饋時間常數；rt2表示軟反饋增益；rp2表示下垂系數；Ks2為增益。

本文在MATLAB2016b編程環境下進行仿真研究。參數設置為：KP1=120 Hz/pu,KP2=112.5 Hz/pu,KP3=115 Hz/pu;TP1=20 s,TP2=25 s,TP3=20 s；TG1=0.08 s，TG2=0.20 s，TG3=0.07 s；TT1=0.3 s，Tw2=1 s，TT3=0.35 s；R1=2.4 Hz/pu,rp2=0.04 pu,R3=2.5 Hz/pu；Tr2=6 s；rt2=0.5 pu;Ks2=0.2 pu；Ks12=Ks13=Ks21=Ks23=Ks31=Ks32=0.5 pu/Hz。

3.2 控制器增益矩陣

通過圖2所示算法，可得到控制器增益矩陣K，其結構如圖4所示。在圖4中，藍色的點表示該處矩陣元素不為0。從圖4中可以看出，當γ=0.000 10時，K的所有元素都不為0，即控制結構為集中模式；這意味著對每個區域的控制器設計而言都需要用其相鄰區域的系統狀態信息來計算式(6)中的控制信號U。隨著γ值的增加，K中的零元素越來越多；當γ=0.390 690時，K中只有9個非零元素，此時控制器結構呈現分布式特征，且區域間需要交互的系統狀態信息最少。

圖4 控制器增益矩陣K的結構Fig.4 Structure of the gain matrix K

3.3 控制性能及與現有方法比較

本節通過算例對所提分布式負荷頻率控制策略和傳統基于PI的負荷頻率控制策略進行對比分析，以說明所提方法的有效性。給定3個區域所受到的負荷擾動分別為ΔPd1=0.010 pu、ΔPd2=0.020 pu和ΔPd3=0.015 pu。

當采用基于PI的負荷頻率控制策略時，獲得的系統頻率響應偏差和區域間聯絡線功率響應偏差如圖5所示。可以看出，這2個偏差在15 s時均仍存在微小振蕩。

采用集中式負荷頻率控制策略時，控制器增益矩陣結構如圖4(a)所示。系統的頻率響應偏差和聯絡線功率響應偏差如圖6所示。從圖中可以看出，3個區域的頻率偏差在15 s時幾乎為0。與圖5對比可知，采用集中式負荷頻率控制策略時的頻率響應超調量更小。比較圖5和圖6中的功率響應曲線可得類似結論。因此，采用集中式負荷頻率控制能有效抑制負荷擾動造成的系統頻率偏差和聯絡線功率偏差，并改善頻率控制性能。

圖5 基于PI的負荷頻率控制響應曲線Fig.5 Response curves of the three-area interconnected power system with the PI-based LFC strategy under load disturbances

圖6 集中式負荷頻率控制響應曲線Fig.6 Response curves of the three-area interconnected power system with the centralized LFC strategy under load disturbances

采用所提分布式負荷頻率控制策略時，控制器增益矩陣結構如圖4(d)所示。系統的頻率響應偏差和聯絡線功率響應偏差如圖7所示。可以看出3個區域的頻率偏差在15 s時幾乎為0。與圖6對比可知，采用所提分布式負荷頻率控制策略時的頻率控制性能與集中式負荷頻率控制一致，只是區域1和區域3的頻率偏差響應的超調量在2.5 s附近存在微小差異。比較圖7和圖6中的功率響應曲線可得類似結論。因此，由3.2節的分析可知，采用圖4(d)所示控制器結構的信息交換復雜程度低于采用圖4(a)所示控制器結構。因此，所提分布式負荷頻率控制策略具有較低的通信復雜度。

圖7 分布式負荷頻率控制響應曲線Fig.7 Response curves of the three-area interconnected power system with the distributed LFC strategy under load disturbances

4 結 語

本文提出基于交替方向乘子法的分布式負荷頻率控制策略，以優化頻率控制性能，且降低對區域間信息的交互需要從而提高計算效率。在所提優化方法中，目標函數包含二次最優控制性能指標和控制器增益矩陣稀疏化指標；該優化問題被轉化為2個子優化問題并采用ADMM有效求取控制器增益矩陣，從而降低了控制器實現的復雜程度。采用含三區域的互聯電力系統進行仿真驗證，計算結果表明針對負荷擾動和時變參數，所提方法能把系統頻率偏差和區域聯絡線功率偏差控制到0。

后續研究工作將針對區域間實時交換的信息數據不完整或有錯誤時，對所提方法進行測試并基于相關結果對所提分布式負荷頻率控制設計方法進行改進和發展。