矩陣轉(zhuǎn)置對(duì)圖形變換的幾何意義*

曹富軍，袁冬芳

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

轉(zhuǎn)置是矩陣的一種運(yùn)算，在矩陣的所有運(yùn)算法則中占有重要地位.在線性代數(shù)[1，2]、多維圖像和信號(hào)處理中，矩陣轉(zhuǎn)置是最基本的操作，很多矩陣計(jì)算均需要矩陣轉(zhuǎn)置操作，矩陣轉(zhuǎn)置操作效率在較大程度上決定了科學(xué)計(jì)算和圖形圖像應(yīng)用程序的性能[3，4].矩陣轉(zhuǎn)置是矩陣的一種特殊變換，它有許多豐富的結(jié)果和應(yīng)用[5，6]，文章通過(guò)設(shè)計(jì)案例揭示矩陣轉(zhuǎn)置對(duì)圖形變換的幾何意義.

1 矩陣轉(zhuǎn)置的定義

定義：設(shè)矩陣A=(aij)m×n，將矩陣A的行換為同序數(shù)的列所得到的矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT.

不妨沿著矩陣A和AT的第一行第一列元素a11右下方45°做一條射線，可得如下2個(gè)矩陣：

不難看出，AT實(shí)際上是由矩陣A沿著通過(guò)a11右下方射線作鏡面翻轉(zhuǎn)得到的,這也可以看作是矩陣轉(zhuǎn)置的幾何定義.

2 矩陣轉(zhuǎn)置的幾何意義

定義如下5×5的矩陣A根據(jù)矩陣轉(zhuǎn)置的定義，很容易得到AT.

首先，由于矩陣A是方陣，將矩陣A的元素沿對(duì)角線進(jìn)行分割，可以看出AT實(shí)際上是將中A所有元素沿主對(duì)角線進(jìn)行鏡面翻轉(zhuǎn)得到的.

進(jìn)一步，假設(shè)用1表示白色，0表示黑色，則矩陣A及AT的灰度圖像如圖1所示.

圖1 矩陣A及AT的灰度圖像(a)矩陣A的灰度圖像；(b)矩陣AT的灰度圖像

將矩陣A的灰度圖像沿主對(duì)角線分割為上、下三角兩部分，如圖2(a)和(b)所示.分別將矩陣A的灰度圖像的上、下三角部分做鏡面翻轉(zhuǎn)，如圖3，4所示.由圖3和4可知，矩陣AT的灰度圖像也是將矩陣A的灰度圖像沿著主對(duì)角線進(jìn)行鏡面翻轉(zhuǎn)得到的.

圖2 矩陣A的灰度圖像沿主對(duì)角線分割圖(a)矩陣A灰度圖像的下三角部分；(b)矩陣A灰度圖像的上三角部分

圖3 矩陣A的灰度圖像的下三角部分沿主對(duì)角線做鏡面翻轉(zhuǎn)(a)矩陣A灰度圖像的下三角部分；(b)圖(a)沿主對(duì)角線做鏡面反轉(zhuǎn)圖像

圖4 矩陣A的灰度圖像的上三角部分沿主對(duì)角線做鏡面翻轉(zhuǎn)(a)矩陣A灰度圖像的上三角部分；(b)圖(a)沿主對(duì)角線做鏡面反轉(zhuǎn)圖像

為進(jìn)一步探索矩陣A及AT的關(guān)系，對(duì)灰度圖像做旋轉(zhuǎn)變換，讓其順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得圖5(b).

圖5 矩陣AT的灰度圖像及將其旋轉(zhuǎn)90°后的圖像(a)矩陣A的灰度圖像；(b)矩陣A的圖像順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的圖像

將矩陣AT的圖像、矩陣AT的灰度圖像順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖像，以及矩陣A的灰度圖像進(jìn)行比較，如圖6所示.由圖6可知，矩陣A的灰度圖像是由矩陣AT的灰度圖像順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再將所得圖像沿y軸中心線作鏡面翻轉(zhuǎn)得到的.因此，可以得出如下結(jié)論，矩陣轉(zhuǎn)置對(duì)圖形變換的幾何意義是先將圖形沿y軸中心線做水平鏡面翻轉(zhuǎn)，再將所得圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.

圖6 對(duì)矩陣A，AT的灰度圖像進(jìn)行比較

考察2幅實(shí)際圖片，選定一幅灰度圖像圖7(a)，其對(duì)應(yīng)矩陣為A，將該矩陣AT轉(zhuǎn)置后所表示的灰度圖像圖7(b)與原圖像對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證上述圖形變換的規(guī)律.

圖7 原始圖像及將其對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置后對(duì)應(yīng)的灰度圖像(a)測(cè)試矩陣A的灰度圖像；(b)所對(duì)應(yīng)的灰度圖像

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，將矩陣A進(jìn)行轉(zhuǎn)置得到AT，同時(shí)矩陣所對(duì)應(yīng)的灰度圖像將通過(guò)2個(gè)步驟發(fā)生變化如圖8所示.①首先圖像沿著中心y軸中心線做水平鏡面翻轉(zhuǎn)；②將翻轉(zhuǎn)后的圖像沿著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.這和通過(guò)數(shù)字矩陣的灰度圖像得出的圖形變化規(guī)律是一致的.

圖8 矩陣轉(zhuǎn)置對(duì)圖像變換的2個(gè)步驟

3 結(jié)論

從矩陣轉(zhuǎn)置的代數(shù)定義出發(fā)，首先闡釋了矩陣轉(zhuǎn)置直觀上的幾何定義.同時(shí)利用數(shù)字矩陣與灰度圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系，設(shè)計(jì)案例驗(yàn)證了矩陣轉(zhuǎn)置直觀幾何定義的準(zhǔn)確性.進(jìn)一步通過(guò)觀察矩陣轉(zhuǎn)置后灰度圖像的形式，總結(jié)出了矩陣轉(zhuǎn)置對(duì)圖形變換的幾何意義，即矩陣轉(zhuǎn)置對(duì)應(yīng)著先將原圖形沿著y軸中心線做水平鏡面翻轉(zhuǎn)，接著將翻轉(zhuǎn)后的圖像沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.最后通過(guò)實(shí)際圖像進(jìn)一步驗(yàn)證了該規(guī)律的準(zhǔn)確性.