帶有定價誤差和隨機風險溢價的均衡投資策略*

王佩，李明昕

(1.廣東金融學院，廣東 廣州 510521；2.內蒙古科技大學 理學院，內蒙古 包頭 014010)

從理論上講，在一個沒有摩擦的金融市場中，兩種資產和在未來某一固定時刻應具有相同或幾乎相同的未定權益.因此，它們會以相同或接近相同的價格進行交易.然而，真正的金融市場并非毫無摩擦.因此，這對資產之間可能存在顯著的定價差異，這種現象被稱為“定價誤差”.在現實中存在很多定價誤差的例子，例如一些在中國證券交易所以A股，而在香港證券交易所以H股上市的中國公司就存在定價誤差：主要包括中國銀行和中國農業銀行.根據慣例，即使只有一個價格偏離資產的正常價格水平，就可以認為定價較高的資產被(相對)高估，而定價較低的資產被(相對)低估.這兩種資產在未來的某個時刻(可能是預先確定的)的價格應該相等，因此利用這種定價誤差套利的常見策略采取“Long-Short”(以下簡稱L-S)策略.L-S策略持有相同規模的投資組合權重或股票數量，但符號相反，參見Mitchell M等[1]與Liu J等[2].

雖然L-S策略在業界和學術界都被廣泛使用，但其設計目的是利用長期套利機會，卻忽視了對短期多元化收益的探索.為了最優地利用定價誤差，Liu J等[3]將其置于最大化投資組合框架下，進而推導出投資者的最優策略.他們發現，最優策略并不總是L-S策略.Yi等[4]進一步考慮了股票具有隨機風險溢價和定價誤差時，最優投資組合選擇問題.他們發現，與Liu J等[3]的結果不同，在隨機風險溢價下，即使股票的流動性相同，投資者的最優投資策略也不是L-S策略.在Liu J等[3]和Yi B等[4]的啟發下，Gu A L， Gu A L等[5，6]分別考慮了無隨機風險溢價和隨機風險溢價下帶有定價誤差的最優投資再保險策略.

但目前有關帶有定價誤差的最優投資組合選擇問題僅局限在終端財富期望效用最大化的假設下進行，沒有控制投資組合的風險.因此，在均值-方差準則下研究帶有定價誤差的最優投資組合選擇問題更符合實際需要.然而均值-方差目標函數中的方差項不滿足期望迭代性質，Bellman最優性原則不再成立，從而導致均值-方差優化問題是一個時間不一致問題，即在初始時刻得到的最優策略在未來時刻不再是最優的.然而，投資策略的時間一致性是理性投資者的基本要求.如果投資策略缺乏時間一致性，投資者可能會遭受意想不到的損失.投資者更偏好對每個時間點都是最優的時間一致性策略，而不是僅在初始時間最優的預先承諾策略.因此，在Bj?rk T[7]提出的博弈論框架下，大量的學者試圖通過求解擴展Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程系統研究均值-方差準則下的時間一致投資策等和略(也稱均衡策略)，參見Bj?rk T等[8]、Zeng Y[9]等和Li Y[10]等.

因此，本文在均值-方差準則下，研究具有定價誤差和隨機風險溢價的投資組合選擇問題.具體地，金融市場包含一個無風險資產，一個市場指數和一對錯誤定價的股票，其中市場指數和股票的價格過程均滿足幾何布朗運動，而股票具有服從均值回復過程的隨機風險溢價.投資者的決策目標是最大化終端財富期望的同時最小化終端財富的方差.在博弈論的框架下，得到均衡投資策略和相應值函數的解析式.然后利用數值算例分析了模型參數對均衡投資策略和均衡有效前沿的影響.

1 模型構建

設(Ω，F，Q)一個賦流的完備概率空間，具有信息域流{Ft}0≤t≤T，其中Ft為t時刻t金融市場中的信息，[0，T]為固定有限的投資期限.假設文中所有的隨機過程均為{Ft}0≤t≤T適應的.

1.1 金融市場

假設金融市場由一個無風險資產、一個市場指數和一對存在定價誤差的股票.無風險資產的價格過程S0(t)為：

(1)

式中：r>0為無風險利率.市場指數的價格過程Pm(t)滿足如下隨機微分方程：

(2)

式中：μm>0為市場風險溢價，σm為市場波動率，Zm(t)為一維標準布朗運動.一對存在定價誤差的股票價格過程P1(t)，P2(t)滿足如下隨機微分方程：

(3)

(4)

式中：l1，l2，σ>0，β>0為常數，Z(t)，Z1(t)，Z2(t)為3個一維標準布朗運動，且Zm(t)，Z(t)，Z1(t)，Z2(t)彼此相互獨立.σdZi(t)為2支股票的共同風險，βdZi(t)為第i支股票的特質風險，μ(t)為2支股票共同風險σdZ(t)的溢價，其動態演化過程滿足如下均值回復過程：

(5)

(6)

dX(t)=-(l1+l2)X(t)dt+bdZ1(t)-bdZ2(t)

=(l1+l2)(0-X(t))dt+bdZ1(t)-bdZ2(t) .

(7)

式(7)表明定價誤差X(t)也服從一個均值回復過程，其長期均值為0，均值回復速度為l1+l2.為了方便起見，假設l1+l2>02.li可表示第i支股票的流動性，i=1,2.事實上，定價誤差一般發生在具有摩擦的金融市場，而市場摩擦很大程度上是源于市場流動性不足.當流動性l1,l2較小時，定價誤差X(t)需要較長的時間才能回復到零均值，這與流動性越低，市場摩擦越大的觀點是一致的.

1.2 財富過程

令π={(πm(t),π1(t),π2(t)),0≤t≤T}為投資策略，其中πm(t),π1(t),π2(t)分別表示時刻t投資到市場指數和2支股票的財富比例，則1-πm(t)-π1(t)-π2(t)為時刻投資到無風險資產的財富比例.因此，投資者采用投資策略π時的相應財富Wπ(t)滿足如下動態過程：

(8)

同時，假設Wπ(0)=w0,X(0)=x0,μ(0)=π0.

定義1：(容許策略)稱策略是一個容許策略π={(πm(t),π1(t),π2(t)),t∈[0,T]}，如果

(Ⅱ)對任意(t,w,x,μ)∈[0,T]×O，O=+××，方程(8)式有唯一強解.

所有允許策略組成的集合記為Π.

1.3 優化問題

假設投資者的目標是終端財富越多的同時風險越小.也就是說投資者在投資期末T的財富水平達到最高且風險最低.投資者的這一目標可用下面的均值-方差模型表示：

(9)

式中：γ為投資者的風險厭惡程度，Et,w,x,μ[·]=E[·|Wπ(t)=w,X(t)=x,μ(t)=μ]和Vart,w,x,μ[·]=Var[·|Wπ(t)=w,X(t)=x,μ(t)=μ]分別為給定Wπ(t)=w,X(t)=x,μ(t)=μ下的條件期望和條件方差.另外，J(t,w,x,μ)可寫為：

=Et,w,x,μ[F(Wπ(T))]+G(Et,w,x,μ[Wπ(T)])

本文將在Bj?rk T[7]等提出的博弈論框架下求解時間不一致優化問題(9)，并尋找其時間一致的均衡投資策略.下面首先定義優化問題(9)的均衡策略.

定義2：(均衡策略)稱一個容許策略π*是優化問題(9)的均衡策略，如果對所有給定的π∈Π，h>0，和(t,w,x,μ)∈[0,T]×O，下式成立

式中：πh為

πh(s,y)=

則優化問題(9)的均衡值函數為

V(t,w,x,μ)=J(t,w,x,μ,π*)

2 均衡投資策略

下面利用Bj?rk J等[7]的結論推導優化問題(9)滿足的擴展HJB方程系統.為了方便起見，定義

C1,2,2,2([0,T]×O)={Ψ(t,w,x,μ)|Ψ(t,·,·,·)在[0，T]上一階連續可微，Ψ(·,w,x,μ)分別關于w在+，x在，μ在上二階連續可微} .

對任意Ψ(t,w,x,μ)∈C1,2,2,2([0,T]×O)，定義微分算子Aπ：

式中：Ψt,Ψw,Ψx,Ψμ,Ψww,Ψxx,Ψμμ,Ψwx,Ψwμ分別為Ψ(t,w,x,μ)關于相關變量偏導數的簡寫，πm,π1,π2分別為πm(t),π1(t),π2(t)的簡寫.

根據Bj?rk T[7]等中的擴展HJB方程系統與相應驗證定理，可知優化問題(9)的均衡投資策略π*和相應的均衡值函數V(t,w,x,μ)可通過求解如下擴展HJB方程系統和驗證定理得到.

定理1：(驗證定理)假設存在實值函數V(t,w,x,μ)，g(t,w,x,μ)∈C1,2,2,2([0,T]×O)滿足如下的擴展HJB方程系統：

(10)

其中上式中第一個方程的極大值在π*實現，G◇g，Hug定義為

(G◇g)(t,w,x,μ)=G(g(t,w,x,μ)) ,

Hπg=Gy(g(t,w,x,μ))Aπg(t,w,x,μ) ,

則g(t,w,x,μ)=Et,w,x,μ[Wπ*(T)]，π*為優化問題(9)的均衡投資策略，V(t,w,x,μ)是相應的均衡值函數.

證：該定理的證明類似于Bj?rk T[7]等中定理4.1的證明，這里省略.

為了求解優化問題(9)的均衡策略和相應均衡值函數，對擴展HJB方程系統(10)進行化簡，得到如下命題.

命題1：擴展HJB方程系統(10)可化簡為

(11)

(12)

(13)

證：該定理的證明類似于Li Y等[10]，故略去.

通過求解化簡的擴展HJB方程系統(11)～(13)，可得優化問題(9)的均衡策略和相應均衡值函數的解析表達式.猜測函數V(t,w,x,μ)和g(t,w,x,μ)具有如下形式：

(14)

Vw=A1,Vww=0,Vx=A2x+A3+B3μ,Vxx=A2,

Vμ=B1μ+B2+B3x,Vμμ=B1,Vxx=Vμμ=0 ,

(15)

和

(16)

根據一階最優條件，對方程(15)分別關于πm,π1,π2求導，得到

(17)

將(17)式代入(15)，(16)式，并關于w，x2，x，μ2，μ，xμ及剩余項進行整理，可得

(18)

和

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

將(20)～(32)式分別代入(14)與(17)式，即可得均衡值函數、期望的終端財富與均衡投資策略π*.將結果總結為如下命題.

定理2：具有財富過程(8)均值方差優化問題(9)的均衡投資策略為

其中

(33)

相應的均衡值函數為

(34)

預期的終端財富為

g(t,w,x,μ)=Et,w,x,μ[Wπ*(T)]

(35)

(36)

(37)

則有

(38)

注2：根據定義1、定理2和優化問題(9)的定義，可知給定初始條件(w0,x0,μ0)下，優化問題(9)在時刻t=0的均衡有效前沿為

3 數值算例

3.1 均衡策略的敏感性分析

本文主要關注股票隨機風險溢價和其均值回復速度κ，定價誤差x及其均值回復速度l1+l2對均衡投資策略的影響.若假設x>0且l2>l2>0，則第一支股票價格被高估而第二支股票價格被低估，并且被低估的股票回復到均值的速度比被高估的股票回復到均值的速度快.因此，買入低估股票的優勢會以更快的速度消失.l1和l2的相對大小以及x與0的相對大小有很多可能的組合，都可以進行相應地解釋和分析，本文不再詳述.

圖1 μ對均衡投資策略的影響

圖2 x對均衡投資策略的影響

圖3，4顯示了股票隨機風險溢價的均值回復速度κ和定價誤差的均值回復速度l1+l2對πL-S的影響.圖3表明πL-S隨κ的增大而增大，圖4表明πL-S關于l1+l2也是遞增的.但通過比較圖3，4可發現，πL-S對l1+l2的變化更為敏感，而對κ的變化不太敏感.當l1=l2時，2支股票流動性相同，則πL-S與κ無關.πL-S體現了2支股票的流動性差異以及定價誤差.均值回復速度κ會改變股票的流動性，因此對πL-S有影響，但當2支股票的流動性差異為零時，這種影響消失.因此，投資者利用定價誤差的套利優勢時，應關注市場流動性的變化.

圖3 κ對πL-S的影響

圖4 l1+l2對πL-S的影響

圖5，6顯示了股票隨機風險溢價的均值回復速度κ和定價誤差的均值回復速度l1+l2對均衡有效前沿的影響.由圖5可知，隨著κ的增長，股票隨機風險溢價μ(t)的不確定性越小，故當終端財富的期望水平相同時，終端財富的方差越小，也就是說投資風險降低.圖6表明，當l1+l2增大，定價誤差X(t)的不確定性降低，因此終端財富的期望水平相同時，終端財富的方差減小.

圖5 κ對均衡有效前沿的影響

圖6 l1+l2對均衡有效前沿的影響

4 結論

研究了股票存在定價誤差且具有隨機風險溢價時，使投資者終端財富均值-方差效用最大的均衡投資策略.股票的隨機風險溢價和定價誤差都遵循均值回復過程.利用Bj?rk T[7]等提出的博弈論思想，得到了均衡投資策略以及相應值函數的解析式.通過數值算例分析了隨機風險溢價和定價誤差對均衡投資策略及均衡有效前沿的影響.結果表明，市場流動性會影響對定價誤差的對沖需求，并且市場流動性增強會降低投資組合風險.