復數復雜網絡的修正延時投影同步

張 昊

(太原理工大學信息與計算機學院，山西 晉中 030600)

1 引言

近些年來，高維混沌系統，特別是高維復雜網絡動力系統，由于其在物理，化學，工程力學領域的潛在應用，吸引了越來越多研究者的興趣[1-3]。其中一種廣泛被接受的研究方法就是用動力系統表示復雜網絡中的各個節點，然后通過設計有效的控制器，同步整個網絡到固定軌道。如今，人們已經發現許多種同步現象，比如說完全同步[4-6]，相同步[7，8]，延遲同步[9]，投影同步[10]，廣義同步[11-14]等。而在許多實際情形中，復雜網絡的同步往往存在一定時間的延遲，因而對于復雜網絡延時同步的研究顯得非常重要。近幾年來，人們對復雜網絡延時同步的研究取得了大量成果，如Zuo等設計了帶有時變延遲的復雜網絡指數同步框架[15]。Guo等在不假設網絡是可約和對稱的前提下，用牽制控制的方法研究了復雜網絡的延時同步問題[16]。Ji等研究了帶延時耦合的動力網絡中的延時同步問題[17]， Tang等人研究了兩個復雜動力網絡的混沌延時同步[18]， Wang等人研究了多權值復雜網絡的廣義延時同步[19]， Zhang等人采用牽制控制研究了分數階復雜網絡的外部延時同步[20]等。

此外，研究者們在考慮延時的同時，不僅研究了復雜網絡的完全同步，還研究了復雜網絡的其它同步現象。由于完全同步和反同步可以看做是特殊的投影同步，因而在考慮復雜網絡同步問題時，研究者常常將系統的延時與同步的投影結合在一起考慮。Zhang等用脈沖同步的方法研究了一般網絡的延遲同步和投影同步[21]。Wu等研究了局部結構不完全相同的網絡的投影延時同步問題[22]。Zheng等人研究了神經型時滯神經網絡的投影延時同步問題[23]。

稍顯不足的是，以上研究均是在實數范圍內研究的，而當系統狀態變量取值為復數時可用來描述復數電流，磁盤發動機，高能加速器中的粒子束流等的性質。Mahmoud等研究了不同種類的復數混沌系統的行為和同步問題[24-26]，作者基于復數系統，研究了復數神經網絡系統中的滑膜控制同步問題[27]。然而現有的關于復數同步的研究并沒有應用于具有小世界性和無標度性的大規模復雜網絡當中。

本文在前人研究的基礎上，將復數變量引入復雜網絡，研究了大規模復數網絡的延遲投影同步問題，值得注意的是，對于投影同步而言，并不是簡單的將系統變量放在復數域內進行研究，而是將修正投影的比例因子也取值為復數，這樣無論是變量還是參數均具有了復數性質，網絡的同步行為更加復雜。

2 網絡模型和理論介紹

由N個節點組成的復雜網絡模型可描述為

(1)

將F(·)的線性部分和非線性部分分離，可以得到

(2)

其中Ai，i=1，2，…，N是線性部分的雅克比矩陣，f(·)為剩余非線性部分，繼續分離實部和虛部，得到

(3)

其中fs表示f的實部，fm表示f的虛部，設參考節點為

(4)

其中B是參考節點線性部分的雅克比矩陣，hs表示h的實部，hm表示h的虛部。

定義1：

當存在正的時間延遲τ和復數比例因子pu=pus+pumj(pus和pum不同時為零)，u=1，2，…，n使得

i=1，2，…，N，u=1，2，…，n，

時，稱復雜網絡(3)達到了關于參考節點(4)的延時修正復數投影同步，pus和pum分別表示節點內部第u個變量對應投影比例因子的實部和虛部。

引理1[28](Barbalat’s lemma)

3 延時復數修正投影同步設計

為了使得復數網絡與參考系統達到同步，對網絡施加外部控制，令控制器為μi=μis+μimj，μis表示μi的實部，μim表示μi的虛部則有

(5)

根據延時修正投影同步的定義，代入復數狀態變量和復數投影比例因子，可以得到狀態變量關于復數投影的誤差為

(6)

其中

eis(t)=[ei1s(t)，ei2s(t)，…，eins(t)]Τ

eim(t)=[ei1m(t)，ei2m(t)，…，einm(t)]Τ

結合以上誤差，由網絡(3)和參考系統(4)，可得對應網絡的同步誤差系統為

(7)

為了讓投影誤差(6)趨于零，需要設計相應的控制器使得誤差系統(7)穩定，從而可設計同步控制器為

(8)

其中δs>0和δm>0。

當考慮復數系統時，必須將實數部分與虛數部分分開研究，而當研究其穩定性時，可以將實部與虛部統一考慮，則有以下定理成立。

定理1：當

證明：

對于復數系統，可設定復數李雅普諾夫函數如下

(9)

將控制器代入誤差系統，并對該李雅普諾夫函數求導可以得到

其中

es(t)=(e1s(t)，e2s(t)，…，eNs(t))Τ

em(t)=(e1m(t)，e2m(t)，…，eNm(t))Τ

評述：

當對網絡中的部分節點采用以上方法進行牽制控制時，可以看做是

Δs=(δ1s，δ2s，…，δps，0，…，0)Τ

p，q是正的整數且1

推論：

對于特殊的線性矩陣A，如果A是負定的，可以取Δs=(0，0，…，0)Τ，Δm=(0，0，…，0)Τ來使得網絡達到同步，即不需要加入線性反饋控制項。

4 數值仿真

在這一部分中，將針對不同拓撲結構和不同節點數目的網絡進行模擬，假設網絡中節點都可以用如下復數Lorenz系統來描述其動力學行為

其中conj表示對應項的共軛復數。

4.1 NW小世界網絡模型

NW小世界網絡是一種典型的復雜網絡模型，采用隨機概率 來加邊的方法構造網絡該復雜網絡，與當前節點有連接的鄰居節點范圍定義為，以下為對應不同規模NW網絡對應不同參數時的情況。

首先，選取網絡的節點數N=15，隨機加邊概率為0.6，連接鄰居范圍為8， 隨機生成網絡鄰接矩陣為：

在本部分，選取網絡的節點數N=15，隨機加邊概率ν=0.6，連接鄰居范圍K*=8， 隨機生成網絡鄰接矩陣為

為了方便起見，設定如下變量來衡量網絡中每個節點的實部和虛部總誤差：

令網絡耦合強度c=0.03，選取復數投影為p1=2+5j，p2=3+8j，p3=6，延時選取為τ=0.5s在3s時對網絡施加控制，選取前10s 進行觀察，可以得到仿真結果如圖1 所示。

其中re(·)代表實部，im(·)代表虛部。從圖1(a)和圖1(b)中可以看到對于網絡中隨機抽取的節點9，其第2個變量的實部和虛部在施加控制后迅速達到了同步，且存在延時，而圖1(c)則說明整個網絡的實部和虛部都達到了類似于節點9的延時同步。

在實際復雜網絡中，網絡節點數往往比較多，節點之間的連接并沒有4.1.1小節中那樣緊密，選取網絡的節點數N=100，隨機加邊概率，連接鄰居范圍， 隨機生成網絡的同步圖像如圖2 所示。

圖2 當N=100時，復數NW小世界網絡的復數投影同步圖像

從圖2(a)和圖2(b)中可以看到對于網絡中隨機抽取的節點9，其第2個變量的實部和虛部在施加控制后迅速達到了關于復數投影的延時同步，而圖2(c)則說明整個網絡的實部和虛部都達到了類似于節點9的同步。

4.2 BA網絡中的復數投影延時同步

世界雜網絡的類型有許多，除了以上典型的NW小世界網絡之外，還有BA網絡也是另一種典型的復雜網絡模型。采用增加節點和隨機加邊的方法生成網絡，選取初始網絡的節點數N1=10，最終生成網絡的節點數N2=15，對于新生成的每個節點隨機加邊數為5， 隨機生成網絡及其同步圖像如圖3所示。

圖3 當N=15時，復數BA網絡的復數投影同步圖像

從圖3(a)和圖3(b)中可以看到對于網絡中的延時同步情況，圖3(c)則說明整個網絡都到達了同步。

5 結論

本文將復數系統引入到了復雜網絡中，對于該類狀態變量為復數的復雜網絡，考慮了網絡的延時，以及對于復數系統而言特有的復數投影，提出了復數復雜網絡中的復數投影延時同步。延時在許多復雜網絡中都存在，而復數投影式復數系統才有的特有同步現象。本文所提方法可以通過改進得到Pinning控制器和自適應控制器，對于合適的線性與非線性劃分，甚至可以在不添加線性反饋控制項的基礎上使得網絡達到同步。最后，對不同拓撲結構，不同規模以不同類型的復雜網絡進行了仿真，均能在網絡的實部和虛部得到復數投影延時同步，這表明了無論網絡是稀疏還是稠密，規模龐大與否都可以達到同步。值得注意的是，這也是首次在變量和投影項都是在復數范圍內取值時來考慮復雜網絡的投影延時同步問題。仿真結果說明了方法的有效性。