改進的引力搜索算法及在波束賦形中的應用

孫翠珍

(西安科技大學通信與信息工程學院，陜西 西安 710054)

1 引言

陣列天線波束賦形屬于陣列綜合問題，是通過確定陣列天線的激勵幅度、相位，陣元個數等參數，使輻射方向圖盡可能接近要求的天線陣輻射特性的過程。陣列賦形可以很大程度地簡化天線設計的復雜度，并且降低設計成本，因此成為天線設計過程中的熱點研究問題[1]。波束賦形大多數都具有非線性、不可微、多參數的特點，利用解析方法及數值優化方法很難得到期望的輻射方向圖。啟發式算法由于具有魯棒性強、適應范圍廣、計算能力強且對優化目標沒有過多約束等特點，因此成為波束賦形領域的有效計算工具。該類算法中的傳統算法如遺傳算法(Genetic algorithm，GA)[2]、粒子群優化(Particle swarm optimization，PSO)[3]已被用于陣列賦形問題中并取得了滿足設計要求的結果。2009年，Esmat Reshedi等人提出了引力搜索算法(Gravitational search algorithm， GSA)[4，5]，該算法作為一種啟發式算法，具有高效的優化性能，已經在天線設計領域得到了廣泛的應用[6-9]，但是對于復雜的陣列賦形問題，該算法在優化過程中的優化精度低且收斂速度慢。

論文中提出了一種改進算法：偽反向學習引力搜索算法(Quasi-oppositional gravitational search algorithm， QOGSA)。首先，為提高GSA的收斂速度，設計了一種新的反向概率probq，它隨著迭代次數的變化而變化，將其用于偽反向學習機制(Quasi opposition-based learning， QOBL)[10]中，替換掉QOBL中的固定反向概率，優化了QOBL用于GSA中的時機；其次，為提高算法的優化精度，定義了“精英粒子”，并用其替換掉下一代種群中適應度值較差的粒子，改善了種群的多樣性。將基于可調反向概率probq的QOBL以及精英粒子嵌入GSA中，提出了QOGSA，基于不同的仿真實例表明，QOGSA在優化精度、收斂速度方面均優于GSA算法，更適合于解決復雜的陣列天線波束賦形問題。

2 引力搜索算法及方向圖

2.1 引力搜索算法實現過程

引力搜索算法是一種基于萬有引力定律搜索機制的智能優化算法，種群中粒子的位置對應于問題的解[5]。粒子的質量大小與適應度值成正相關，粒子所在位置越優，其質量越大。根據萬有引力和牛頓第二定律，粒子之間相互吸引且都向質量最大的粒子靠近，即所有解都逐漸向最優解靠近。經過一定次數的迭代，所有的粒子將會聚集在最優個體周圍。種群中最大質量的粒子所在位置即為問題的最優解。

步驟1：初始化群體中各粒子的位置、速度；

(1)

(2)

步驟2：計算種群中粒子的適應度值和質量；

(3)

(4)

其中fiti(t)表示第t次迭代時粒子i的適應度值；best(t)和worst(t)表示第t次迭代時種群的最優適應度值和最差適應度值；Mi(t)為第t次迭代時粒子i的質量。

步驟3：計算每個粒子在各個維度受到引力的合力；

(5)

(6)

(7)

步驟4：計算粒子的加速度和速度；

(8)

(9)

步驟5：更新粒子所在位置；

(10)

步驟6：如果滿足終止條件，則輸出最優粒子位置，并終止算法；否則轉向步驟2。

2.2 方向圖及適應度函數

N元等間距線陣的歸一化方向性函數如下

(11)

其中In是陣元n的復激勵(激勵幅度和相位)；Fmax是方向性函數最大值，θ為陣列軸線與射線方向之間的夾角，N為陣元數目，k為波數，d為陣元間距。

陣列天線中，適應度函數的設置和方向圖的誤差相關，而優化過程中要綜合考慮方向圖的主瓣和旁瓣誤差，同時為了避免誤差出現0值影響后續計算，論文中把最小值問題轉化為最大值問題進行處理。適應度函數設置如下

f=100/(1+α·ffit1+β·ffit2+γ·ffit3)

(12)

其中ffit1=(FNBW-FNBWde)2，FNBW，FNBWde是實際方向圖的零功率主瓣寬度和期望方向圖的相應值；ffit2=(MSL-MSLde)2，ffit3=(MML-MMLde)2。MSL，MSLde是最大旁瓣電平及其期望值；MML，MMLde代表了主瓣最大抖動及其期望值。α，β，γ為權值系數。

3 偽反向學習引力搜索算法實現過程

3.1 概率可調的偽反向學習機制

論文中對QOBL[10]中的固定反向概率進行了改進，設計了一種可調反向概率probq。

在QOBL實現過程中，計算每次反向操作后，反向操作值優于原始值的個體數量Ns及其概率Ps，將迭代次數按照反向學習周期劃分，經過一個反向周期PNmax次迭代后，統計Ps的平均值Psav，最大值Psmax及最小值Psmin。Pst代表第t次迭代后的Ps。

(13)

根據Ps的變化趨勢動態調整probq的大小

probq=probq*ZF

(14)

當

(15)

否則

(16)

其中，μ是控制因子，PNmax是反向周期，在利用算法進行優化的過程中，這兩個參數的取值要兼顧收斂速度和計算精度，經過反復試驗，論文中μ設置為4，PNmax取為5。

當反向操作可以產生更多的優秀個體時，說明此時的種群需要更多的反向操作，按照調整過的probq就可以在后續迭代過程中增加反向操作的機會；反之亦然。這樣可以根據實際需求，來自適應調整反向操作的次數，優化反向時機，從而提高全局收斂速度。

3.2 精英粒子

(17)

(18)

滿足上面兩個表達式的粒子為精英粒子。精英粒子雖然與最優粒子的距離較大，在迭代過程中很可能被淘汰，但是由于其適應度值好于平均值，周圍存在最優解的概率較大，若用其替換掉下一代種群中的較差個體，可以提高種群的多樣性，從而提高算法的優化精度。

3.3 偽反向學習引力搜索算法實現步驟

將基于可調概率的QOBL和精英粒子嵌入GSA，形成了QOGSA，其實現步驟如下：

步驟1：初始化種群P0，粒子個數為Np個；

步驟2：利用QOBL產生P0的偽反向學習種群QOP0；

步驟3：重新產生種群；根據式(12)計算P0、QOP0中粒子的適應度值，從中挑選Np個最優個體作為初始種群P0；

步驟4：probq的計算；每隔PNmax次迭代，計算Ps，Psmax，Psmin，根據式(13)計算Psav，根據式(15)(16)判斷計算ZF，式(14)計算可調概率probq；

步驟5：精英粒子的選擇；根據式 (17)-(18) 計算精英粒子。并用最優粒子及精英粒子替換下一次迭代時適應度值最差及次差的粒子；

步驟6：GSA中各變量的計算；根據式(3)-式(10)計算相應值；

步驟7：迭代過程中進行QOBL；判斷probq，若其在規定的范圍內(小于0.3)[10]，對當前種群進行QOBL操作，并進行步驟3；

步驟 8：判斷是否終止；若滿足終止條件，停止迭代；否則重復步驟2-步驟7。

4 算法的驗證及結果分析

利用QOGSA實現多個目標的波束賦形，并且和GSA進行對比，為客觀準確地比較算法的性能，GSA和QOGSA的參數取值均參照文獻4，包括種群個數取50，G0=100，α=20。

4.1 階梯包絡波束賦形

設計一個26元階梯包絡陣列，其方向圖的具體要求為：主瓣寬度10°，式(12)中，旁瓣區域θ∈[-40°，-5°]∪[5°，40°]對應的MSLde=-30dB，θ∈[-90°，-40°]∪[40°，90°]的MSLde=-40dB；d=λ/2，α=0.45，β=0.55，γ=0。對陣元激勵進行優化，GSA[4]和QOGSA的迭代次數相同，均為1000次。

圖1是兩種算法綜合得到的方向圖曲線，QOGSA的方向圖兩個旁瓣區域的電平均低于GSA；圖2是適應度值曲線(收斂曲線)對比，當迭代次數超過300次時，QOGSA和GSA的適應度值趨于穩定，且前者的穩定值要高于后者，說明經過1000次迭代，QOGSA得到的方向圖更接近期望方向圖，優化精度更高。當適應度值相同，即主瓣和旁瓣的誤差和相同時，QOGSA需要的迭代次數略少，說明該算法收斂速度略快于GSA。表1是兩種算法具體的優化結果對比，在主瓣展寬程度相同的情況下，論文中提出的 QOGSA算法優化得到的峰值旁瓣電平分別為-30.5126dB和-40.5669dB，與GSA算法相比(-29.5991dB和-39.6370dB)，分別降低了0.9135dB和0.9299dB。綜上，QOGSA在收斂速度略快于GSA的基礎上，優化精度得到了大幅度提高，進一步驗證了QOGSA的優化性能。

表1 基于GSA算法和QOGSA算法的優化結果對比

圖1 兩種算法優化的方向圖比較

圖2 兩種算法的收斂曲線比較

4.2 余割平方波束賦形

設計一個20元直線陣列，要求其主瓣為余割平方包絡，方向圖的具體要求為：零功率主瓣介于[85°，130°]之間，式(12)中，主瓣抖動MMLde在±0.5dB之間， MSLde=-20dB，d=λ/2，誤差系數α=0.4，β=0.2，γ=0.4。本節除了將QOGSA和GSA[4]進行比較，還和文獻中的GA[2]、PSO[3]算法的性能進行了比較，4種算法迭代次數均為1000次。

仿真得到的方向圖曲線如圖3，QOGSA優化得到的方向圖無論是主瓣還是旁瓣均為最優，GSA算法次之；圖4是在相同迭代次數的條件下，4種算法的適應度函數曲線(收斂曲線)對比，QOGSA和GSA經過相同迭代次數，可以得到比GA和PSO更好的適應度值，QOGSA的優化精度在4種算法中最佳。迭代超過400次時，QOGSA的優勢更明顯，此時其收斂速度快于GSA，并且當適應度值要求超過90時，GA和PSO增加迭代次數，其適應度值也不能滿足要求，說明QOGSA和GSA可以改善GA和PSO算法局部最優的問題。表2是4種算法的設計指標及具體優化結果對比，可以看出，GSA和QOGSA綜合得到的峰值旁瓣電平(-19.7236 dB和-20.7584dB)明顯要低于GA和PSO算法(-18.7719 dB和-18.2530 dB)； QOGSA在主瓣抖動最小(0.7398dB)的情況下，其旁瓣區的峰值電平最低(-20.7584 dB)，且零功率主瓣展寬遠小于其它3種算法(1.8°)。QOGSA以快于GSA，GA，PSO三種算法的收斂速度得到了最優解。

圖3 四種算法優化的方向圖比較

圖4 四種算法優化的收斂曲線比較

表2 四種算法優化余割波束的結果對比

5 結論

為了解決GSA用于復雜的波束賦形時優化效果不理想的問題，提出了一種改進算法：基于概率可調偽反向學習機制的引力搜索算法(QOGSA)。首先針對QOBL中反向概率固定帶來的反向時機判斷不準確的缺點，設計了一種隨迭代次數變化而動態調整的概率probq，將其用于QOBL和GSA中，可以調節種群全局探索能力和局部開采能力的平衡，提高算法的收斂速度；其次為提高種群的多樣性，定義了精英粒子，在GSA迭代過程中保留該類粒子，并用其替換下次迭代時的次差粒子，從而大大改善了算法的優化精度。通過對階梯包絡波束、余割平方波束的優化結果可以看出，和同類算法GSA、GA、PSO相比，在迭代次數以及算法控制參數相同的條件下，QOGSA在收斂速度得到提高的基礎上，主瓣展寬小，旁瓣電平低，主瓣抖動小，更適合應用于復雜的陣列波束賦形問題。