高考數學試卷中的奇異之美賞析

謝廣喜

奇異之美， 因在某處有奇特性質而美，美在因稀少而不易發現，所以彌足珍貴（著名的發明家愛迪生試驗了上千種材料，才找到用鎢材料制作的燈絲，可見鎢材料在高溫下具有一般材料所沒有的奇異性質），如同懸崖百丈冰上的梅花，一株獨傲風雪（引自毛澤東《卜算子·詠梅》風雨送春歸，飛雪迎春到.已是懸崖百丈冰，猶有花枝俏. ……）;她的美又在于能將表面上的不可能變為可能進而實現之，這好比兩軍對壘，其中一方卻要在對方百萬軍中取上將首級，何等困難！它好比是黎明前沖破黑暗里的一絲微光，盡管希望渺小卻不可忽視;因為它往往可能是絕處縫生，峰回路轉的轉折點.

高中數學中的奇異之美，一方面，可以表現在某些函數某些點處的特殊性質，比如函數f（x）=在x=0在處由于不定義而不連續;又如函數g1（x）=x在x=0處雖然連續卻不可導（讀者可以畫出這個函數的圖像，分別從x=0處的兩側觀察，從右側看斜率為1，而從左側看，斜率卻為-1），完全類似地，函數g2（x）=lnx在x=1處也是連續卻不可導的. 值得注意的是，函數h（x）=xx在x=0處又可導了，真是奇了怪哉！ 當然，也存在處處連續卻處處不可導的例子，這里不多說了;又如：若Sn=1++++…+，則當n→+∞，Sn的極限是否存在？直觀的看，所加上去的數越來越小，很有可能極限存在，然而，事實上當n→+∞時，Sn卻是發散的，這就是有名的調和級數的發散性（如何證明當n→+∞時，Sn發散呢？研究并進行簡單放縮即可），值得注意，好幾次全國高中數學聯賽的二試試題都用到這個知識，然而我們卻又有=，（這一結果高中無法嚴格證明，需要用到高等數學知識方可），事實上，P級數1++++…++…當P >1都是收斂的（即和的極限存在）.

另一方面，也可以是一些解決數學問題的方法具有獨特性質，典型的如夾逼法等等，我們覺得這些方法也具有數學奇異之美，本文討論的重點就放在大家熟知的夾逼法（有關夾逼法的一些具體說明，讀者可參閱本刊2020年第9期P31，此處不再贅述）上，值得注意：夾逼法存在的問題背景是非常廣泛的（盡管問題本身有其特殊性），我們可以在函數、方程、不等式、數列、三角甚至立體幾何的背景下看到它的影子.

例1.（2021年江蘇南通高三上學期末模擬題）已知f（x）=（x-a-b）sin（？仔x+），若f（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，則a+b=（ ）

A. ???B. ???C. 1?? D. 2

【解析】易知？坌x∈[-1，-）∪（，1]時有sin（？仔x+）<0，從而由題意有

當？坌x∈[-1，-）∪（，1]時應有（x-a-b）≥0，分別使x→--1及x→+2，（其中1，2為足夠小的正數），也有（x-a-b）≥0，也即（--a-b）≥0且（-a-b）≥0;

另一方面有？坌x∈（-，）時，sin（？仔x+）>0，從而由題意，？坌x∈（-，）時，應有（x-a-b）≤0，分別使x→-+3及x→-4，（其中3，4為足夠小的正數），也有（x-a-b）≥0，也即（--a-b）≤0且（-a-b）≤0，綜上必有（--a-b）=0且（-a-b）=0，于是+a=-a，解得a=，進而得b=，于是a+b=，選A.

【評注】這是一道較為新穎的夾逼法試題，以上解法在具體書寫上，似乎有點啰嗦，但筆者以為這樣理解才較為嚴謹.

例2.（2020年江蘇卷第19題第（1）小題）已知關于x的函數y=f（x），y=g（x）與h（x）=kx+b，（k，b∈R），在區間D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x），若f（x）=x2+2x，g（x）=-x2+2x，D=（-∞，+∞），求h（x）的表達式.

【解析】由題意有在區間D=（-∞，+∞）上恒有x2+2x≥kx+b≥-x2+2x成立，取x=0，得0≥b≥0，即b=0，也即在區間D=（-∞，+∞）上恒有x2+2x≥kx≥-x2+2x成立，則x2+（2-k）x≥0，？坌x∈R恒成立，所以△=（2-k）2≤0，而由實數平方的非負性，必有（2-k）2≥0，只有k=2，此時2x≥-x2+2x恒成立，于是h（x）=2x為所求.

【評注】這道題先后兩次使用夾逼法，具有一定的典型性和代表性，值得注意，有的同學會問：如何發現取x=0這個特殊值呢？一般地，如果在區間D上恒有？覬1（x）≥h（x）≥？覬2（x）成立，想要探求是否存在x0∈D，使得？覬1（x0）=？覬2（x0），只要解這個方程即可（注意對結果回頭驗證是否在給定區間內），這就給我們相對一般地處理此類問題指明了方法和方向.

例3.（2018年北京卷理第11題）設函數f（x）=cos（？棕x-），（？棕>0），若f（x）≤f（）對任意的實數x都成立，則？棕的最小值為????????????????? .

【解析】一方面顯然有f（）≤1，另一方面又有1=f（x）max≤f（），于是1≤f（）≤1，必有f（）=1，也即f（）=cos（？棕-）=1，即？棕-=2k？仔，（k∈Z）

所以？棕-=2k，（k∈Z）即？棕=8k+>0，（k∈Z），所以正數？棕的最小值為.

例4.（2012年江蘇卷理第20題）已知各項為正數的兩個數列{an}和{bn}滿足：an+1=，（n∈N？鄢）.（1）設bn+1=1+，n∈N？鄢，求證：數列{（）2}是等差數列;

（2）設數列bn+1=·，n∈N？鄢，且{an}是等比數列，求a1和b1的值.

【解析】（1）這一問比較簡單，且與第（2）小問沒有聯系，此處從略.

（2）由題意可令an=a1qn-1，其中a1>0，q>0，下面解題的關鍵是最終確定q=1，如何才能排除q>1及00，則==1+，所以1<≤2，即11，對于任意給定的正數a1，由指數函數的單調性知，隨著n的增大，an=a1qn+1總有可能大于，與1

【評注】這道題難點在于求的是a1，b1，如果改成證明an=bn=就容易一些（盡管試題難度沒有實質性改變，但卻為我們的求證工作指明了方向），其中對于數列{an}的公比的確定，正是用了夾逼法才最終能到q=1的結果.類似地可運用夾逼法求解的問題在2012年的高考數學試卷中并不少見，比如浙江卷理第17題、遼寧卷理第7題、湖北卷理第7題等等，限于篇幅，此處從略（感興趣的讀者可自己上網搜索這些試題去體會一下）.

例5. 如圖1，四面體DABC的體積為，且滿足∠ACB=45°，AD+BC+=3，則CD=??????????? .

【解析】設D點到ABC面的距離為h，則h≤AD，已知VDABC=，也即SABC=，即hBC·AC·sin45°=，也即h·BC·=1，而AD+BC+=3，有1=≥3≥3=1，所以，必須有h=AD，且AD=BC==1，于是CD==.

【評注】本題需用到三元基本不等式取等號條件，供參考.

【反饋練習】

1.（2021年5月浙江省鎮海中學高考數學模擬題）若實數a，b滿足ln（2a）-lnb≥a2+-1，則a+b=（ ）

A. ??B. ??C. ??D. 2

2.（2021年重慶預賽題）關于x的方程2- acos（1-x）=0只有一個實數解，則（ ）

A. a=-1? B. a=1? C. a=2? D. a的值不唯一

3.（2020年復旦大學強基計劃試題）設x，y∈[-，]若x3+cos（x+）+2a=0，4y3+sinycos-a=0，則cos（x+2y）=?????????? .

4.（2020年河北正定中學高一月考試題）已知二次函數y=ax2+bx+c，（a>0），對任意的實數x，不等式2x≤ax2+bx+c≤（x+1）2恒成立，則a+b+c=???????????? .

5.定義：首項為1，且對任意自然數n∈N？鄢，數列{an}滿足數列an+1-an>3，則稱數列{an}為“M數列”，已知公比為正整數的等比數列{bn}為“M數列”，記數列{bn}滿足bn=an，且數列{bn}不是“M數列”，則數列{an}的通項公式為???????? ????.

6.（2011年安徽卷理第9題）已知函數f（x）=sin（2x+？漬），其中？漬為實數，若f（x）≤f（），對x∈R恒成立，且f（）>f（？仔），則f（x）的單調遞增區間是（ ）

（A）[k？仔-，k？仔+]（k∈Z）

（B）[k？仔，k？仔+]（k∈Z）

（C）[k？仔+，k？仔+]（k∈Z）

（D）[k？仔-，k？仔]（k∈Z）

7.（2017廣西預賽）設函數f（x）=4x3+bx+1（b∈R），對任意的x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，求實數b的取值范圍.

【參考答案】

1. 因為由題意有ln（2a）-lnb=ln≥a2+-1≥-1，另一方面，對于任意實數x>0有lnx≤x-1，取x=，（其中a>0，b>0），又有ln≤-1，于是只有ln=-1，由圖像可知=1，此時基本不等式也去等號，也即ab=1，于是a=，b=，所以a+b=，選（C）.

2. 構建函數f（x）=2-acos（1-x），即f（x）=2-acos（x-1），容易發現該函數關于直線x=1對稱，于是若函數有大于1的一個零點x=1+（>0），必有小于1的一個零點x=1-（>0），這樣就與已知題意矛盾，除非只有一個零點x=1才符合題意，所以，將函數零點（也即原方程的實數根）x=1代回得a=1，只有（B）.

3. 已知條件兩個等式中上一個即為x3+sinx+2a=0，下一個表達式整理即為（2y）3+sin2y-2a=0，而函數f（t）=t3+sint，t∈[-，]是奇函數，也是單調增函數，而現在f（x）=x3+sinx=-2a=-f（2y），利用單調性，只有x=-2y，于是cos（x+2y）=cos0=1.

4. 研究（x+1）2-2x=0的實根，發現有兩個相等的實數根x1，2=1，于是對不等式2x≤ax2+bx+c≤（x+1）2取x=1，立得2≤a+b+c≤2，也即a+b+c=2.

5. 記等比數列{an}的公比為q，由題意q∈N？鄢，而數列{an}為“M數列”，即對任意自然數n∈N？鄢，an+1-an>3，取n=1，則a1（q-1）>3，已知a1=1，于是q>4，進一步由q∈N？鄢知q≥5;再由bn=an，且數列{bn}不是“M數列”知n0∈N？鄢，使得b-b≤3，即a（q-1）≤3，前面已得q≥5，則有a≤，又1≤a≤，可得q≤5，則必有q=5，所以an=5n-1.

6. 由題意？坌x∈R，f（x）≤f（），已知函數f（x）=sin（2x+？漬），取x=-，立得1≤f（），而有正弦函數的有界性易知f（）≤1，于是由夾逼法立得f（）=1，即sin（+？漬）=1，得+？漬=k？仔+（k∈Z），也即？漬=k？仔+（k∈Z），又已知f（）>f（？仔），即sin（？仔+？漬）>sin？漬，即sin？漬<0，所以？漬=2k？仔+（k∈Z），

也即f（x）=-sin（2x+），聯系y=sinX的遞增、遞減區間，可知在2k？仔+≤2x+≤2k？仔+（k∈Z）上f（x）單調遞增，即x∈[k？仔+，k？仔+] （k∈Z）單調遞增，正確答案為（C）.

7. 已知對任意的x∈[-1，1] ，4x3+bx+1≥0恒成立，取x=-1，得b≤-3;再取x=，得b≥-3，所以只有b=-3，回頭驗算，易知b=-3為所求.【注】如何想到上面的解法的呢？我們可以認為是從一些最基本的數量關系出發嘗試的結果，顯然容易想到嘗試x=±1的情形，接著可以試探x=0，（x=±1的中點），接著就可以試x=，（x=0和x=1的中點），當然，我們是求所有這些情況下實數b的取值范圍的交集，于是上述結果易得.

所以，要想發現問題的奇異之美，不僅要有清晰的學科概念，更要有敏銳的觀察能力，同時還要有持續深入研究的毅力和勇氣，這三者形成有效的合力，結合具體問題的情境，才有可能挖掘到.

責任編輯 徐國堅