泛函積分方法與非Gauss隨機散射通道模型中傳遞函數的概率分布計算

周良建， 顏 駿， 趙 豐， 詹 路

（四川師范大學 物理與電子工程學院，四川 成都610066）

發射信號在傳播中經物體反射后，原始的入射信號振幅將發生改變，通過入射波與反射波的振幅差異可以得到波反射的位置、運動狀態和散射體性質等信息.雷達的目標探測、地貌探測等大多數物理應用，都是基于對發射和接收信號的各種對比.信號傳播和散射的物理模型通常都是根據經驗結果所總結出的現象學理論，因此，具有一定的實用價值.但是由于散射系統環境可能具有的不確定性，所以在理論研究中，除了包含確定成份之外，還應研究散射通道中隨機成份的影響，這在處理雷達信號中也是必須考慮的因素［1］.

傳遞函數τ（ω）可以描述散射截面的隨機性對信號波傳輸的影響，這類函數是由頻率為ω的發射波和反射波振幅比來定義的物理量，它與散射體截面平方根成正比關系，與散射體到發射器和接收器的距離成反比關系.本文將引入復空間散射振幅密度ρ（r）來描述散射體截面的強弱［2］，然后由密度和衰減函數乘積的體積分來重新表示傳遞函數.根據傳遞函數中的實部和虛部的δ函數乘積，可進一步定義其密度泛函空間上的概率分布.通過對Dirac-δ函數進行傅里葉變換后導出帶有輔助積分變量的特征函數，為了計算出這一函數的具體表達式，需要給出散射振幅密度的概率分布形式.由于作用量中除了含有隨機場ρ（r）的2次型函數，還包括了線性項的貢獻，為了對特征函數中密度場完成泛函積分，可以借助于散射振幅密度的Shift變換來消除線性項的影響.

本文還將采用泛函積分方法計算散射系統傳遞函數概率分布的具體形式.泛函積分是理論物理中一種有效的數學工具，在量子場論、統計物理、固體物理、湍流理論等領域中有廣泛的應用［3-9］，特別是量子力學中的路徑積分方法可用于研究隨機介質中波傳播過程的各種物理現象.Filinov［10-12］采用修正路徑積分和復蒙特卡羅方法分析了色散介質中波的傳播，Constantinou等［13］根據路徑積分方法討論了隨機不均勻波導中的傳輸過程，文獻［14-15］使用路徑積分近似方法計算了混濁介質中光子的傳播問題.最近，Cabrera等［16］根據場論中的泛函積分方法導出了隨機散射中傳遞函數的概率分布，結果發現當隨機散射密度遵從Gauss位形分布時，那么傳遞函數的概率將滿足2維正態分布形式.除了泛函積分方法之外，隨機泛函分析方法也被應用于隨機介質中波的傳播特征和局域化現象［17］.

在一般的物理模型中，都假定隨機變量遵從Gauss分布或正態分布，這時可以用期望值、方差和協方差來分別描述隨機量的平均值，漲落大小和關聯效應.在實際問題中遇到的許多隨機現象中并不嚴格遵從Gauss分布，或都服從近似正態分布，如水面的波峰和波谷通常具有不同形狀，導致散射聲波基本上是非Gauss的環境表面［18］.另外，由于湍流的陣發性或間歇性質，表現在統計特性上對Gauss分布的偏離，所以要用非Gauss隨機介質中統計矩方程來研究傳播光場的統計性質［19］.

本文將引入隨機外源來研究非Gauss散射通道模型中傳遞函數的概率分布，進一步給出隨機變量方差和協方差矩陣元的修正表達式.當散射振幅密度的關聯函數取為Dirac-δ函數形式時，計算不同位置點的方差，協方差以及相關系數的具體數值，討論了這些概率量的物理含義和變化規律，分析非Gauss外源的作用系數確定時，衰減函數中振蕩指數對相關系數的影響.

1 傳遞函數概率分布的泛函積分表示

如果有一個振幅為T（t）的信號波在位置rT處發射、在rR處被接收，并且在傳播過程中信號波與N個點發生散射，那么通過散射后的信號波振幅可表示為［16］

表示散射系統的傳遞函數，這一物理量描述了散射體對頻率為ω的傳輸信號產生的影響，體積元中的散射振幅密度的模定義為

表示信號波傳輸過程中的相位變化及衰減程度，（5）式中下標ρ表示τρ是與散射振幅密度ρ（r）相關的傳遞函數.通常散射截面越大那么散射振幅密度越高，對傳輸信號影響所產生的影響更為顯著，因此信號波傳播中振幅的變化與散射振幅密度ρ（r）和函數H（r）都有密切關系.如果散射截面有一定的不確定性，那么散射振幅密度ρ（r）就可能具有隨機函數的性質，因此可以用密度泛函空間上的概率分布理論加以描述.

傳遞函數的概率分布可以用Dirac-δ函數的平均值表示為

其中衰減函數為定義為h（r）＝αf（r）＋βg（r），在第2節中將研究非Gauss型散射系統中傳遞函數的概率分布.假定散射通道模型中的振幅密度遵從復隨機場的非Gauss分布，然后根據泛函積分方法推導和計算了傳遞函數概率分布矩陣元的修正形式和具體數值.

2 非Gauss密度分布下傳遞函數的概率分布

其中隨機密度場類似于量子統計物理中的復玻色場.（15）式指數中積分項都是關于隨機場ρ（r）的或外源的2次型函數，這些二次項來自于非Gauss分布F［ρ］中的指數項，而線性項則來源于W［ρ］，為了對特征函數中密度場完成泛函積分，可將隨機場進行Shift變換其中

這種技巧類似于玻色凝聚中的Popov-Faddeev正則變換［20］，已被用于計算高溫超導模型的準粒子激發譜［7，21］.根據這一變換可以得到如下等式

另外積分測度不發生變化，所以有Dρ＝D.將（17）式代入（15）式將分母項消除，然后再對隨機場場進行泛函積分有

雖然散射振幅密度遵從非Gauss型的概率分布，但是傳遞函數的概率將依然滿足2維正態分布形式，不過方差和協方差都將受到隨機外源的微擾影響.其中，方差表示隨機變量u、v的漲落大小和趨勢，協方差表示隨機變量的關聯效應，相關系數定義為

當積分核、衰減函數和外源作用系數分別確定后，便可以計算出傳遞函數概率分布中修正矩陣元和相關系數的具體數值.

3 修正矩陣元和相關系數的數值計算

為了計算出1階微擾修正矩陣元的數值，可將關聯函數取成Dirac-δ函數形式，即ˉK（r，r′）＝k0δ（r－r′），其中k0是權重系數.并進一步設衰減函數具有如下振蕩模式

r0為的散射體與發射點的距離.對于單站位形，僅保留1階微擾的貢獻，當振蕩指數m、n從1到2分別取值，并且取＝0.8時，那么可以計算出正規化矩陣元和相關系數的具體數值，如表1～4所示，其中不帶橫線的量表示Gauss型分布時的矩陣元和相關系數.

表1 當振蕩指數和作用系數取為m＝1，n＝1，ˉε＝0.8時，修正矩陣元和相關系數的計算值Tab.1 The corrected matrix elements and correlation coefficients when the oscillation exponents and the action coefficient are taken as m＝1，n＝1，ˉε＝0.8

表2 當振蕩指數和作用系數取為m＝2，n＝2，ˉε＝0.8時，修正矩陣元和相關系數的計算值Tab.2 The corrected matrix elements and correlation coefficients when the oscillation exponents and the action coefficient are taken as m＝2，n＝2，ˉε＝0.8

表3 當振蕩指數和作用系數分別取為m＝1，n＝2，ˉε＝0.8時，修正矩陣元和相關系數的計算值Tab.3 The corrected matrix elements and correlation coefficients when the oscillation exponents and the action coefficient are taken as m＝1，n＝2，ˉε＝0.8

表4 當振蕩指數和作用系數分別取為m＝2，n＝1，ˉε＝0.8時，修正矩陣元和相關系數的計算值Tab.4 The corrected matrix elements and correlation coefficients when the oscillation exponents and the action coefficient are taken as m＝2，n＝1，ˉε＝0.8

從表1～4可以看出，當無量綱距離x由小變大時，修正前后的矩陣元均呈振蕩變化趨勢，其中，對角矩陣元G11、G22為正值，修正后的矩陣元數值增大；非對角矩陣元G12可取正值，也可取負值，修正前后的矩陣元既可以同號，也可以反號.當m＝1，n＝1或m＝1，n＝2時，修正前后的相關系數符號可以相同，也可以改變符號；當m＝2，n＝2或m＝2，n＝1時，那么修正前后的相關系數符號完全相同.另外，根據表1～4的計算結果還可以大致判定出隨機變量的相關程度，當m＝1，n＝1時，修正前后的相關系數都很小，表示一種極弱關聯情況，當m＝1，n＝2或m＝2，n＝1時，相關系數都較小，相關程度介于極弱關聯和弱關聯之間，當m＝2，n＝2相關系數變大，這時關聯程度介于弱關聯和中等關聯之間.所以，當振蕩指數之和較小時，微擾修正可以相關系數符號，當振蕩指數之和變大時，那么微擾修正可以明顯該變關聯程度的等級.

4 結論與討論

本文引入了復空間散射振幅密度這一隨機函數，并假設散射振幅密度滿足非Gauss型的概率分布.根據泛函積分方法導出了傳遞函數概率分布矩陣元的微擾修正表達式，這類傳遞函數可描述隨機散射物體對傳輸信號產生的影響.

當散射振幅密度的關聯函數取為Dirac-δ函數形式時，通過數值方法進一步計算了不同振蕩指數下無量綱矩陣元和相關系數的具體數值，結果發現修正前后的矩陣元隨無量綱距離x變大而呈現振蕩變化趨勢.當m＝1，n＝1，或m＝1，n＝2時，微擾修正前后的相關系數可以改變符號，即由正相關變為負相關，或由負相關變為正相關，這一結果描述了Gauss型和非Gauss型傳遞函數中隨機變量的不同關聯趨向.當m＝2，n＝2，或m＝2，n＝1時，那么微擾修正前后的相關系數符號完全相同，表示傳遞函數中隨機變量具有相同的關聯趨向.

當振蕩指數和由小增大時，相關系數由很小的值變為較大的值，這時傳遞函數中隨機變量由極弱關聯、弱關聯逐漸變為中等關聯.當無量綱作用系數確定時，隨著振蕩指數和變大，那么在非Gauss型傳遞函數中隨機變量關聯程度等級也將增強.

本文重點研究了非Gauss通道模型中散射振幅密度的概率分布，借助解析方法和數值計算技術，推導和計算了傳遞函數概率分布中矩陣元的修正形式和具體數值，比較了Gauss分布和非Gauss分布情況下的相關系數和關聯趨向.泛函積分方法并不僅可用來描述Gauss散射通模型中的隨機現象，它也可用于非Gauss散射情況下的傳遞函數的計算.目前，這一方法已廣泛應用于量子場論和量子統計物理學的研究，同時也適用描述于經典物理中的各種現象，如流體中湍流分布，隨機介質中波的傳播，以及散射體對信號波傳播的影響等物理課題.