弦振動的可視化研究

鞏建輝，王晨豐，姚 靜，任 健，吳承啟

(商洛職業技術學院，陜西 商洛 726000)

在物理學研究中，要經常面對一些復雜的數學表達式，有的時候很難搞清其實際意義，這樣給研究工作帶來諸多不便。這里以物理學中經典的“弦振動”為例，對弦的自由振動進行了理論分析，并運用MATLAB工具對弦的振動規律進行了可視化。可視化結果清晰地展現了弦的振動規律，真可謂“一圖值千言”。通過研究體現了可視化方法的強大優勢，也表明了在物理學研究中可視化的重要性，為今后對其他物理學模型的研究提供了借鑒。

1 弦振動的理論分析

1.1 弦振動方程的求解

弦是大家所熟悉的，常見的弦樂器如提琴、二胡，吉他等就是依靠張緊在這些樂器上面的幾根弦發聲的。假設有一長為理想弦，兩端固定并被張緊，其密度與橫截面積均勻，密度為ρ，橫截面積為S，靜止時弦處于水平平衡位置，僅有張力使其保持平衡，如某瞬間突然受到一外力擾動，弦的各部分將在外力的作用下開始進行與弦長垂直方向的往返振動[1]。

由彈性理論知道弦的振動方程為：

(1)

采用分離變量法得該方程的解為：

(2)

其中A、B、φ是待定常數，假如弦兩端固定，將邊界條件η(x=0)=0，η(x=l)=0，代入上式，并用ωn=2πfn來代替μ，則得：

(3)

該式為弦的第n次振動方式，或簡正振動方式，弦的總振動效果應是各種振動方式的疊加，所以弦的總位移為：

(4)

考慮到一般情況，假設初始條件為：

(5)

則弦振動的總位移為：

(6)

其中的系數是：

(7)

1.2 初位移不為零初速度為零時弦振動的分析

設初位移為：

(8)

(9)

將式(8)、(9)代入(6)中，即可得到弦振動的解[2]。

1.3 初位移為零初速度不為零時弦振動的分析

(10)

將式(10)代入(6)中，即可得到弦振動的解[2]。

2 可視化實現

可視化實現是基于MATLAB的軟件強大的繪圖功能，首先根據研究對象建立一個物理模型，然后將物理模型轉化為數學模型，即數學表達式，依據此表達式利用MATLAB語言將數學表達轉化為計算機可識別的信息，即利用MATLAB命令進行編程，將程序送入計算機，借助MATLAB平臺轉化為圖形或圖像信息，提供給人們做分析和研究[3-8]。

(i) (j) (k) (l)

2.1 兩端固定初位移不為零，初速度為零時弦自由振動的可視化

從弦振動動畫中依時間順序截取的8幅圖分別為(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f) 、(g)、(h)，從圖1可以清晰看出，在弦運動開始時，初始位移平均分為兩半向正、負方向傳播，在到達邊界之前，相當于波在無限長弦上的傳播；到達邊界以后，發生反射，產生半波損失；從邊界反射回來的波，相向運動，相遇后產生疊加，然后繼續傳播。

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

2.2 兩端固定初位移為零，初速度不為零時弦自由振動的可視化

圖2是從弦振動動畫中依時間順序截取的12幅圖，從圖2可以清晰看出，在弦運動開始時，從平衡位置先向上振動，到達最大位移處，然后向下振動到達反向最大位移處，再向上振動，此后不斷重復，和圖1弦振動的情況進行對比，可以看出初始條件不同，弦振動的方式有很大的差異。

3 結論

通過對弦振動方程的求解及可視化分析，得出了弦的振動規律：當兩端固定初位移不為零，初速度為零時，弦的初始位移平均分為兩半向正、負方向傳播，在到達邊界之前， 相當于波在無限長弦上的傳播，到達邊界以后，發生反射，產生半波損失，從邊界反射回來的波，相向運動，相遇后產生疊加，然后繼續傳播。當初位移為零初速度不為零時，弦從平衡位置先向上振動，到達最大位移處，然后向下振動到達反向最大位移處，再向上振動，此后不斷重復。這些表明在不同的初始條件，弦振動的方式差別很大。由此可以看出，該可視化方法極具優勢，使復雜、冗繁的理論表達式轉變為簡單、直觀的圖形，從而使抽象、深奧的物理學原理變得淺顯、易懂。該方法也可以運用于其他物理問題的研究，有一定的參考價值。