基于壓縮感知的Massive MIMO信道估計算法

張朝柱，施 炯

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

在高速環境中，由于基站和用戶之間存在較高的相對速度導致較高的多普勒頻移，使得信道沖激響應受到干擾出現時間選擇性衰落[1-3]。對OFDM系統造成非常明顯的影響。正交時頻空間(Orthogonal Time Frequency and Space，OTFS)調制[4]在處理時變信道有很大優勢，通過基展開模型，來消除信道中時間的影響，在時延-多普勒域中進行，獲得高于OFDM調制的性能增益。文獻[4-5]中，Hadani R等人通過對信道在時延方向和多普勒方向的結構和稀疏特性，提出了OTFS調制技術，在時延-多普勒域上完成數據傳輸，證明了OTFS調制技術與OFDM調制存在相適應性。文獻[6]中，為了應對高多普勒頻移，以信道的基展開模型，結合時延信道具有稀疏性，提出時延-多普勒二維信道模型，基于此提出基于分布式的壓縮感知算法，可以有效抑制載波間干擾，在保證性能的同時有效減少導頻子載波數量。文獻[7]利用Massive MIMO系統中時延維、多普勒維和角維的稀疏特性，提出了3D-OMP算法，該算法在高速場景下性能優秀。本文針對高速場景下，Massive MIMO下行信道估計中導頻開銷大及存在較高多普勒頻移的問題，結合時延-多普勒-角域信道結構，通過壓縮感知理論，在信道稀疏度未知情況下，提出了基于三維信道結構的塊自適應壓縮采樣匹配追蹤(3D-B2ACoSaMP)算法，該算法通過分別對多普勒域信道單一塊長度估計，對角域維度唯一稀疏塊的塊位置及塊長度進行估計以及對時延維常規稀疏度進行估計，有效提高信道估計性能。仿真表明,通過該算法進行信道估計具有良好的性能。

1 Massive MIMO OTFS系統模型

1.1 SISO OTFS系統模型

高速運動場景下通信是現代通信必須面對的問題。OTFS調制是替代OFDM系統以應對高速運動場景通信而提出的技術方案。OTFS技術通過信道維度轉換，達到降低時間影響的目的[8-9]。OTFS系統框圖如圖1所示。

圖1 OTFS系統框圖Fig.1 Block diagram of OTFS system

通過文獻[10]可以知道，OTFS技術和OFDM技術有良好的適應性，可以在OFDM系統基礎上完成，如圖2所示，通過在系統的發射和接收端增加ISFFT和SFFT變換來完成，Heisenberg變換和Wigner變換如圖2所示進行替代，實現OTFS技術與當前OFDM技術的兼容[4,9,11-12]。

圖2 SISO OTFS信道估計框圖Fig.2 Block diagram of SISO OTFS channel estimation

使用正交調幅(Quadrature Amplitude Modulated，QAM)數據符號，其長度為N×M，通過將一維轉為二維信號，得到延遲-多普勒域的OTFS幀XDD∈N×M，N和M分別為時延和多普勒方向的數據符號個數，其中，SFFT和ISFFT的數學表達式為[13-15]：

XDD[l,k]=SFFT(XFT[n,m])=

(1)

XFT[n,m]=ISFFT(XDD[l,k])=

(2)

假設發送窗Wtx為所有元素均為1的矩陣，則通過OTFS預處理模塊得到時頻域信號XFT∈N×M，表示為：

(3)

式中，FN∈N×N和M×M為離散傅里葉變換矩陣。

信號經過OFDM模塊，首先通過IDFT變換獲得二維信號X∈N×M：

(4)

式中，X=[x1,x2,…,xM]，xn∈N×1為一個OFDM符號，每個OFDM符號帶寬為NΔf，持續時間為T；Δf為子載波間隔。

添加長度為NCP的循環前綴來去除碼間干擾，隨后進行維度轉換獲得一維發送信號x。定義其信道抽頭個數為L+1，hk,l表示時變信道，zk為加性噪聲，則接收信號y的第k個元素yk為：

(5)

經過OFDM解調后，通過維度轉換和移除循環前綴，得到二維信號YFT：

YFT=FNX。

(6)

通過OTFS后處理模塊，得到時延-多普勒域信號YDD，表示為：

YDD=XFM。

(7)

由文獻[7]可知，當發送脈沖和接收脈沖在時間維上準確滿足雙正交性，頻率維滿足近似雙正交性時，YDD中第(l,k)個元素表示為：

(8)

(9)

式中，l滿足l=0,1,…,N-1；k滿足k=0,1,…,M-1；ZDD(l,k)為時延-多普勒域加性噪聲，而且滿足H(l,k)=H(l+N,k+M)。

1.2 時延-多普勒-角域信道及稀疏性分析

考慮單小區Massive MIMO系統，基站天線數為Nt，將其排列成均勻線陣，相鄰兩天線之間的距離為半波長，假設小區內有K個單天線用戶，每個用戶的下行信道是相同的，可以先分析其中的一個用戶情況[16]。假設信道存在Np條長度為L的主路徑，分析第i條主路徑的第l條子路徑，定義該路徑信道增益為mli，多普勒頻率為vli，發射波束角度為γli，定義βli=(d/λ)sinγli，則βli∈[-1/2,1/2)，該主路徑下所有子路徑時延為τi，第nt個天線與用戶間信道為hnt，時延-多普勒-角域信道為Hl,k,a，時延-多普勒-空域信道為Hl,k,nt：

(10)

式中，Hl,k,a可以表示為Hl,k,nt沿空域維度的離散傅里葉逆變換(IDFT)[17]，則Hl,k,a為：

(11)

(12)

在實際信道之中，只有幾條主路徑。研究表明，無線信道在時延域上具有稀疏性，信道能量主要集中在這些散射路徑之中。假設最大路徑時延為τmax，則信道Hnt在時延維有限支撐為[0:Nmax-1]，其中，Nmax≈τmaxNΔf。

定義v為用戶移動速度，λ為波長，則第i條主路徑的第l條子路徑的多普勒頻率vli為：

(13)

式中，φli表示上述子路徑信號到達方向與用戶移動方向的夾角，φli∈[-π/2，π/2)，所以最大多普勒頻率為vmax/2=v/λ，多普勒頻率vli∈[-vmax/2，vmax/2)，則時延-多普勒域信道Hnt沿多普勒方向的有限支撐為[-Mmax/2,Mmax/2-1]，其中，Mmax≈vmaxMT，T=1/Δf。現定義存在一用戶乘坐在速度為250 km/h的高鐵上，其中，Δf=15 kHz，載波頻率為2.15 GHz，可以得到最大多普勒頻率vmax/2≈498 Hz，Nmax/2≈vmaxMT/2=vmaxM/2Δf≈0.07M/2，說明在多普勒方向上，非零值大約存在7%。所以信道Hnt在多普勒方向存在唯一塊，其位置在多普勒信道中間向兩邊擴展，隨著用戶移動速度的增加，多普勒維擴展也會隨著增大，其塊長度未知[7]。

對于角維信道稀疏性，由于主路徑的角度擴展很小，時延-多普勒-角域信道沿角維呈現突發塊稀疏特性[18]。定義H∈Ng×Mg×Nt為時延-多普勒-角域三維信道，其信道結構如圖3所示，其中，角維的非零塊的位置和塊長度是未知的。

圖3 時延-多普勒-角域信道稀疏結構Fig.3 Time delay-Doppler-angle domain channel sparse structure

1.3 時延-多普勒-角域信道模型

假設時延-多普勒域上，OTFS幀結構如圖4所示。

圖4 OTFS幀結構Fig.4 Structure of OTFS frame

圖4大小為N×M，時延方向長度為Nτ，沿多普勒方向長度為Mv，為了避免干擾，需要設置保護間隔，沿多普勒方向和沿時延方向分別為Ng和Mg/2，根據上一節時延-多普勒域信道Hnt支撐判定，保護間隔沿多普勒方向大小滿足Mg/2≥Mmax/2-1，沿時延方向滿足Ng≥Nmax-1。為減少導頻開銷，本文之中使用非正交導頻，導頻序列為復高斯隨機序列，但導頻之間是互相獨立的，導頻位置相同。

定義xl,k,nt為第nt個天線發送的訓練導頻符號，要求基站側的天線同時發送信號，接收端獲得的信號yl,k：

(14)

式中，l1=0,1,…,Ng-1；k1=-Mg/2,…,0,…,Mg/2-1；nt=0,1,…,Nt-1，將式(12)代入式(14)可得：

(15)

式中，

式(15)所得到的yl,k為接收到的導頻信號矩陣Y中第(l+1,k+1+Mv/2)個元素，將導頻信號矩陣Y轉化為列向量形式y，則yl,k為向量y的第lNτ+k+1+Mv/2個元素，Y∈Nτ×Mv，y∈NτMv×1。同理，Hl1,k1,a為列向量hk的第lNt+a+1+Nt/2個元素，所以，式(15)可表示為：

(16)

(17)

定義：

(18)

(19)

式中，Φ∈NτMv×NgMgNt，h∈NgMgNt×1。則式(17)可表示：

y=Φh+z，

(20)

得到壓縮感知基礎模型，Φ為測量矩陣，滿足不相關性[7,19]。對此將信道估計問題轉換為壓縮感知信號重構問題。

2 算法設計及分析

3D-B2ACoSaMP算法主要部分為：一是創新性地通過結合角維和時延維信道，對時延維稀疏度估計以及角域維度塊位置及塊長度估計；二是對于多普勒域信道稀疏塊位置已知，對塊長度進行估計。將h和Φ進行初始分塊：

(21)

(22)

3D-B2ACoSaMP算法流程：

輸入：測量向量y，測量矩陣Φ，迭代次數t=1，步長S=1，分塊索引λ=0；

步驟1：初始化：r0=y，索引J0=?，Λ0=?，支撐集Φ0=?，塊長度Nt/2λ;

步驟 2：塊相關測試：

步驟 3：將列向量ut轉換為二維矩陣形式et，同時更新索引Λt：

et=invec{ut}；

步驟 5：求最小二乘解

步驟 8：更新支撐集

步驟 9：更新殘差

rt,v=y-Φ(ΦΩtTΦΩt)-1ΦΩtTy;

步驟11：如果‖rt‖2>‖r0‖2則重構失敗，進入步驟13；如果‖rt‖2≥‖rt-1‖2，令S=S+1，支撐集、殘差和估計信道均取上一次迭代結果。

步驟12：重復步驟2～11，直至滿足‖rt‖2/‖r0‖2≤pth。

步驟13：更新分塊索引

λ=λ+1;

步驟14：重復步驟1～13，當滿足迭代停止條件或者塊長度滿足Nt/2λ=1。

輸出：信道h，殘差rk。

通過上述分析，三維信道結構之中，時延維稀疏度未知，多普勒維唯一塊長度未知，角維唯一塊長度和位置均未知，對此， 3D-B2ACoSaMP算法中將三維信道中時延-角域維度二維矩陣轉換為一維向量模式，結合多普勒維度，將三維信道矩陣轉化為二維信道模式，以方便接下來算法中信道支撐集獲取。

用戶移動速度在同一時間相同，對此，定義每個主路徑多普勒維度的唯一塊長度相同。下面將算法之中的主要步驟進行解釋。步驟3～6為時延維信道估計，對于步驟3中：

et=invec{ut}，

(23)

et∈Mg×NgNt，是將步驟2得到的塊相關矩陣按照圖3轉換成三維矩形，之后再以(Mg×Ng)為基準轉換成二維矩陣，以便于簡化算法中對時延稀疏度估計的復雜度，步驟4～6為時延為支撐集的獲取。

步驟7中：

(24)

為多普勒維信道非零塊長度的獲取，根據信道矩陣之中能量集中的原則，通過設定噪聲門限pth，可以排除大多數噪聲路徑，完成對多普勒維支撐集獲取。

步驟9～10，通過殘差比較，判斷本次迭代獲得的多普勒支撐是否優于上一次迭代獲得的多普勒支撐集，最終選擇最優支撐集，其步驟如圖5所示。

圖5 3D-B2ACoSaMP算法中判斷條件Fig.5 Decision conditions of 3D-B2ACoSaMP algorithm

步驟11～12為算法輸出判定。其中監督條件為‖rt‖2/‖r0‖2≤pth，停止條件為‖rt‖2≤10-2pth，當滿足監督條件而不滿足停止條件時，進入步驟13，更新塊長度，通過迭代循環來獲得角維塊長度和位置的判定，獲得角維支撐集的獲取。當監督條件和停止條件均滿足時，輸出信道估計結果。3D-B2ACoSaMP算法流程圖如圖6所示。

圖6 3D-B2ACoSaMP算法流程Fig.6 Flow chart of 3D-B2ACoSaMP algorithm

算法主要應用了塊長度和塊稀疏度自適應思想。對于塊稀疏度自適應，其思想來源于SAMP算法，對此不再敘述。塊長度自適應，通過迭代殘差來判斷塊長度，當重構后殘差反向增大，則通過塊長度減半來逐漸接近真實塊長度。雖然提高了算法復雜度，但提高了其應用優勢，而且通過塊回溯思想，減少重構錯誤提高重構概率。

3 仿真分析

以Massive MIMO系統下3GPP標準空間信道模型進行建模，信道稀疏度未知，對LS算法、CoSaMP算法以及提出的3D-B2ACoSaMP算法進行仿真，仿真參數如表1所示。OTFS幀沿多普勒維度數量M定義為M=Mv，比較了LS算法、CoSaMP算法及3D-B2ACoSaMP算法在信噪比、導頻數量、基站天線數量及用戶移動速度等情況下的算法性能。算法性能通過歸一化均方誤差(NMSE)和誤比特率(BER)表示。

表1 仿真參數Tab.1 Simulation parameters

算法性能將通過參數NMSE進行評估，LS算法NMSE表示為：

(25)

最終結果為所有Nt根天線的平均值。根據式(20)，CoSaMP算法及3D-B2ACoSaMP算法NMSE表示為：

(26)

圖7為不同SNR下LS算法、CoSaMP算法及3D-B2ACoSaMP算法性能比較。其中基站有32根天線，導頻數量為240，用戶以100 m/s的速度前進。LS算法性能較差，遠低于基于CS的算法，這是因為導頻數量較少導致的，難以實際應用。從圖中可以看出，3D-B2ACoSaMP算法性能最優，和CoSaMP算法比較，每次迭代對多普勒唯一塊進行估計，提高了算法精度，在SNR上約有8 dB的性能優勢。

圖7 不同信道估計算法性能與SNR之間的關系Fig.7 Relationship between the performance of different channel estimation algorithms and SNR

圖8為導頻數量對算法性能的影響。基站有32根天線，用戶以100 m/s的速度前進，SNR=5 dB。LS算法性能最差，基本難以獲得可以使用的CSI，3D-B2ACoSaMP信道估計算法性能最優，而且隨著導頻數量的增加，3D-B2ACoSaMP信道估計算法性能優勢在加大，總體來說，同CoSaMP算法相比，導頻占比少了約10%。

圖8 不同信道估計算法性能與導頻數量之間的關系Fig.8 Relationship between the performance of different channel estimation algorithms and the number of pilots

圖9為不同天線數量對算法的影響。SNR=5 dB，用戶以100 m/s的速度前進，導頻數量為240。可以看出，LS算法性能最差，而且隨著天線數量的增多，其性能快速降低。3D-B2ACoSaMP信道估計算法性能最優，算法利用了信道的三維稀疏結構，獲得了比CoSaMP算法更高的性能。

圖9 不同信道估計算法性能與BS側天線數量之間的關系Fig.9 Relationship between the performance of different channel estimation algorithms and the number of BS side antennas

圖10給出了用戶移動速度對算法性能的影響。設置基站有32根天線，SNR=5 dB，導頻數量為240。整體來說，隨著速度的增加，多普勒頻移會提高，多普勒方向的信道也會隨之擴展，導致算法在性能會出現下降。在同一導頻開銷下，本文提出的算法性能優于CoSaMP算法，遠高于LS算法。

圖10 不同信道估計算法性能與用戶端移動速度之間的關系Fig.10 Relationship between the performance of different channel estimation algorithms and the moving speed of user terminal

圖11為SNR和算法BER性能比較。基于OTFS系統，用戶以100 m/s的速度前進，分別以理想狀態下CSI，通過LS算法、CoSaMP算法、3D-B2ACoSaMP算法估計得到的CSI，進行信號重構，通過時延-多普勒二維反褶積方法進行信號檢測，BER為性能指標，可以得到，傳統LS算法獲得的CSI精確度最差，3D-B2ACoSaMP算法性能優于CoSaMP算法，在低信噪比情況下CoSaMP算法及3D-B2ACoSaMP算法性能接近，而且，對于3D-B2ACoSaMP算法，在SNR低于15的時候，非常接近理想狀態下BER性能曲線；在SNR大于15的時候，和理想狀態下BER性能曲線較為接近，基本也處于同一量級，BER大小均在10-3～10-5之間，算法性能優秀。

圖11 信噪比和算法BER性能比較Fig.11 Comparison of SNR and algorithm BER performance

4 結束語

研究了Massive MIMO OTFS系統時延-多普勒-角域稀疏信道模型，提出了3D-B2ACoSaMP算法，通過Matlab在高速場景下進行了仿真分析，仿真結果表明LS算法性能較差，3D-B2ACoSaMP算法性能相較于CoSaMP算法在信噪比上約有8 dB的性能優勢。在BER性能上，3D-B2ACoSaMP算法性能優于CoSaMP算法，接近理想狀態下BER性能曲線。本文并未在毫米波頻段下進行信道估計研究，而且對導頻矩陣設計未進行深入研究，接下來可以研究毫米波下Massive MIMO OTFS系統信道估計以及對導頻序列進行研究，來提高信道估計性能。