常微分方程組對中立型微分差分方程組的逼近

李愛平

（忻州師范學院五寨分院 數學系，山西 五寨 036200）

部分學者研究了常微分方程組對時滯微分方程的逼近問題[1-4]。這種方法使我們能夠將研究常微分方程的方法應用到時滯方程上，通過增加常微分方程逼近系統的維數來達到有限區間上的期望逼近精度[1-4]。

另一學者也對這類問題進行了研究[5]，方案中近似的中立型微分方程使用Pade近似的函數ex進行了討論，逼近精度只建立在足夠光滑的函數空間中[5]，因此，本研究主要針對連續函數和分段連續函數空間中具有哈爾意義的中立型微分-差分方程組的逼近問題。

1 問題陳述

設n和p為一定的自然數，設a和T為實數，設a

假設方程（1）滿足以下條件：

2 延遲元素的近似

考慮某輸入函數x（t）所產生的延遲的m個元素，并依次連接:

將它們與一個由常微分方程系統所描述的非周期元素序列聯系起來

注意，當x（t）是滿足Lipschitz約束條件的標量函數或導數在[a-τ,T]上以常數M為界時，方程（2）、（3）在文獻[2]中被研究，而且

文獻[3][4]中研究了x（t）∈C[α-τ,T]的情況，在這種情況下，有以下不等式成立：

研究在輸入函數x:[α-τ,T]→Rn在方程（2）（3）是連續或分段連續情況下延遲元近似的準確性。

首先，考慮輸入函數x（t），t∈[a-τ,T]是分段連續的情況，引入平滑函數

如果

使用函數x（t）的兩項和形式表示，得到

如果輸入函數x:[a-τ,T]→Rn，那么，通過類比，得到連續

在下面的陳述中總結了上面關于延遲元素近似的論點：

如果輸入函數x（t），t∈[a-τ,T]是連續的，則

3 中性型系統的近似方案

在下面的陳述中總結了上面關于延遲元素近似的論點：在1和2的假設下，初始函數?（t）為方程（1）的解在[a-τ,a]是連續存在并且是唯一的。然而，它只能在最簡單的情況下以解析的形式被發現，并且沒有有效的算法來近似地確定它。本研究考慮一種利用常微分方程序列柯西問題的解求其近似的方法。

在初始條件下

如果下列關系成立，則常微分方程組（8）近似中性型方程組（1）：

考慮中立型方程（1）初值問題解的封閉性問題和柯西問題（8）、（9）的解的封閉性問題，令

那么，如文獻[3][9]所示，可以證明以下不等式為真：

考慮性質2、不等式（10）和定理1，對于t∈[a,t]，得到

其中

則有如下結論：

定理2：假設方程（1）滿足條件（i）和（ii），對于m→∞和t∈[a,T]，中立型微分方程組（8），（9）的Cauchy問題的解近似于中立型（1）的微分方程組的初值問題的解。