三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵的衍射場

劉有菊 楊慶辭 何正英

（保山學(xué)院，云南 保山 678000）

目前，對光的衍射研究多數(shù)在于單孔的衍射，而對二維多孔的衍射研究較少。然而光譜儀、近眼顯示（NED）系統(tǒng)等都涉及到多元多維結(jié)構(gòu)光柵的衍射。三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵是由N1列N2行全同三角形小孔按一定周期排列而成，是一種復(fù)雜的光學(xué)光柵。

1 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵的衍射實(shí)驗(yàn)

如圖1所示，三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵是由邊長為a、b、c的全同三角形組成，其三角形沿x軸方向的空間周期為d1，共有N1列；沿y軸方向的空間周期為d2，共有N2行；這塊光柵共有N1×N2個(gè)排列有序的全同三角孔構(gòu)成，光柵的有效寬度為D1=N1d1，有效長度為D2=N2d2。

圖1 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵

三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵衍射的實(shí)驗(yàn)裝置主要由三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵、薄透鏡、接收屏等組成，如圖2所示。

圖2 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵的實(shí)驗(yàn)裝置

三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵可以采用高精度激光打孔機(jī)按設(shè)計(jì)好的尺寸在薄的不透明材料上生成，然后在光柵后面放置一薄的凸透鏡，在薄透鏡的焦平面上放接收屏，使衍射屏、透鏡、接收屏中心在同一水平直線上，并放置在同一光學(xué)導(dǎo)軌上，用一束平行光照射衍射光柵，在接收屏上就能得到三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵的衍射圖樣，如圖3所示。

圖3 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵的衍射圖樣

2 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵的衍射場

設(shè)三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵和薄的凸透鏡所在位置（x0,y0,0），接收屏所在的位置為（x,y,z），如圖2所示，則三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵屏函數(shù)為：

則薄透鏡的變換函數(shù)為[1-2]：

其中f為薄透鏡的焦距，則三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵和透鏡組合在一起的變換函數(shù)為：

在傍軸條件下，根據(jù)基爾霍夫衍射積分式得：

對上式的積分很復(fù)雜。這里只研究像面上（z=f）的衍射問題,為了推導(dǎo)簡單一些，采用直角三角形全同單元，設(shè)直角的邊長為a、b。在近軸的條件下，根據(jù)基爾霍夫衍射積分式得波前函數(shù)為：

再根據(jù)相移-位移定理得第一排，三角形單元沿x軸方向作周期性排列而形成一維光柵衍射場在像面上的波前函數(shù)為：

然后把每一排看成一個(gè)大單元，大單元沿y軸方向作周期性排列而成為二維光柵，根據(jù)位移-相移定理得二維周期結(jié)構(gòu)光柵衍射場在像面上的波前函數(shù)為：

平行光通過三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵在像面上（z=f）衍射波的振幅（取正值）為：

平行光通過三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵在像面上（z=f）衍射波的光強(qiáng)為：

根據(jù)（9）、（10）式，利用計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)模擬得出平行光通過三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵的衍射波在像面振幅分布和光強(qiáng)分布圖樣[3]。如圖4-圖7所示，相關(guān)參數(shù)取值為：A1=1個(gè)單位個(gè)單位，λ=632.8nm，a=b=1×10-4m，d1=d2=5×10-4，f=10m，N1×N2=100個(gè)全同三角形。

圖4 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵在像面上相對振幅等高線分布圖

圖5 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵在像面上相對振幅分布圖

圖6 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵在像面上相對光強(qiáng)等高線分布圖

圖7 三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵在像面上相對光強(qiáng)分布圖

3 結(jié)論

從圖5和圖7可以看出，平行光通過三角形二維周期結(jié)構(gòu)光柵衍的射圖樣有一系列極強(qiáng)衍射峰，并且在極強(qiáng)衍射峰四周又出現(xiàn)次級衍射峰。

此研究方法和結(jié)論可為人們研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)和材料生長的性質(zhì)特征等提供一種新的研究方法。