微幅波理論教學探討

盧新華 張小峰

摘? 要：現有介紹微幅波理論的教材或著作，從控制方程組的形式、邊界條件的提法，到解的推求過程中存在多處易使學生產生困惑的地方。文章針對這些地方分別提出了改進的教學方法、改進后的控制方程組和邊界條件，提法更容易理解，整個推導過程更流暢，也更易被學生接受。

關鍵詞：微幅波;運動學邊界條件;動力學邊界條件;勢流理論;自由水面

中圖分類號：G642? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）28-0126-04

Abstract： In existing textbooks or monographs， the descriptions on small-amplitude wave theory may easily make students confused from the forms of the governing equations and the prescribed boundary conditions to the derivation process of the solution. Aiming at resolving these issues， this paper proposes an improved teaching method. In this method， the governing equations and the boundary conditions can be more easily understood， and the derivation process is more fluent， and is thus more acceptable to students.

Keywords： small-amplitude wave; kinetic boundary condition; dynamic boundary condition; potential theory; free-surface

水波是流體（液體）運動的一種形式，波浪運動基本規律服從流體運動的基本控制方程組即Navier-Stokes組方程。但由于數學求解Navier-Stokes方程組存在困難，人們轉而尋求各種簡化方法來描述波浪運動。依照不同的簡化方法和途徑，形成了多種適用于不同條件的波浪理論。

簡化的途徑之一是假定水體無粘和無旋，進而引入流速勢函數將Navier-Stokes方程組轉化為波浪運動控制方程，在給定相應邊界條件后可以進行求解。但由于直接進行求解還存在困難，需要做進一步的簡化或近似，于是便產生了微幅波、有限振幅波等理論。微幅波是其中最基本的一種波浪理論，是海岸動力學、多學時的流體力學或水力學課程水波運動部分的重要內容。

然而，現在介紹波浪運動控制方程與微幅波求解過程的教材或著作中（如文獻[1-3]），有若干個容易使學生產生困惑的地方。一是控制方程的個數，一般只寫了一個從連續性方程轉化得到的方程，那運動方程呢？二是水面的動力學邊界條件表達式不容易接受;三是床面處為何只提了運動學邊界條件而無動力學邊界條件;四是得到的解的表達式中出現了波高等物理量，而這些物理量并沒在定解條件中出現，是怎么“冒”出來？

為解決這幾個問題，教學中我們采用了如下的改進方法。

一、波浪運動控制方程

已有的多種波浪理論，都是以相對簡單的立面二維波浪運動作為研究對象的。并作如下假定：流體是不可壓縮的、無粘性，水流運動是無旋的;自由水面的大氣壓強為常數，質量力僅為重力，表面張力和柯氏力可忽略不計;海底水平、不透水;波浪在立（剖）面二維空間運動。設定坐標系為：x軸水平、位于靜水面上，z軸鉛垂向上，如圖1所示。

由于假定了水流運動無旋，則必存在速度勢函數？準（x，z，t）使得流速矢量的水平方向分量u和垂直分量w滿足：

于是，不可壓縮流體的水流連續性方程變為

根據上面的假定，原來x和z方向的兩個水流運動方程可簡化為一個（理想流體的伯努利方程）

對一般的立面二維不可壓縮流體的運動，待求的物理量為三個，分別是u、w和p，對應的控制方程也是三個（連續性方程、x和z方向的運動方程），是封閉的。但對無旋流動，x和z方向的流速分量可以用同一個物理量？準來表出，待求的物理量變為兩個即？準和p，對應的控制方程自然也減少為二個，即方程（2）和（3），方程數與待求物理量個數相等，也是封閉的。有必要指出，對有自由表面的流動問題，水位也是待求的量，這個量須通過邊界條件確定。

現有教程通常只寫了方程（2），沒有明確把方程（3）包括在控制方程中，這種處理雖不影響求解結果，卻容易使學生產生困惑。

二、邊界條件

求解微分方程組時，需要首先確定初始和邊界條件。對立面二維Navier-Stokes方程組（研究圖1所示的立面二維波浪運動），當研究的波浪要素不隨時間變化時，初始條件可不予考慮。邊界條件包括三個方面：海底、水面和左右側。目前教材給出的邊界條件表達式一般為：

式中，L為波長，T為波周期。值得說明的是式（7）的第二個等式本質上不應歸入邊界條件，此處列于此以反映解的時間周期性。

但是，按這樣給出的邊界條件，容易產生三個方面的困惑：一是水面的動力學邊界條件表達式不容易接受;二是在水面即液-氣交界面處提了兩個邊界條件（式（5）和（6）），但為何液-固交界面即床面處只提了一個邊界條件（式（4））;三是推導得到的解中將出現方程與邊界條件中沒有出現的物理量，如波高（或振幅）。

對第一個問題，我們認為可以用更直觀的水面壓強條件來替代，即水面處相對壓強p滿足：