基于非線性動力學的分數階直驅式永磁同步發電機建模與性能分析

解 騫，李佳鑫，賈業萌，楊曉萍，郭 舵

(1.西安理工大學 電氣工程學院，陜西 西安 710048；2.天津大學 建筑工程學院，天津 300072)

隨著我國風力發電產業的迅速發展，直驅式永磁同步風力發電機(D-PMSG)在電網中占有的比例不斷升高[1]。D-PMSG采用低速永磁發電機且風輪與電機直接耦合，這種發電機取消了風力機和發電機之間的增速齒輪箱，具有高效率、低噪聲、高壽命等優點[2,3]。

當某些參數處于一定工作范圍時，系統就會產生不穩定的運行狀態，甚至混沌狀態[4]，具體表現為產生不規則電磁噪聲、轉速和輸出功率間歇性振動等現象[5]。目前，國內外已就D-PMSG開展了大量研究[6-8]，但是這些研究主要基于整數階D-PMSG數學模型[9]。相較于整數階系統，分數階系統更易穩定，且可以更好地揭示和描述自然現象[10-12]，許多系統可以由分數階微積分恰當地描述。因此，本文基于分數階D-PMSG數學模型，研究其動力學行為，探究參數和階數變化對系統運動狀態的影響機制。

另一方面，在現有的研究中，大多數學者忽略了發電機與電動機的區別，在研究發電機時卻使用了電動機的模型，并且采用的都是理論參數，而未采用實際的運行參數進行分析。因此，本文基于筆者先前的研究成果[13]，建立一個具有實際參數的30 kW分數階D-PMSG模型，使得本文的研究內容更具實際意義。

1 分數階微積分理論

在分數階微積分理論的發展過程中，許多學者提出了多種不同的分數階微積分定義，但是主要有Riemann-Liouville分數階微積分定義以及Caputo分數階微積分定義。

1)Riemann-Liouville分數階導數定義式為：

(1)

式中：Γ(·)表示Gamma函數。

當給定的函數x(t)=(t-α)β，函數(t-α)β可積，且β>-1時，由Riemann-Liouville給出的分數階導數的定義為：

(2)

這里限制x(t)=(t-α)β，β>-1且此函數具有可積分性。

2)Caputo分數階導數定義式為：

(3)

其中，xm(τ)為函數x(τ)的m階導數，m-1≤q≤m+1，m為整數。

2 分數階D-PMSG數學模型建立

對于D-PMSG，通常采用d-q轉子坐標系，由此可以得到D-PMSG的空間矢量圖，如圖1所示。

從而得到電壓方程、磁鏈方程、轉矩方程以及運動方程：

1)電壓方程：

(4)

2)磁鏈方程：

(5)

3)轉矩方程：

(6)

4)運動方程：

(7)

由此，D-PMSG模型可以表示為：

(8)

式(8)中參數的含義，如表1所示。

表1 D-PMSG數學模型參數Tab.1 Mathematical model parameters of D-PMSG

本文采用表貼式結構的D-PMSG，根據其特性可知Ld=Lq。

從式(8)可以看出，D-PMSG系統代表高度非線性系統，在動態分析過程中將會變得非常復雜。因此，采用仿射變換對式(8)所示的模型進行簡化。簡單來講，仿射變換就是“線性變換”加“平移”。一組平行直線經過仿射變換之后依然是直線，且直線的比例保持不變[14]。由于其特有的性質，仿射變換在非線性動力學分析中有著重要作用。

下面考慮仿射變換的形式：

(9)

由此，可以得到以下兩種變換：

(10)

(11)

定理1[13]：對于一個三維動態系統：

(12)

定義：

將已知條件代入式(8)，可以得到：

(13)

利用式(10)、式(11)以及定理1，可得簡化后的數學模型：

(14)

其中：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

由此可以得到分數階D-PMSG的數學模型：

(21)

D-PMSG的風力發電機組主要由風力機和D-PMSG兩部分組成，風力機將風能轉化為機械能，帶動D-PMSG轉子旋轉，從而產生電能。D-PMSG的基本框圖如圖2所示。

圖2 D-PMSG的基本框圖Fig.2 Basic block diagram of D-PMSG

3 分數階D-PMSG非線性動力學及性能分析

分數階D-PMSG數學模型為非線性系統，具有復雜的動力學行為。然而當D-PMSG的參數發生變化時，可能會出現一些不穩定運動狀態，這將嚴重影響其工作穩定性，降低甚至破壞發電機的性能，限制眾多機電設備的工作范圍。非線性分析方法是研究系統動力學行為最重要的方法。下面將在不同情況下對系統進行數值仿真，并分析其動力學行為。

3.1 當參數?變化時

取一組參數μ=3、ψf=2.5，初始參數選擇為[0.1，0.1，0.1]，分岔參數?∈(0,35)。

圖3 q1=q2=q3=1.03時與?的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagrams of versus ?,q1=q2=q3=1.03

從圖3(a)中可以看出，隨著?的變化，系統在大多數情況下為混沌狀態。當參數逐漸增加時，系統最終通過一系列分岔行為擺脫混沌狀態。

圖3(b)～(d)描繪了分岔圖(圖3(a))中更多的動力學行為細節。圖3(b)描述了圖3(a)中參數?∈[0,20]區間上的分岔圖，圖中發現了霍普分岔。當?=1.5時，系統開始失去穩定狀態，發電機運行性能也開始降低。在?∈(1.5,6.6)范圍內，系統有三個周期。當分岔參數?=6.6時，系統出現了倍周期分岔，由周期運動進入了混沌狀態。之后在混沌區中，出現了兩個周期窗口，此時發電機會產生劇烈振蕩、機組過熱等現象，使系統無法正常工作，甚至造成損壞。

圖3(c)描述了圖3(a)中參數?∈[20,50]區間上的分岔圖，能夠觀察到兩個明顯的周期窗口。在這里可以觀察到逆分岔、吸引子合并激變和內部激變：當?=25.27和?=42.72時發生逆分岔；在?=38附近，系統會出現合并激變和內部激變。

圖3(d)描述了圖3(a)中參數?∈[50,70]區間上的分岔，系統在該區間內大多為周期運動。隨著分岔參數?的增大，在經歷了一個短的混沌區之后，當?>42.72時，系統開始擺脫混沌狀態，進入周期運動。

圖4 系統階數q3=1.03、q1與q2變化時，與?的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams of versus ? with different system orders (q1,q2)and q3=1.03

比較這些分岔圖可以發現，不同階數的系統都經歷了分岔和周期窗口。另一方面，系統的階數確實能對系統的混沌以及分岔行為產生影響。

當q1=q2=0.95，q3=1.03時，系統的分岔圖如圖4(a)所示。隨著分岔參數?的增大，當?=6.62時，系統突然變得混沌。然后，系統在一個大范圍內保持混沌狀態。當?=47.13時，出現了一個明顯的周期窗口。直到?=56.96，系統保持穩定。

與圖4(a)相比，圖4(b)中多了一個大的周期窗口。隨著分岔參數?的增大，當?=3.75時，系統突然變得混沌，在?∈(35.52,39.06)范圍內，存在一個短的混沌區，之后經歷一個大的周期窗口和一個短的混沌區后，系統再次保持穩定。

在圖4(c)中，同樣有一個很大的周期窗口。隨著分岔參數?的增大，當?=2.00時，系統突然變得混沌。此外，還可以明顯觀察到，在?=30和?=70附近，系統出現逆分岔。

在圖4(d)～(f)中，系統經歷了混沌和許多小的周期窗口，最終通過一系列的分岔行為擺脫混沌。

當?=29.2時，在圖5中繪制了具有不同系統階數的iq-id相圖，從不同的角度描述了系統的動力學行為，與系統分岔圖相對應。

圖5 系統參數?=29.2，階數q3=1.03、q1與q2變化時的相圖 phase graphs with different system orders(q1,q2)and q3=1.03,?=29.2

此時，隨著階數的增加，相圖中一直呈現出混沌吸引子，表明系統處于混沌狀態。這時，發電機出現劇烈振蕩，不能正常運行，并且還會影響周邊設備的正常運行。從圖中可以看出，當系統階數增加時，吸引子不僅改變了大小，而且改變了形狀。例如，圖5(f)中的吸引子比其他吸引子大，并且形狀也與其他吸引子大不相同。

圖6 系統參數?=75，階數q3=1.03、q1與q2變化時的相圖 phase graphs with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,?=75

圖5和圖6中相圖對應的功率譜密度(PSD)圖分別示于圖7和圖8中，其與分析結果一致。

圖7 系統參數?=29.2，階數q3=1.03、q1與q2變化時的功率譜圖Fig.7 PSD diagrams with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,?=29.2

圖8 系統參數?=75，階數q3=1.03、q1與q2變化時的功率譜圖Fig.8 PSD diagrams with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,?=75

分析所有的分岔圖可以發現，當參數?變化時，總能找到一個區間范圍，使得系統處于穩定狀態。這為發電機的設計提供了理論上的幫助。例如，當q1=q2=q3=1.03時，系統在?∈(0,1.5)范圍內是穩定的。結合式(16)，只要在設計時選取合適的黏性阻尼系數b、轉動慣量J，就可以使發電機穩定運行，保持較好的性能。

圖9給出了?e與系統階數q之間的關系。?e表示混沌結束時的?，q表示q1、q2，其中q1=q2。從圖中可以看出，?e與系統階數q之間的關系比較復雜。當q從0.95增加到1時，?e逐漸增大；但當q繼續從1增加到1.15時，?e開始減小，特別是在q∈[1,1.05]范圍內，?e下降較快。

圖9 ?e與系統階數q之間的關系Fig.9 ?e versus system order q

3.2 當參數μ變化時

取一組參數?=9.8、ψf=4.2，初始參數選擇為[0.1,0.1,0.1]，分岔參數μ∈(0,4)。

圖10(b)描述了圖10(a)中參數μ∈[0,1.5]區間上的分岔圖。當分岔參數μ=0.36時，系統開始失去穩定，當分岔參數μ=0.56時，系統突然進入混沌，之后一直處于混沌狀態。當系統處于混沌狀態時，發電機會出現劇烈振蕩，不能正常工作，嚴重時甚至損壞電機，產生事故。

圖10(c)描述了圖10(a)中參數μ∈[1.5,2.4]區間上的分岔圖，在圖中出現了一個周期窗口。從μ=1.5開始，系統處于混沌狀態，之后經歷分岔，當μ=2.05時，系統再次進入混沌狀態。在該圖中，可以發現吸引子內部激變和合并激變。

圖10(d)描述了圖10(a)中參數μ∈[2.4,4]區間上的分岔圖。圖中可以觀察到明顯的分岔行為，當μ=2.55時，發生逆分岔，當μ=3.32時，系統再次達到穩定狀態。

圖10 q1=q2=q3=1.03時與μ的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagrams of versus μ,q1=q2=q3=1.03

圖11 系統階數q3=1.03、q1與q2變化時，與μ的分岔圖Fig.11 Bifurcation diagrams of versus μ with different system orders (q1,q2)andq3=1.03

從圖11(a)～(f)中可以看出，當μ到達一定值時，系統會突然進入混沌，這在系統階數q1、q2不同時表現得有所不同。雖然系統的階數有所不同，但是系統在經歷了一系列分岔、混沌之后，最終都回到穩定狀態，并且在圖11(a)～(c)中都出現了吸引子內部激變和合并激變，而在圖11(f)中存在霍普分岔。

圖12 系統參數μ=1，階數q3=1.03、q1與q2變化時的相圖 phase graphs with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,μ=1

圖13 系統參數μ=0.6，階數q3=1.03、q1與q2變化時的相圖 phase graphs with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,μ=0.6

圖12和圖13對應的PSD圖如圖14和圖15所示，與分析結果一致。

圖14 系統參數μ=1，階數q3=1.03、q1與q2變化時的功率譜圖Fig.14 PSD diagrams with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,μ=1

圖15 系統參數μ=0.6，階數q3=1.03、q1與q2變化時的功率譜圖Fig.15 PSD diagrams with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,μ=0.6

分析所有的分岔圖可以發現，當參數μ變化時，總能找到一個區間范圍，使得系統處于穩定狀態。這為發電機的設計提供了理論上的幫助。例如，當q1=q2=q3=1.03時，系統在μ∈(0,0.36)及μ>3.2范圍內是穩定的。結合式(15)，只要在設計時選取合適的極對數np、黏性阻尼系數b和定子繞組電阻R，就可以使發電機穩定運行，保持較好的性能。

圖16給出了μe與系統階數q之間的關系。μe表示混沌結束時的μ，q表示q1、q2，其中q1=q2。從圖16中可以看出，μe與系統階數q之間的關系比較復雜。當q從0.95增加到1時，μe逐漸增大，但當q增加到1之后，μe突然減小；當q∈[1.03,1.05]時，μe緩慢增大，但當q∈(1.05,1.15]時，μe依然隨著q的增加而減小。

圖16 μe與系統階數q之間的關系Fig.16 μe versus system order q

3.3 當參數μ、?、ψf固定，系統階數變化時

取一組參數μ=0.6、?=6.377 6、ψf=3，初始參數選擇為[0.1，0.1，0.1]。

圖17 系統參數μ=0.6、?=6.377 6、ψf=3，階數q1、q2與q3變化時的相圖 phase graphs with different system orders (q1,q2,q3)and μ=0.6,?=6.377 6,ψf=3

從圖17(a)～(d)中可以看出，當系統階數為0.95、0.97、1.10和1.05時，隨著階數的增加，相圖中一直呈現出規則的圓，并不斷向中心運動，表明系統可以運行到穩定狀態。此時發電機運行性能良好，輸出電壓幅值和頻率都較為穩定。但當系統階數增加到q1=q2=q3=1.10及q1=q2=q3=1.15時，相圖中呈現出混沌吸引子，如圖17(e)、(f)，表明系統處于混沌狀態。此時發電機不能正常運行，會出現劇烈振蕩。

圖17中相圖對應的PSD圖示于圖18中，與分析結果一致。

圖18 系統參數μ=0.6、?=6.377 6、ψf=3，階數q1、q2與q3變化時的功率譜圖Fig.18 PSD diagrams with different system orders (q1,q2,q3)and μ=0.6,?=6.377 6,ψf=3

4 結 論

本文根據一個實際的D-PMSG模型，采用仿射變換的方法，建立了分數階D-PMSG新的緊湊方程式(21)，并且通過非線性動力學理論以及分數階理論，分析了分數階D-PMSG系統中不同參數、不同系統階數變化時的影響。

由本文分析可知：第一，在不同系統階數下，D-PMSG會有不同的動力學行為，系統的運動狀態也會隨之改變；第二，混沌吸引子的形狀和大小也都會隨分岔參數?和μ的變化而變化；第三，在參數μ變化，階數q1=q2=q3=1.03時，系統較其他階數具有較大的穩定區間：?=9.8，ψf=4.2時，系統在0<μ<0.36和μ>3.2范圍內是穩定的；第四，結合本文對分數階系統動力學行為的分析，相較于筆者先前對整數階系統的研究，可以發現分數階系統在單參數變化、階數q1=q2=q3=1.03時，系統的穩定區間更大，使得滿足發電機穩定運行時可供選擇的系統參數范圍更廣；且當系統參數固定時，隨著階數的增加，系統逐漸進入混沌狀態；第五，得到發電機穩定運行的區間，在發電機設計時，可以選取合適的實際參數，保證發電機獲得更可靠、更良好的性能；第六，得到參數?和μ變化時，系統脫離混沌時相應的系統參數與階數q之間的關系曲線，這對在其他階數下獲得系統的穩定區間具有重要意義。

本研究中采用的實際D-PMSG參數、建立的數學模型，相較于其他研究更具有實際意義。此外，本文的研究對進一步探索D-PMSG及其他分數階系統的動力學特性具有一定的參考價值。