運營隧道原型-模型襯砌應力理論模型及應用

陶永虎，饒軍應，熊 鵬，聶崇欣，謝財進

(貴州大學 土木工程學院，貴州 貴陽 550025)

近年來，隨著經濟的高速發展，各類巖土工程、邊坡工程及隧道工程等項目建設愈發頻繁，而工程事故也隨之增多，尤其在隧道建設方面，由襯砌變形、漏水、內應力增大等原因引起的事故不計其數[1-4]。目前，大多數施工單位都是通過布設測點測量襯砌變形情況來預判隧道安全與否，但此方法只能大概估計襯砌應變情況，誤差較大，故準確判斷已建隧道襯砌應力變化對隧道的安全使用是非常必要的。若能建立原型-模型襯砌應力理論模型，通過模型襯砌應力變化反映實際襯砌應力變化，那么就能從理論上準確掌握隧道襯砌應力變化情況，及時采取補救措施，這不但節省了勞動力，同時還保證了隧道運營安全[5-10]。

在原型與模型試驗研究方面，朱葉艇等[11]進行了異形盾構隧道襯砌應力計算模型及受力特性研究，得到了襯砌應力計算的分析模型，但在原型-模型襯砌應力之間未給出明確的理論關系；江浩等[12]研究了幾何相似比對模型試驗及原型試驗隧道襯砌內力的影響，總結出相似比的變化對襯砌應力變化影響顯著，但未從隧道受力方面給出模型襯砌應力的具體計算方法；張鵬[13]利用模型試驗研究海底隧道襯砌應力變化規律，根據相似準則建立模型試驗，總結出襯砌應力與流固耦合之間存在較大關系，但在理論研究方面，沒有明確給出其理論計算模型；景詩庭[14]利用模型試驗研究襯砌應力變化，分析了原型-模型試驗之間的區別，但未從理論上給出其計算方法；劉金云等[15]進行了流固耦合下的輸水隧道動力模型試驗研究，發現通過數值模擬，模型試驗襯砌應力結果可反映到原型試驗值上，但未從理論方面進行研究解釋。綜上所述，目前關于模型-原型試驗的研究主要集中于相似材料、模型與原型關系、幾何相似比對模型的影響等方面，并通過數值模擬來反映襯砌應力變化，但參數選擇及材料假定會給數值模擬帶來一定的偏差，導致模擬結果模棱兩可，故從理論方面研究原型-模型襯砌應力關系是很有必要的，這既能糾正數值模擬的偏差，也能為襯砌應力計算提供理論方法。

本文在前人研究基礎上，利用相似原理建立原型-模型襯砌應力關系，通過復變函數保角變換將雙連拱隧道襯砌轉化為兩個相切的圓環，通過假定應力解析函數及位移解析函數對變換的模型進行應力求解，最后再根據已建的應力關系，得到化簡后的原型-模型襯砌應力理論計算模型，并對模型進行化簡及分析。

1 模型構建

1.1 原理介紹

這里視隧道襯砌為薄板結構，本模型試驗采用靜態平面應變模型。隧道襯砌相似條件主要依據彈性力學本構關系，若以下標N和M分別表示原型和模型的物理量，則原型和模型都應滿足彈性力學的基本方程[16]：

1)平衡微分方程

原型：

(1)

模型：

(2)

2)相容方程

原型：

(3)

模型：

(4)

3)物理方程

原型：

(5)

模型：

(6)

4)幾何方程

原型：

(7)

模型：

(8)

5)邊界條件

原型：

(9)

模型：

(10)

通過假定材料幾何相似比，由式(1)～(10)可以確定模型試驗的相似參數。

1.2 模型參數設定

由于雙連拱隧道襯砌受力較為復雜，且假設襯砌材料均為彈性連續介質，故采用方程分析法確定相似常數。根據方程分析相似準則，設ξ表示相似常數，將其分別代入式(1)～(10)。

依據式(1)得：

(11)

同理,將ξσ、ξL、ξε、ξE代入式(3)～(10)得：

(12)

(13)

(14)

(15)

已知相似比時，便可通過式(11)～(15)求得其他相似常數，從而確定原型應力與模型應力之間的數量關系。

1.3 原型-模型襯砌應力關系構建

由相似試驗可知，模型襯砌應力與原型襯砌應力之間相差一個常數關系，為求得模型與原型襯砌應力之間的關系，現將連拱隧道看作是一個平面應變問題，只在x、y方向受均布壓力，其計算原型如圖1、圖2所示。

圖1 原型連拱隧道自重應力場分布Fig.1 Self-weight stress field distribution of the prototype double-arch tunnel

圖2 等效模型施加外加應力的應力分布Fig.2 Stress distribution of equivalent model applied stress

1.4 原型-模型襯砌應力關系

1.4.1σN與σM關系的建立

在非兩拱共用邊墻部位，隧道襯砌受力較兩拱連接處簡單，采用彈性力學本構方程進行求解，其計算模型如圖3所示。假設襯砌薄板均布壓力為q，慣性矩為W，K為彎曲剛度，板厚為t。

圖3 薄板受力Fig.3 Force of thin plate

根據材料力學薄板彎曲撓度方程[17]：

??2δ=0

(16)

對應在直角坐標方程中，則有：

(17)

式中：δ為薄板發生彎曲時產生的撓度；?表示哈密頓算子。

假設該隧道的幾何相似比ξL=1/λ，彈性模量EN=EM，泊松比μN=μM，依據式(11)～(15)得：

(18)

再由式(11)～(15)可以得到原型與模型相關計算指標的關系：

(19)

原型與模型薄板彎曲方程：

(20)

由式(18)～(20)解得：

(21)

若EN=EM、μN=μM則：

(22)

若，則：

即：

(23)

由式(23)可知，模型襯砌應力與原型襯砌應力存在理論關系，通過確定模型襯砌應力，便可知道該隧道襯砌的受力情況及變化規律。

1.4.2模型應力σM復變解

在求解無中墻連拱隧道襯砌應力時，將其視為無限平面中的孔口問題，忽略邊界條件及地應力的變化[18]。襯砌問題是一個多連通域問題，其邊界由圍巖、隧道襯砌、空氣組成，而本文在計算襯砌應力時，利用復變函數保角變換思想，將隧道襯砌假設為連續相切的圓環，依據復變函數[19-22]冪級數展開及結合邊界條件便可求得其隧道襯砌應力，該變換模型屬于三連通域問題。該隧道模型關于邊墻中心對稱，故受力相同，下文均只取變換后的左圓環進行應力計算，其計算圖如圖4所示(其中ρ、θ表示極坐標下的極徑、旋轉角，a、b表示保角變換后的襯砌內徑、襯砌外徑)。

圖4 Γ平面保角代換為φ平面示意圖Fig.4 Schematic diagram of Γ plane conformal substitution to φ plane

Γ平面中，C1、C′1與C2、C′2分別為左幅隧道和右幅隧道的圍巖與襯砌；P1、P′1分別表示左幅隧道與右幅隧道襯砌與大氣的接觸面；P2、P′2分別表示左幅隧道與右幅隧道襯砌與圍巖的接觸面，滿足襯砌與圍巖接觸時的連續邊界條件。由Γ平面通過保角代換得φ平面圓環結構，其中C1、C′1、C2、C′2區域映射為φ平面的Z1、Z′1、Z2、Z′2區域；P1、P1′、P2、P′2區域映射為φ平面的ω1、ω′1、ω2、ω′2區域。

設χ(Γ)、ψ(Γ)分別為應力解析函數、位移解析函數，則各計算指標用復函數表示為：

應力分量：

(24)

位移分量：

(25)

在P1邊界面，其邊界條件為：

(26)

在P2邊界面，其邊界條件為：

(27)

式中：u、ν分別表示圍巖水平和豎向位移；fx、fy分別表示x、y方向的面力；A為弧長起算點，F為邊界上任一點；C為弧長起算點，D為邊界上任一點；G為剪切模量，G=E/(1+2μ)；μ為泊松比。

在雙連通域中，其應力解析函數和位移解析函數的形式為：

(28)

式中：χ*(Γ)為ρ=1單連通域的應力單值解析函數；ψ*(Γ)為ρ=1單連通域的位移單值解析函數；m為邊界值。

利用復變函數共性映射原理求解復雜平面問題時，常將復雜的計算截面通過保角代換為規則的幾何形狀進行求解，結合應力和位移邊界條件進行計算。由于隧道襯砌受力問題可以理解為平面應變孔口受力問題，故將式(28)做如下化簡：

取映射函數Γ=Φ(φ)=b/ζ，φ=ρ(cosθ+isinθ)=ρeiθ，從而得到φ平面的極坐標復變函數方程：

(29)

其中：

(30)

式中：M、M′、F′為無窮遠處應力常數；mk、sk為邊界面上某一點；ζk為冪級數展開關于ζ的項；bk表示常數b在第k序號時對應的冪；k為大于0的正整數，k=3-4μ。

在極坐標下，應力分量：

(31)

利用Laurent冪級數進行求解，將χ(Γ)、ψ(Γ)在φ平面上展開：

(32)

式中：α0和η0分別表示初始地應力及初始位移。

對于該隧道模型，在φ平面上有三個應力邊界，且在三個邊界面均不考慮面力，即當ρ=1、ρ=a、ρ=b時，有：

假設隧道左側和右側最大荷載為q1，拱頂最大荷載為q2，由式(28)～(32)結合邊界條件化簡可得：

(33)

由式(33)可得其襯砌所受應力關系，通過參數的確定便可求得襯砌在各個方向的應力值，結合式(23)就可得到原型-模型的襯砌應力關系。

2 模型化簡及分析

2.1 模型化簡

由于式(23)是直角坐標下的方程，式(33)是極坐標下的應力方程，為了便于計算，進行相應坐標變換，變換公式為：

(34)

σρ+σθ、σρ-σθ計算如下：

(35)

將式(35)代入式(34)得到：

(36)

式(36)較為復雜，而真實修建隧道時，只考慮最大襯砌應力的影響(應力過大，容易引起襯砌開裂、滲水)，為安全起見，現對模型進行如下簡化：根據彈性力學可知σρ+σθ=σx+σy，根據保角代換可知當θ→0時，相應的β→0，此時對應的襯砌應力為邊墻應力最大值，拱頂最大荷載q2幾乎為零，這時ρ近似為B(邊界值)，襯砌應力為：

(37)

式(37)即為右邊墻受到的應力情況，符合隧道在邊墻處的襯砌受力情況。

當θ→π時，相應的β→π，此時不考慮拱頂最大荷載q2，左邊墻襯砌受力為：

(38)

當θ→π/2時，相應的β→π/2，此時不考慮邊墻最大荷載q1，拱頂部位襯砌受力為：

(39)

式中：h為隧道凈高。

根據式(23)及式(37)～(39)建立組合模型，其結果為：

當θ→0，β→0時：

(40)

當θ→π，β→π時：

(41)

當θ→π/2，β→π/2時：

(42)

式(40)～(42)即為隧道襯砌受力的三種極端情況，保證三種應力安全情況下，隧道偏于安全。

2.2 誤差分析

為分析該理論模型的誤差變化情況，現做如下計算：

y*-y=k(x*-x)

記e(y)=y*-y，e(x)=x*-x，則有：

e(y)=ke(x)

由Taylor公式展開得到絕對誤差及相對誤差：

(43)

將已知條件代入式(43)得：

(44)

式(44)即為該模型的誤差表達式，只要知道其相似參數，便可確定其誤差范圍。

3 典例分析

本文依托于云南大理某連拱隧道，其右幅K37+750～K38+205段(左幅ZK37+742～ZK38+180段)地形起伏較大，右幅全長455 m(左幅438 m)，最大埋深64.76 m。隧道區海拔高程1 743～1 817 m，相對高差74 m，屬構造剝蝕中山地貌區。隧道區地形較為陡峻，地表植被發育較好。隧道圍巖等級為Ⅴ級，圍巖較破碎，風化巖較多。

該模型的相關相似常數為ξL=25、ξγ=1、ξε=ξμ=1、ξR=ξσ=ξC=ξE=25(ξR、ξC為強度相似常數、粘聚力相似常數)，其相關的物理力學參數及相似材料力學參數如表1所示。其測點布置如圖5所示，由于隧道左右幅受力情況相同，現取左幅隧道進行襯砌應力分析，原型-模型相關參數如表2所示，理論值與原型測量值相關參數如表3所示。原型-模型襯砌應力如圖6所示。

表1 隧道物理力學參數Tab.1 Parameters of prototype tunnel

圖5 測點布置示意圖(單位：cm)Fig.5 Schematic diagram of measuring point layout (unit:cm)

表2 模型實測值與原型實測值之間的關系Tab.2 Relationship between model measurement value and prototype measurement value

表3 原型實測值與模型理論值之間的關系Tab.3 Relationship between prototype measured value and model theoretical value

圖6 原型-模型襯砌應力示意圖Fig.6 Schematic diagram of prototype-model lining stress

由圖6(a)可知，模型實測值與原型實測值變形趨勢相同，均隨著時間增加，且σN/σM≈0.31；當1d～3d時，原型與模型的襯砌應力均隨時間大幅增加；當3d～7d時，模型與原型襯砌應力雖隨時間增加，但變化幅度較小。

由圖6(b)可知，模型理論計算值與原型實測值均隨時間增加，且其變化趨勢一致，說明模型理論值與原型實測值較為接近，表明該理論方法合理可行；理論值與實測值之間最大誤差為5.02%，最小誤差為0。

4 結 論

1)本文基于相似原理，構建了原型-模型的襯砌應力關系計算模型，其原型襯砌應力與模型襯砌應力之間相差一個常數，此常數可通過相似材料及圍巖物理力學參數來確定。

2)連拱隧道受力較為復雜，采用復變函數保角代換求解模型應力，理論化簡得到原型-模型襯砌應力關系，經圍巖壓力計算可分別得到q1、q2，從而可通過模型應力反推原型實際襯砌應力。

3)經模型化簡、誤差分析可得高應力區模型-原型襯砌應力理論關系，該模型產生的絕對誤差較小，最大誤差為5.02%，最小誤差為0。

4)經分析，原型實測值與模型實測值均隨時間增加，其變化趨勢一致，且σN/σM≈0.31；原型實測值與模型理論值較為接近，且均隨時間增加。該結果驗證了模型的合理性，說明根據模型值反推原型隧道襯砌應力是可行的。

5)本文未考慮地下水壓力、地應力的影響，后續研究會將其納入考慮，以便分析其對襯砌應力變化的影響。