非均勻張力作用下斜支承運動薄膜的振動特性研究

邵明月，王 靜，武吉梅，慶佳娟

(西安理工大學 印刷包裝與數字媒體學院，陜西 西安710054)

薄膜作為一種常見的承印材料在柔性電子印刷及卷到卷制造中得到了廣泛應用。在傳輸過程中薄膜由多個牽引輥以及導向輥支承，當薄膜傳輸方向需要改變時通常采用斜支承輥，斜支承輥的支承作用以及輥與輥之間的安裝誤差所引起的張力不均情況[1]都會改變運動薄膜的振動特性，導致印刷過程中產生套印不準等故障，引起較大的印刷誤差。因此，研究非均勻張力作用下斜支承運動薄膜的振動特性對優化印刷設備，提高印刷質量具有重要意義。

目前，已有部分學者分別對非均勻張力作用下運動材料的振動問題及具有支承的軸向運動系統進行研究。王硯等[1-2]分別基于解析法和微分求積法對非均勻張力作用下的運動薄膜穩定性進行研究。Banichuk等[3]的研究表明較小的張力不均勻性會對薄膜的發散形式產生較大影響。Nguyen和Hong[4]在考慮薄膜非均勻張力的基礎上提出了一種用于控制軸向運動薄膜系統振動的新穎算法。Ma等[5]對張力呈拋物線分布的軸向運動薄膜橫向振動穩定性進行研究，結果表明較小的非均勻張力就會對薄膜的振型有影響。武吉梅等[6-7]采用次最優控制法對非均勻張力作用下的運動薄膜振動進行控制并對中間支承運動薄膜振動特性進行研究。馬亮[8]考慮了柔性基板非均勻張力以及中間彈性支承影響，對柔性基板卷到卷輸送中橫向振動特性、振動控制及應用進行分析，結果表明變張力系數對基板內應力分布有較大影響。Liew等[9]在考慮多種邊界條件情況下研究了帶有內部斜支承矩形板的自由振動。Lai等[10]將DSC-Element法應用于斜板的自由振動分析，驗證了DSC-Element法的有效性并得到具有混合邊界條件斜板的頻率解。Ketabdari等[11]通過參數研究，分析不同邊界條件、偏斜角、非均勻性因子及變彈性基礎剛度對斜板自由振動的影響。Parida[12]和Ramu[13]分別對功能梯度材料斜板的振動特性進行研究。郭旭俠和薛曉飛[14]基于微分求積法對熱彈耦合運動斜板的振動特性進行研究。Kuma[15]等應用有限元法對斜夾層板的自由振動進行研究。胡寒和聶國雋[16]研究了變角度纖維復合材料層合斜板的顫振，采用Ritz法得到了層合板的自振頻率和顫振不穩定的臨界速度。

綜上所述，目前的研究表明考慮斜支承影響的研究對象多為板，未曾見到考慮斜支承對運動薄膜穩定性影響的研究。本文綜合考慮了非均勻張力以及斜支承對運動薄膜振動特性的影響，對其進行研究。本文通過直角坐標系與斜坐標系的轉化，建立斜坐標系中非均勻張力作用下斜支承運動薄膜的運動微分方程，并采用微分求積法求解得到運動薄膜的無量綱復頻率，分析變張力系數以及斜支承角度對運動薄膜橫向振動的影響。

1 建立運動薄膜運動微分方程

圖1 非均勻張力下斜支承運動薄膜力學模型Fig.1 Mechanical model of a moving membrane on oblique supports subjected to non-uniform tension

Tx沿y方向的變化規律為：

(1)

式中：β為非均勻張力系數。

令薄膜在z軸方向所受的外力為F(x,y,t)，由d’Alembert原理可知當非自由質點受到約束時，其主動力F以及約束力FN，與虛加的慣性力FI=-ma之和為零，即F+FN+FI=0，由此將動力學問題轉化為靜力學問題進行分析[17]。則基于d’Alembert原理得到運動薄膜的橫向振動微分方程為：

(2)

坐標轉換函數為：

ξ=x-ycotθ,η=ycscθ

(3)

令F(x,y,t)=0，將式(3)代入式(2)得到斜坐標下的運動薄膜橫向振動微分方程為：

(4)

引入下列無量綱量：

(5)

式中：c為無量綱速度；r為長寬比；λ表示長度方向與寬度方向的張力比；τ表示無量綱時間。

得到無量綱方程為：

(6)

設方程(6)的解為：

W*(ξ*,η*,τ)=W(ξ*,η*)eIωτ

(7)

將式(7)代入式(6)，得到非均勻張力作用下斜支承運動薄膜的運動微分方程為：

(8)

薄膜四邊簡支邊界條件為：

(9)

2 離散得到系統復特征值方程

應用微分求積法對所得薄膜運動方程(8)求解，將薄膜區域劃分為N×N(N=15)個節點，應用δ法將四邊簡支邊界劃分為：

(10)

函數各階偏導數值為：

(11)

由Lagrange插值公式得到一階權系數為：

(12)

由此得到各階權系數為：

(13)

根據微分求積法得到運動薄膜的復特征值方程為：

(14)

根據微分求積法可將邊界條件離散為：

(15)

合并方程(14)與(15)得到系統特征方程為：

|ω2R+ωG+K|=0

(16)

式中：

K=[Kij]，其中Kij為：

(17)

3 數值分析

本文以陜西北人B624卷筒紙印刷機的基本參數為例，對變張力作用下斜支承運動薄膜進行橫向振動特性的研究，取薄膜張力T0=90 N/m，Ty=90 N/m，薄膜面密度ρ=0.12 kg/m2。

當β=0，θ=π/2時，非均勻張力作用下斜支承運動薄膜的振動方程退化為均勻張力作用下直輥支承運動薄膜的振動方程。取無量綱速度c=0.164,張力比λ=0.2,長寬比分別為r=1和r=2，計算運動薄膜振動無量綱復頻率，將本文解與解析解[18]比較，見表1。取無量綱速度c=0.16,長寬比r=1.8,張力比分別為λ=0.1和λ=0.5，計算運動薄膜振動無量綱復頻率，將本文解與解析解[18]比較，見表2。

表1 無量綱頻率本文解與解析解[18]對比(c=0.164,λ=0.2)Tab.1 Comparing the solutions of dimensionless frequency in this paper and the analytical solution (c=0.164,λ=0.2)

表2 無量綱頻率本文解與解析解[18]對比(c=0.16,r=1.8)Tab.2 Comparing the solutions of dimensionless frequency in this paper and the analytical solution (c=0.16,r=1.8)

由表1和表2可知，采用微分求積法求得的頻率解與解析解有很好的一致性，且精度很高，表明使用該方法研究非均勻張力作用下斜支承運動薄膜的振動特性可行有效。

3.1 非均勻張力系數對運動薄膜振動特性影響

圖2，圖3和圖4為斜支承角度θ=π/3，張力比λ=0.3，長寬比r=0.5，非均勻張力系數分別為β=0.1,β=0.4和β=0.8時運動薄膜無量綱復頻率與無量綱速度之間的關系曲線。

圖2 無量綱速度與無量綱復頻率關系曲線(β=0.1)Fig.2 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (β=0.1)

圖3 無量綱速度與無量綱復頻率關系曲線(β=0.4)Fig.3 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (β=0.4)

圖4 無量綱速度與無量綱復頻率關系曲線(β=0.8)Fig.4 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (β=0.8)

圖2為非均勻張力系數β=0.1。當01.25時，運動薄膜前三階模態又重新穩定。c=1.03為系統的無量綱臨界發散失穩速度，對應薄膜工作的實際臨界速度為v=28.7m/s。

圖3為非均勻張力系數β=0.4。當01.37時，運動薄膜前三階模態又重新穩定。c=1.04為系統的無量綱臨界發散失穩速度，對應薄膜工作的實際臨界速度為v=29.0 m/s。

圖4為非均勻張力系數β=0.8。當01.49時，運動薄膜前三階模態又重新穩定。c=1.07為系統的無量綱臨界發散失穩速度，對應薄膜工作的實際臨界速度為v=29.8 m/s。

由上可知隨著非均勻張力系數的增加，系統工作的臨界速度增大。當無量綱復頻率實部為正，虛部為零時，系統處于穩定狀態；當虛部出現，實部為零時，系統是不穩定的，而系統臨界速度就是無量綱頻率實部和虛部均為零時所對應速度，所以系統工作的臨界速度增加時，系統穩定性增強。

3.2 斜支承角度對運動薄膜振動特性影響

圖5，圖6和圖7為非均勻張力系數β=0.1，張力比λ=1，長寬比r=2時運動薄膜斜支承角度分別為θ=π/4,θ=π/3和θ=5π/12時運動薄膜無量綱復頻率與無量綱速度之間的關系曲線。

圖5 無量綱速度與無量綱復頻率關系曲線(θ=π/4)Fig.5 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (θ=π/4)

圖6 無量綱速度與無量綱復頻率關系曲線(θ=π/3)Fig.6 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (θ=π/3)

圖7 無量綱速度與無量綱復頻率關系曲線(θ=5π/12)Fig.7 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (θ=5π/12)

圖5為斜支承角度θ=π/4。當01.41時運動薄膜前三階模態又重新穩定。c=1.14為系統的無量綱臨界發散失穩速度，對應薄膜工作的實際臨界速度為v=32.9 m/s。

圖6為斜支承角度θ=π/3。當01.49時運動薄膜前三階模態又重新穩定。c=1.14為系統的無量綱臨界發散失穩速度，對應薄膜工作的實際臨界速度為v=31.8 m/s。

圖7為斜支承角度θ=5π/12。當01.59時運動薄膜前三階模態又重新穩定。c=1.14為系統的無量綱臨界發散失穩速度，對應薄膜工作的實際臨界速度為v=31.3 m/s。

由上可知隨著斜支承角度的增加，系統工作的臨界速度減小，系統不穩定區域增大。運動薄膜的斜支承角度對系統穩定性有重要影響。

4 結 論

本文以陜西北人B624卷筒紙印刷機為例，采用微分求積法對非均勻張力作用下斜支承運動薄膜的橫向振動特性進行研究，得到以下結論。

1)隨非均勻張力系數的增加，系統穩定性增強。當非均勻張力系數分別為β=0.1，β=0.4和β=0.8時，系統工作的臨界速度v分別為28.7 m/s，29.0 m/s和29.8 m/s。

2)隨斜支承角度的增大，系統穩定性減弱。斜支承角度分別為θ=π/4，θ=π/3和θ=5π/12時運動薄膜實際工作中的臨界速度v分別為32.9 m/s，31.8 m/s和31.3 m/s。適當減小運動薄膜的斜支承角度可有效保障系統的穩定性。