信息論中的高階導數插值方法

李冱岸 劉曉陽

摘 要：對復雜信號函數進行插值恢復是信號處理領域中的一個熱門問題，本文利用給出的信號函數在插值節點處的高階導數信息，構造出了新的插值恢復方法，并得到了對一類重要信號函數進行恢復的收斂結論。

關鍵詞：帶有限函數;插值;樣本定理

一、問題背景

香農是信息論的創始者，在1940年左右，他明確闡述了關于信號函數的樣本定理。

它表示上的帶狀有限信號函數可由其在可列個等距節點處的值來完全重構，但是，對上的函數呢？Schmeisser H.J. 和Triebel H在1987年給出上的樣本定理。它表明上的有限帶函數可以由它在等距離散點處的值在意義下重構。

在之后很長一段時間內，樣本定理被廣泛應用于各個領域，很多專家學者都嘗試去拓展樣本定理。其中包括Butzer[1]和Splettst?sser[2]都給出了這方面的研究結果。更進一步的，本文利用給出的信號函數在插值節點處的各階導數信息，構造出了新的插值恢復方法。

二、對帶有限信號函數進行插值恢復的主要結論

帶有限函數即函數的傅里葉變換是具有緊支集的一類重要信號函數。根據Schwartz定理，，即上的帶狀有限函與上的指數型整函數是一致的。

參考文獻：

[1]Butzer P. L.， A survey of Whittaker-Shannon sampling theorem and some of the extension [J]. Math Res. Exposition， 1983， 3：185-212.

[2]Splettst?sser W， T?rnig W. Error estimates for sampling approximation of non-bandlimited functions [J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 1979， 1（2）： 127-137.

[3]李冱岸，陳佳，李晶，帶二階導數的插值定理[J].數學的實踐與認識，2014， 44（11）：300-307.

[4]李冱岸，房艮孫.Hermite型導數樣本定理和Sobolev類上的混淆誤差[J]. 北京師范大學學報（自然科學版），2004，40（3）：315-319.

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[6]Jagerman D L ， Fogel L J . Some general aspects of the sampling theorem[J]. IEEE Trans Inform Theorem ， 1956， 2-39.