基于Hoek-Brown準則的強度等效方法對比及應用研究

胡其志， 劉 倩, *， 丁志剛， 包文成

(1. 湖北工業大學土木建筑與環境學院, 湖北 武漢 430068； 2. 中交路橋南方工程有限公司, 北京 101149)

0 引言

層狀巖體分布廣泛，約占全球陸地面積2/3，其中77%分布于我國境內，尤其是西部地區。隨著經濟建設的進一步發展，我國公路、隧道工程在向西部蔓延的同時，其工程規模和難度也進一步加大。層狀巖體因其呈層狀，內含軟弱面，具有復雜的各向異性特征，使得其受力變形、破壞不僅受到荷載分布影響，還與節理面性質、傾角等有關[1]，給隧道工程建設帶來較大挑戰。因此，對層狀圍巖穩定性進行分析是十分必要的。

在對隧道圍巖進行研究過程中，常用方法一般分為2類： 模型試驗[2-4]和數值模擬[5-8]。其中,模型試驗因具有規模大、成本高、控制因素不穩定等缺陷，在圍巖穩定性研究領域逐漸被數值模擬所取代。數值模擬軟件中，FLAC3D最受青睞，該軟件自帶的遍布節理模型采用Mohr-Coulomb(簡稱M-C)準則，在完整巖體基礎上考慮節理面的影響，能較好地反映圍巖變形與應力分布特征。但遍布節理模型中的巖體強度未考慮節理面傾角效應，往往會導致層狀圍巖變形、應力結果較小[9]，與實測結果存在誤差。因此，對完整巖體強度進行適當折減，能有效提升模擬結果準確性，且既有研究尚未對模擬過程中產生的此類問題進行詳細分析。

1 基于H-B準則的等效強度參數

1.1 巖體強度準則

在材料強度研究中，M-C準則是使用最為廣泛的強度準則，其表達式如下：

τ=c+σtanφ。

(1)

式中：σ、τ分別為正應力和剪應力；c、φ分別為材料黏聚力和內摩擦角，與材料特性有關。

通過變換，式(1)也可用主應力進行表達，但其中未考慮中主應力的影響，而在隧道穩定性分析時中主應力有著較大影響。

同時，有應力不變量變換表達式：

(2)

式中：σ2為中間主應力；θσ為應力Lode角，取-30°～30°。

故變換后，式(1)可進行如下表達：

(3)

Hoek-Brown準則由E. Hoek和E. Brown于1980年提出，可反映巖石破壞時極限主應力間的非線性關系，是一種基于大量數據的經驗表達式，具體為：

(4)

式中：σc為巖石單軸抗壓強度,MPa；mi為經驗參數，與巖石軟硬程度有關。

而后，又提出既適用于巖石又適用于巖體的改進H-B準則，即廣義H-B準則：

(5)

式中s、α為反映巖體特征的經驗參數，其中，s反映巖體破碎程度，α與巖體類型有關。

1992年，基于廣義H-B巖體強度準則，H.Saroglou 和 G.Tsiambaos提出適用于層狀巖體的修正H-B準則：

(6)

式中σc β、kβ分別為巖體單軸抗壓強度和mi修正系數(其大小由節理面傾角決定)。

將式(2)中主應力用應力不變量代替后得：

(7)

式(7)即修正H-B準則的應力不變量形式，也可稱為適用于層狀巖體的考慮靜水壓力效應、Lode角效應的三維H-B準則。

1.2 瞬時等效法

E. Hoek 提出，在σ3-σ1破壞面，令H-B準則強度包絡線上一點處的切線與通過該點的M-C準則強度包絡線相等，得到相應等效強度參數公式，該方法稱為瞬時等效法(Instantaneous equivalent，簡稱IE法，見圖1)。但其所得結果未充分考慮中主應力和Lode角效應。

圖1 瞬時等效法

(8)

式(3)等號兩邊同時對I1求導，有：

(9)

式(7)等號兩邊同時對I1求導，有：

(10)

聯立式(8)—(10)，即可得出瞬時等效內摩擦角

(11)

式中Cβ為與巖體特征相關的經驗系數，具體表達式見式(12)。

Cβ=σc βkβmi。

(12)

將式(12)代入式(3)中，并引入相應強度折減系數α=0.07，可求得瞬時等效黏聚力

(13)

1.3 最佳一次逼近

圖2 最佳一次逼近

對于適用于層狀巖體H-B準則，其表達式(7)可改寫為：

(14)

f(x)=Ax2+Bx+C。

(15)

式(15)中：

(16)

對于M-C準則，其表達式(3)可改寫為：

(17)

(18)

k=k′。

(19)

將式(19)代入，可解得等效內摩擦角

(20)

不難發現，最佳一次逼近所得等效內摩擦角與瞬時等效所得公式形式相似但系數不同，符合不同等效方法對結果的影響。

(21)

令：

(22)

并引入強度折減系數β=0.25,可求出等效黏聚力

(23)

由上述推導可知，對于修正H-B準則與M-C準則的等效，該方法實質是在一定x范圍內，令g(x)斜率與M-C準則直線斜率相等，求得等效內摩擦角后，依據式(3)得到初始等效黏聚力c0，再將其與g(x)截距c取均值，得到最終等效黏聚力。

2 案例分析

為驗證以上等效方法的正確性，以重慶至長沙省際公路共和隧道為背景，對其K41+567段層狀圍巖穩定性進行研究。渝沙省際公路共和隧道位于彭水縣共和鄉境內，為雙洞隧道，左右洞分別長4 779 m和4 745 m，洞心相距20～23 m，最大埋深約1 000 m，為深埋隧道。隧道軸線走向231°，與巖層走向夾角0°～20°，其產狀為300°～325°∠20°～40°(見圖3)。隧道為左側靠山、右側臨江地勢(見圖4)，因而存在偏壓，其圍巖穩定受到地質構造、巖層屬性及埋深等影響。隧道區地質資料顯示，隧道區內為單斜構造，無其他復雜地質。

圖3 隧道巖層構造示意圖

圖4 隧址區域地質構造

共和隧道于K40+430～K42+230段埋深最大，圍巖為Ⅲ級，硬質，層間結合較好。節理面平直光滑，多閉合狀，無充填或鈣質薄膜充填，間距為1～2 m。施工過程中發現自K40+830斷面起，隧道初期支護在左拱腳和右拱肩處出現多處噴射混凝土開裂、掉塊以及鋼拱架屈曲變形等現象(見圖5)，給工程后續建設帶來極大安全隱患。為分析圍巖變形特征，按照圖6所示布置測點，并得到不同斷面位移收斂值見表1。

(a) 左拱腳開裂

(b) 右拱肩處噴射混凝土開裂及拱架變形

圖6 斷面測線布置

表1 共和隧道部分斷面位移收斂值

2.1 模型建立

2.1.1 遍布節理模型

層狀圍巖具有明顯的各向異性，不能直接將其視為完整、均質巖體，在既有模型中，遍布節理模型(Ubiquitous-Joint)在層狀圍巖研究方面具有較好的效果。該模型認為，層狀圍巖的破壞可能出現在巖體中或節理面上，也可能兩者同時出現，主要取決于圍巖所受應力、節理傾角、巖體屬性及節理屬性等。一般將巖體放入空間坐標，以x、y、z表示；節理面放入局部坐標中，以x′、y′、z′表示(見圖7)。

圖7 遍布節理模型

遍布節理模型采用M-C屈服準則，同時考慮剪切破壞和拉伸破壞，其節理面破壞準則如圖8所示。

圖8 節理面破壞準則

AB為節理面剪切破壞包絡線，滿足fs=0：

(24)

BC為拉伸破壞包絡線，滿足ft=0：

(25)

由此可見，傳統FLAC3D數值模擬中的遍布節理模型，是在M-C準則基礎上加入節理面強度參數，其實質仍為各向同性體，無法較好地描述巖體各向異性破壞特性。因此，采用H-B準則等效對巖體強度參數進行相應修正后再應用到遍布節理模型中，能夠達到更好的模擬效果。

2.1.2 模型建立

共和隧道K41+567段最大埋深為700 m，初始應力狀態為σx=-16.33 MPa，σy=-12.28 MPa，σz=-15.69 MPa，τxy=-0.133 MPa，τxz=-1.095 MPa，τyz=1.945 MPa。以此為研究對象，基于2種不同等效法所得H-B等效強度參數，采用遍布節理模型，對該區段內傾角分別為0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°的巖層強度參數進行修正，并與修正前模擬結果進行對比。

隧道模型網格劃分見圖9，模型計算范圍50 m×50 m×50 m。由于該研究重點為隧道開挖后圍巖穩定性特征，故在不考慮開挖形式基礎上統一進行全斷面開挖，且開挖后進行噴混凝土初期支護。

圖9 模型網格劃分

2.2 參數計算

應力不變量表達式如下：

(26)

應力偏張量表達式如下：

(27)

Lode角表達式如下：

(28)

基于以上彈塑性理論，結合第2節工程背景，以不同節理面傾角確定不同Cβ值，并將砂質頁巖三軸應力狀態下破壞時所測得σ1、σ2、σ3代入應力不變量、應力偏張量和Lode角表達式中，再一并代入不同等效強度公式，得到層狀巖體不同傾角、不同等效方法條件下的等效強度參數分別見表2和表3。其中，切變模量由不同節理傾角頁巖抗壓試驗中彈性模量及泊松比數據計算得到。

表2 不同傾角巖體IE等效強度參數

表3 不同傾角巖體BOA等效強度參數

2.3 模擬分析

2.3.1 關鍵點位移量

采用FLAC3D歷史數據記錄功能，對隧道某一截面上拱頂、拱底、左右拱肩和左右拱腳處開挖完成后的水平、豎向位移進行記錄，并計算得到徑向位移量(絕對值)，所得數據如圖10和圖11所示。

由圖10(a)—(b)可知，IE修正后拱頂下沉值均大于修正前，拱頂下沉值平均增幅為30.04%，當巖層傾角為30°時增幅最大，可達50.3%，但當傾角為75°和90°時增幅最小，說明此時IE法修正效果有所下降；BOA修正后拱頂下沉值基本大于修正前，拱頂下沉值平均增長11.69%，當巖層傾角為60°時增幅最大，可達30.2%，但當傾角為75°和90°時增幅小于0，說明此時該方法不再適用。圖10(c)—(d)為拱底位移隨傾角變化特征，由圖可知，IE法和BOA法修正前后的拱底隆起值變化規律與拱頂處一致，IE法修正后平均增幅為45.44%，同樣在傾角為30°時增幅最大，可達93.3%，當傾角為75°和90°時，增幅分別為25.7%和8.64%，遠小于最大值；BOA法修正后平均增幅為24.8%，傾角為60°時增幅最大，可達44.8%，傾角為75°和90°時增幅小于0。

圖11(a)—(b)分別為共和隧道某一截面上左、右拱肩開挖結束后位移量隨傾角變化。由圖可以看出，IE修正后拱肩位移量變化趨勢為先增大后減小，且其拱肩位移差在傾角30°時取得最大值，傾角90°時取得最小值；BOA修正后拱肩位移變化趨勢與IE法一致，均為先增大后減小，但其修正前后拱肩位移差在傾角75°后為負數，說明超過75°后BOA法便不再適用,同時，BOA修正前后拱肩位移差始終小于IE法。觀察圖11(c)—(d)發現，不論是左拱腳還是右拱腳，2種修正方法對其位移量均有所提升，且位移變化規律均為先增大后減小，與拱肩處一致，但IE法修正提升幅度明顯大于BOA法；同樣地，BOA法修正前后位移差在傾角超過75°后小于0，因此不再適用。分析拱肩和拱腳處進項位移大小可知，最大位移出現在右拱肩處。

(a) IE修正后拱頂位移量隨傾角變化

(b) BOA修正后拱頂隨傾角變化

(c) IE修正后拱底位移量隨傾角變化

(d) BOA修正后拱底隨傾角變化

(a) 左拱肩位移量隨傾角變化

(b) 右拱肩位移量隨傾角變化

(c) 左拱腳位移量隨傾角變化

(d) 右拱腳位移量隨傾角變化

為更加直觀和仔細地對不同修正方法下各關鍵點位移進行分析，結合共和隧道實際工況，將6個關鍵點位移數據繪制隧道圍巖位移分布如圖12所示。

(a) 修正前

(b) BOA法

(c) IE法

觀察圍巖位移分布可知，不論是修正前、IE法等效修正或是BOA法等效修正，拱頂下沉值均大于拱底隆起值，這是由于拱頂位置圍巖重力作用加劇了拱頂的下沉，而拱底位置圍巖重力對底部的隆起起到抑制作用；此外，不論巖層傾角如何變化，該隧道右拱肩位移量始終大于左拱肩，呈非對稱分布，這是因為共和隧道為典型的偏壓隧道，左側靠山、右側臨江(見圖3)，導致其右拱肩處變形更大，與工程實際位移分布和現場監測結果一致，進一步體現2種修正方法的正確性。

此外，2種等效方法所得30°圍巖位移結果均大于修正前，表明2種修正方法對圍巖變形都具有修正作用，且IE法較BOA法所得結果與現場監測值更為接近。

對比現場監測結果和數值模擬計算的位移數據可知，修正前拱頂下沉值為7.72 mm，而IE法和BOA法修正后分別為11.6 mm和9.7 mm，現場監測結果為107.26 mm；修正前水平收斂值(左右拱腳水平相對位移)為7.25 mm，IE法和BOA法修正后分別為11.6 mm和9.4 mm，現場監測結果為59.22 mm(模擬斷面為K41+567，故取K41+570數據為參考，見表1)。位移數據表明，2種方法較修正前對位移量都有提升，且IE法修正所得位移量較BOA修正更接近真實值，修正效果更佳。但對圍巖穩定性而言，圍巖應力是導致變形的關鍵，僅依靠位移量對修正方法進行判斷是不夠的，因此還應對圍巖應力進行分析。

2.3.2 關鍵點應力值

數值模擬計算結束后，以巖層傾角為橫坐標軸，偏應力(σ1-σ3)值為縱坐標軸，繪制關鍵點偏應力隨傾角變化折線如圖13所示。

(a) 拱頂偏應力(σ1-σ3)隨傾角變化

(b) 拱底偏應力(σ1-σ3)隨傾角變化

(c) 左拱肩偏應力(σ1-σ3)隨傾角變化

(d) 右拱肩偏應力(σ1-σ3)隨傾角變化

(e) 左拱腳偏應力(σ1-σ3)隨傾角變化

(f) 右拱腳偏應力(σ1-σ3)隨傾角變化

由圖13(a)可以看出，拱頂偏應力值隨傾角增大，呈U形變化趨勢，當傾角為45°時取得最小值。其中，BOA法修正后拱頂偏應力始終大于修正前，而IE法修正只在30°、45°和60°時大于修正前，在0°、15°、75°和90°處小于修正前，說明IE法修正僅在30°～60°內對拱頂偏應力值有提升作用；圖13(b)為拱底處偏應力值隨傾角變化規律，不難看出，拱底處偏應力值隨傾角變化呈先減小后增大趨勢，且BOA法修正后偏應力值始終大于修正前，IE法修正則相反。

不同傾角下拱肩偏應力值如圖13(c)—(d)所示。易知，BOA法修正結果明顯大于修正前，且其變化趨勢與修正前一致，左拱肩為先增大后減小，右拱肩為先增大后減小再有所增大；而IE法修正結果基本較修正前更小，說明其修正效果不佳。圖13(e)—(f)為不同傾角條件下拱腳偏應力值變化，與拱肩模擬結果類似，可以看出BOA法對拱腳應力差提升幅度更大，IE法則效果不佳。

通過以上分析可知，IE法修正所得圍巖偏應力最小，修正前次之，BOA法修正最大，說明在BOA修正情況下圍巖發生后續破壞可能性最大。此外，在不同傾角條件下，BOA法所得偏應力隨傾角變化趨勢與修正前也大致相同，進一步說明了BOA的合理性。因此，使用BOA法能對圍巖安全性進行更好的評估。

巖層傾角30°時，不同等效方法所得最小主應力分布如圖14所示。可以看到，最小主應力呈括弧狀圍繞于隧道臨空面外側，且為左上、右下分布。觀察其最小主應力大小發現，IE法和BOA法修正最小主應力分別為25.1 MPa和30.01 MPa，其絕對值均小于修正前的30.28 MPa，但IE法的分布區域面積更大。

(a) 修正前

(b) IE法修正

(c) BOA法修正

2.3.3 圍巖塑性區

不同巖層傾角和不同等效方法條件下圍巖塑性區分布見表4。由表可知，同一傾角條件下，修正前后圍巖塑性區分布基本一致，但修正后塑性區面積更大。且修正后的塑性區隨傾角變化趨勢與修正前一致，均沿節理面法向方向發展，隨節理面法向順時針偏轉，進一步證明了2種修正方法對層狀巖體的適用性。以30°傾角為例，不難看出IE修正后圍巖塑性區深度大于修正前，所得塑性區深度最大，主要出現在拱底位置。右拱肩塑性區深度為4.78 m，大于左拱肩的1.64 m，與共和隧道偏壓受力特征結果一致。

3 結論與建議

基于層狀巖體的H-B準則，充分考慮巖體完整性、巖層傾角、中主應力及Lode角效應，利用瞬時等效和最佳一次逼近將H-B準則分別與M-C準則進行等效，推導得出相應等效強度公式，并應用于FLAC3D遍布節理模型中，對共和隧道K41+567段進行圍巖穩定性分析，最終得到如下結論。

表4 不同傾角和等效方法條件下圍巖塑性區

1)對巖體參數進行修正后，圍巖位移量較修正前更大，更接近真實值，說明2種修正方法對巖體的修正都是合理的。且IE法修正后位移量最大，波動也最大，表現出較好的修正效果。而當巖層傾角超過75°時，2種修正方法的修正效果在拱頂和拱底處均有所下降。

2)對比修正前、IE法修正和BOA法修正三者計算所得圍巖偏應力值發現，IE法修正后，圍巖關鍵點處偏應力值基本小于修正前，且變化趨勢與修正前有所出入；而BOA法修正后偏應力值始終大于修正前，其變化趨勢與修正前保持一致，展現出良好的修正效果。

3)在圍巖塑性區方面，2種修正方法與修正前塑性區形狀均保持一致，都沿節理面法向發展，且隨著巖層傾角增大發生順時針偏轉。修正后塑性區面積及深度基本大于修正前，能夠更加有效地為后期支護提供參考。

通過對不同傾角和不同等效方法條件下，隧道圍巖關鍵點位移量、應力差和塑性區的綜合分析，發現IE法和BOA法均可對巖體強度參數修正，但結合計算所得圍巖位移量及偏應力值可知，BOA修正法不但能保證計算的準確性，同時其所得結果較IE修正更加合理，能夠為工程設計和施工提供較好的指導。

分析以上研究可知，在對圍巖進行數值模擬時，可采用對模擬參數進行修正的方法進一步提高模擬結果的準確性。此次研究主要是利用H-B準則，分別采用2種方法對遍布節理強度參數進行修正。觀察其推導結果可知，IE法和BOA法所得等效內摩擦角公式形式相當，下一步可對不同參數下的等效內摩擦角表達式進行分析，得到最優等效公式。此外，本研究尚未考慮開挖及支護方式對圍巖穩定性的影響，在數值模擬過程中可根據不同觀察背景選用不同開挖及支護方式進一步提高模擬的準確性。