以數(shù)形結(jié)合方式，提升解決問題能力的漸進式教學(xué)模式研究

吳娜

【摘要】幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中的十大“核心詞”之一，主要是指借助圖形描述和分析問題，而數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要思想方法，在解決問題時它具有直觀、形象、便于操作的特點，學(xué)生可不受限制的羅列題目信息，繪圖表示數(shù)量關(guān)系，進而對題目有整體性直觀性的理解，提升解決問題能力。筆者將小學(xué)階段的數(shù)形結(jié)合的教學(xué)序列化，探究它對解決問題的幫助，尋求新課改革背景下適合學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合解決問題新課改

一、提出問題——小學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)形結(jié)合教學(xué)現(xiàn)狀分析

（一）用圖意識薄弱，關(guān)在思路門外

由于低段學(xué)生剛開始接觸正式的數(shù)學(xué)，對文字的理解與轉(zhuǎn)化能力較弱，往往會被抽象的題目難倒，教師培養(yǎng)學(xué)生的用圖意識就顯得至關(guān)重要，但大多數(shù)教師往往忽視學(xué)生對數(shù)理的理解，單單注重解題技能的訓(xùn)練，使得學(xué)生找不到解題思路的鑰匙，這對于學(xué)生后期解題能力與思維發(fā)展是極其不利的。因此必須在低段的時候就對學(xué)生進行用圖意識的培養(yǎng)，讓他們有意識的運用圖形來幫助自己理解題意，解決問題。

（二）圖和情景分離，偏離解題方向

高段學(xué)生的用圖意識有所增強，但在“要用圖”和“會用圖”上還是具有一定的差距，例如在繪圖過程中往往會因為對題意的理解錯誤，關(guān)系的表達混亂，或者所畫的圖與問題情景不能匹配，因此必須對學(xué)生進行用圖方法的指導(dǎo)。

（三）圖形序列缺少，未成畫圖習(xí)慣

數(shù)形結(jié)合意識的培養(yǎng)，無論是在低段的啟蒙教育還是高段的靈活運用都不是一蹴而就的，但大多教師只在解決某一題或某課的難點時進行運用，缺乏系統(tǒng)化、序列化培養(yǎng)，學(xué)生也就無法運用零碎的數(shù)形結(jié)合意識有效解決問題。

二、實踐探究——用數(shù)形結(jié)合方式解決問題的漸進式教學(xué)實踐

（一）整體規(guī)劃，讓教學(xué)更加有序

任何能力的培養(yǎng)都不是一蹴而就的，需要教師對六年的學(xué)習(xí)進行系統(tǒng)性規(guī)劃，使教學(xué)更有方向與順序，學(xué)生對于每一類解決問題的能力掌握的更加扎實。規(guī)劃時一定要找到相關(guān)的課時，明確該課時培養(yǎng)的能力方面，更要著重于每一課時的之間的練習(xí)，力求通過一條主線將不同學(xué)段的不同課時聯(lián)系在一起，循序漸進的教學(xué)。

2.承上啟下，掌握用圖解決問題的方法

學(xué)生在低段形成用圖意識后，會主動嘗試用圖解決問題，但是用圖技巧的缺失會阻礙解題與思維的發(fā)展，因此在中段教師對于方法的傳授是非常重要的。

案例分享：《求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍》和《求一個數(shù)的幾倍是多少》（如圖1、2）是三上的內(nèi)容，包含了借助象形圖和線段圖表示數(shù)量關(guān)系與解決問題，這是學(xué)生第一次正式接觸選段圖，因此筆者在教學(xué)中，不是側(cè)重于學(xué)生能多快列式解決，而將重點放于“你能用恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎境鰯?shù)量關(guān)系嗎？”“結(jié)合圖說一說。你是如何表示出題目中的數(shù)量關(guān)系”，使學(xué)生認識線段圖，畫線段圖，學(xué)會用線段圖來梳理題目中的數(shù)量關(guān)系。

設(shè)計意圖：學(xué)習(xí)了乘法后，學(xué)生能將倍數(shù)問題轉(zhuǎn)化為“求幾個幾是多少”和“求幾里面有幾個幾”進行解決，但是如果將思維只局限于語言上的轉(zhuǎn)化，忽視畫圖表示數(shù)量關(guān)系，明顯會限制學(xué)生的發(fā)展，只有將數(shù)與形結(jié)合，將能畫圖表示數(shù)量關(guān)系作為一種硬性要求，學(xué)生才會形成這種技能，對于之后高段的和倍問題、差倍問題中的數(shù)量關(guān)系才會信手拈來，并未后面的植樹問題、行程問題等打下基礎(chǔ)，可以說它是一個承上啟下的用圖解決問題。

3.自主探索，形成用圖解決問題的技巧

低段的“扶”，中段的“幫”，都是為了高段學(xué)生能根據(jù)問題情景恰當(dāng)運用數(shù)形結(jié)合的方式解決問題，因此這時教師要放手，讓學(xué)生經(jīng)歷嘗試、調(diào)整，獲得自我成長的喜悅。

案例分享：熱門的《植樹問題》是不少老師的公開課首選，植樹的教法也各具特色。這個數(shù)學(xué)廣角中包含了“兩端都種”、“只種一段”、“一段都不種”和“環(huán)形種樹”，面對這么多種種法，不少老師以學(xué)生掌握植樹公式為目標“一邊栽一邊不栽和環(huán)形栽樹時，棵樹=間隔數(shù)，兩邊都栽時，棵樹=間隔數(shù)+1，兩邊都不栽時，棵樹=間隔數(shù)-1”，但倘若學(xué)生只是將公式死記硬背，那么條件稍微一變，學(xué)生可能就會蒙圈，所以我將《植樹問題》進行整合教學(xué)，以線段圖貫穿整節(jié)課，將課堂時間留給學(xué)生自主嘗試畫圖表示各種植樹情況上，讓學(xué)生充分的畫、想、說，最終得出結(jié)論（如圖3）。這時學(xué)生心中有圖，即使題目再怎么變化，學(xué)生都能解答的得心應(yīng)手。

設(shè)計意圖：現(xiàn)實生活中類似植樹問題的有很多，例如爬樓梯、據(jù)木頭、畫壇擺花、安裝電路等，即使學(xué)生能將植樹公式倒背如流，腦中沒有相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，依舊不能靈活解決問題。所以面對像植樹問題這類問題，應(yīng)該要用大量的時間培養(yǎng)學(xué)生自主用圖解決問題，建構(gòu)同類題目數(shù)學(xué)模型的意識，提升其思維靈活性。

（三）課時精排，讓教學(xué)更加有力

1.前測調(diào)查學(xué)情，了解學(xué)生解題思路

五上的解決問題《出租車中的分段計費問題》對于學(xué)生是一個理不清且變式更難的問題，它的單價會隨路程的變化而浮動，打破了學(xué)生固有的解題思路，且學(xué)生缺少這類生活經(jīng)驗，面對復(fù)雜的題干，往往找不到對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，也就無從下手。

前測作為一種有效了解學(xué)情的手段，能幫助老師掌握學(xué)生已有的知識與技能，從而規(guī)劃教學(xué)重難點。以下是筆者給學(xué)生的設(shè)計的前測題組，了解學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用情況：

前測結(jié)果：前測一共測評了3個班118人，全對的只有35人，失分率高達70.34%，針對這83人進行了錯誤分析：

由此可見，對于學(xué)生來說抽象的數(shù)量關(guān)系是學(xué)生理解的薄弱點和解題思路的盲區(qū)，如果能讓學(xué)生通過圖形的表征，將各區(qū)間的計費數(shù)量與區(qū)間的計費標準意義對應(yīng)，就能有效提升學(xué)生解讀信息的能力。

3.練習(xí)拓展提升，促進學(xué)生靈活運用

如果例題對學(xué)生而言是房子的地基，那么接下來磚的選擇就非常重要，筆者選取了生活中常見的分段計費的例題進行分類與設(shè)計如下：

（1）某快遞公司的計費標準如下，1～11千克0.5元/千克，11～21千克1.5元/千克，21千克以上2元/千克。王阿姨現(xiàn)在有一個重30千克的貨物，請問她要付多少錢？

（2）溫州市某公共自行車收費標準如下：

三、小結(jié)

華羅庚教授曾以精辟而又通俗的語言闡明了數(shù)和形結(jié)合的必要性“數(shù)無形而少直觀、形無數(shù)而難人微，數(shù)形結(jié)合百般好、隔裂分家萬事休”。數(shù)形結(jié)合思想讓復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，不僅提升了小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)，更為他們將來學(xué)習(xí)復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識甚至是終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展打下有益的基礎(chǔ)。因此，作為教師我們更應(yīng)當(dāng)深挖知識背后的數(shù)形結(jié)合思想，在日常教學(xué)中系統(tǒng)化、序列化滲透思想。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]梁淑穎.尋問題根源，覓解題佳徑——“分段計費”錯因分析與再思考[G].基礎(chǔ)教育，2019（8）：69-70.