閉孔泡沫鋁泊松比及三軸壓縮變形模式1)

賈 然 趙桂平

(西安交通大學航天航空學院機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安 710049)

引言

作為泡沫金屬的典型代表,閉孔泡沫鋁具有輕質、高比剛度、高比強度等優良特性[1],是一種理想的減重、吸能材料,在航空航天、交通運輸、建筑工程、機械制造等領域展現出巨大的應用潛力.因此,研究閉孔泡沫鋁的壓縮變形機理、能量吸收特性等具有十分重要的工程意義.

在閉孔泡沫鋁的有限元數值分析中,學者們提出了多種代表性體積單元(representative volume element,RVE)[2],用以表征閉孔泡沫鋁復雜胞孔結構的細觀構型.總體上,現有的細觀模型可以分為3 類,球體幾何模型(geometric model)[2-3]、結構模型(structural model)[2,4-5]和離散模型(discrete model,也稱逆向重構模型)[2,6].作為結構模型的代表,3DVoronoi 隨機模型既可以反映低相對密度閉孔泡沫鋁內部的復雜構造,又具有較高的計算效率,因此被廣泛應用于閉孔泡沫鋁的有限元仿真分析中[7-13].

在閉孔泡沫鋁的唯象本構模型中,泊松比是一個非常關鍵的參數.有限元軟件LS-DYNA 內置的154#模型[14-16],有限元軟件ABAQUS 內置的各向同性強化可壓縮模型(crushable foam model with isotropic hardening)[17],Deshpande 和Fleck[18]提出的自相似模型(self-similar model),Miller 模型[19]和Chen-Lu 模型[20]均涉及此參數.然而,在應用中上述模型均假定閉孔泡沫鋁壓縮過程中泊松比為一個常數.實際泊松比的取值是否可以假設為一個常數,這個常數怎樣取值仍是有待研究的課題.Bi[21]、張健等[6]、張樂等[22]及Fang 等[23]均對閉孔泡沫鋁泊松比的變化規律、取值方式及其對本構模型的影響進行了研究.

已有的研究中,對于閉孔泡沫鋁的泊松比變化規律,存在兩種觀點:(1)隨著軸向壓縮應變的增大,泊松比呈現出“增高?降低?再增高”的“S”型變化過程,且再增高階段起始于閉孔泡沫鋁密實階段的起始應變;(2)隨著軸向壓縮應變的增大,泊松比呈現出先增高,再降低的變化過程,并逐漸趨近于0.這兩種觀點的分歧在于閉孔泡沫鋁進入致密化階段后泊松比的變化情況.張建等[6]基于逆向重構模型的研究,張樂等[22]基于實體單元Kelvin 模型的研究,均支持觀點(1);王長峰等[24]、Zhu 等[25]基于3DVoronoi 模型的研究則支持觀點(2).此外,對于閉孔泡沫鋁泊松比變化規律中特征點(極大值點)的物理意義尚不明確.

毋庸置疑,探究閉孔泡沫鋁泊松比變化規律的分歧,認識閉孔泡沫鋁泊松比變化規律中特征點的物理意義,是進一步研究閉孔泡沫鋁本構關系的重要切入點,對完善閉孔泡沫鋁本構體系至關重要.為了明確閉孔泡沫鋁泊松比的變化規律及特征點(極大值)的物理意義,研究閉孔泡沫鋁三軸壓縮應力狀態下的變形模式,本文采用數值分析方法,利用表征閉孔泡沫鋁細觀結構的2D-Voronoi 模型及3DVoronoi 模型,對其進行側面位移耦合單軸壓縮及側面位移受限軸向壓縮分析.研究結果明確了閉孔泡沫鋁的泊松比變化規律及特征點物理意義,確定了閉孔泡沫鋁三軸壓縮應力狀態下的變形模式,對后續閉孔泡沫鋁唯象本構模型的研究具有重要意義.

1 有限元模型與邊界條件

借助開源軟件Neper[26]及有限元軟件ANSYS,構建閉孔泡沫鋁3D-Voronoi 及2D-Voronoi 的幾何模型,將幾何模型導入有限元軟件ABAQUS/Explicit中,賦予材料參數,進行仿真分析.

1.1 閉孔泡沫鋁的建模

閉孔泡沫鋁的3D-Voronoi 幾何模型如圖1 所示,模型尺寸為20 mm × 20 mm × 20 mm,包含343 個(73)胞孔.

閉孔泡沫鋁的2D-Voronoi 幾何模型如圖2 所示,模型尺寸為20 mm × 20 mm × 0.10 mm,包含92個(介于92與102)胞孔.2D-Voronoi 模型相當于3D-Voronoi 模型的斷層掃描切片.

圖2 2D-Voronoi 幾何模型Fig.2 2D-Voronoi geometrical model

基于相關的研究結論[4,10-11,13,27]及課題組已有的工作[5,7,22],所構建的3D-Voronoi 模型及2DVoronoi 模型的宏觀幾何尺寸及各方向上的胞孔數目均滿足代表性體積單元(RVE)的要求[2].

假定閉孔泡沫鋁孔壁厚度均勻,其相對密度 ρr可表示為

式中, ρs為泡沫鋁孔壁材料的密度;ρ 為泡沫鋁密度;V為模型體積;Ai為第i個孔壁的面積;h為孔壁的厚度.

模型的相對密度均取值0.2,依據式(1)計算各模型的孔壁厚度.殼單元3D-Voronoi 模型(僅使用殼單元,后文簡稱3D-Voronoi 模型)及殼單元2DVoronoi 模型的孔壁厚度在截面屬性中設置,實體單元2D-Voronoi 模型的孔壁厚度在幾何建模時考慮.為了控制變量,幾何建模過程中已經適當調整模型的胞孔數目,使所有模型的孔壁厚度取值相同.

3 D-Voronoi 模型及殼單元2D-Voronoi 模型均采用殼單元中的S3R 單元及S4R 單元,實體單元2D-Voronoi 模型采用實體單元中的C3D8R 單元及C3D6 單元.結合課題組已有工作經驗及網格敏感性分析,發現3D-Voronio 模型、殼單元2D-Voronoi 模型及實體單元2D-Voronoi 模型的單元特征長度依次取值0.14 mm,0.10 mm 及0.10 mm 時,仿真結果已經具有較好的收斂性,進一步細分網格所得到的結果變化甚微,此時模型的單元數目依次為402 271個,3431 個及7022 個.

接觸設置均采取通用接觸,摩擦系數0.02.

1.2 模型邊界條件設置及對應問題

研究采用兩種邊界條件:側面位移耦合單軸壓縮和側面位移受限軸向壓縮.

1.2.1 側面位移耦合單軸壓縮

圖3 為3D-Voronoi 模型的側面位移耦合單軸壓縮示意圖.模型被放置在兩塊平行的解析剛性板之間,底部剛性板固定,頂部剛性板沿Y軸負方向以恒定速度對模型進行準靜態壓縮.分別耦合4 個側面的法向位移,保證模型每個側面節點的法向位移相等.這種邊界條件相當于對無限大的平板進行壓縮,可以消除模型的邊界效應.3D-Voronoi 模型的側面位移耦合單軸壓縮用于分析閉孔泡沫鋁泊松比變化規律特征點(極大值點)的物理意義.

圖3 3D-Voronoi 模型側面位移耦合單軸壓縮示意圖Fig.3 Lateral displacement coupled uniaxial compression of 3D-Voronoi model

殼單元2D-Voronoi 模型與實體單元2DVoronoi 模型的邊界條件相同.圖4 所示為2DVoronoi 模型的側面位移耦合單軸壓縮示意圖.2DVoronoi 模型可以看作3D-Voronoi 模型的斷層掃描切片,其邊界條件設置與3D-Voronoi 模型相似.耦合左、右兩個側面沿X軸方向的位移,并通過約束,使模型在Z軸方向的位移與應變均為零.殼單元2D-Voronoi 模型及實體單元2D-Voronoi 模型的側面位移耦合單軸壓縮用于分析閉孔泡沫鋁致密化階段泊松比變化趨勢.

圖4 2D-Voronoi 模型側面位移耦合單軸壓縮示意圖Fig.4 Lateral displacement coupled uniaxialcompression of 2D-Voronoi model

1.2.2 側面位移受限軸向壓縮

圖5 為3D-Voronoi 模型的側面位移受限軸向壓縮示意圖.在此邊界條件下,模型被6 個垂直于坐標軸的解析剛性板包裹,頂部剛性板沿Y軸負方向以恒定速度對模型進行準靜態壓縮,其余5 個剛性板固定.側面位移受限軸向壓縮時,第二主應力 σ2與第三主應力 σ3近似相等.此邊界條件是閉孔泡沫鋁這類體積可壓縮材料獨有的一種應力狀態.3DVoronoi 模型的側面位移受限軸向壓縮用于分析閉孔泡沫鋁三軸等比壓縮下的變形模式.

圖5 3D-Voronoi 模型側面位移受限軸向壓縮示意圖Fig.5 Lateral displacement limited axial compression of 3D-Voronoi model

2 數值計算結果分析

2.1 泡沫鋁致密化階段泊松比變化規律

2D-Voronoi 模型相當于3D-Voronoi 模型的斷層掃描切片,便于觀察胞孔結構的變形,因此選用2D-Voronoi 模型研究閉孔泡沫鋁致密化階段的泊松比變化規律.2D-Voronoi 模型閉孔泡沫鋁泊松比的表達式如下

式中, εx, εy依次為模型X軸與Y軸方向的真實應變.

閉孔泡沫鋁致密化階段的起始應變通過吸能效率(energy absorption efficiency)ηE確定[28],即吸能效率曲線極值點所對應的應變為閉孔泡沫鋁壓縮致密化的起始應變(onset of densification)[28],用符號表示.吸能效率的表達式如下

研究結果[7,29-31]發現,常規的殼單元(也稱薄殼單元) 接觸過程中具有厚度減薄(thickness reduction)的特性,不能反映較大壓縮量時材料孔壁厚度上的堆疊[29-30],由此推測常規殼單元接觸過程中的厚度減薄特性是研究人員對閉孔泡沫鋁致密化階段的泊松比變化規律結論存在分歧的原因.

殼單元2D-Voronoi 模型、實體單元2D-Voronoi模型的仿真結果驗證了這一推測.

圖6 為殼單元2D-Voronoi 模型與實體單元2DVoronoi 模型致密化的起始應變鄰域內的泊松比-軸向真實應變曲線,并于應變軸上標注由 ηE確定的致密階段起始應變.如圖6(a) 所示,殼單元2DVoronoi 模型得出觀點(1)所表述的規律;如圖6(b)所示,實體單元2D-Voronoi 模型得出觀點(2)所表述的規律.

圖6 2D-Voronoi 模型致密起始應變鄰域內泊松比曲線Fig.6 Poisson’s ratio curves in neighborhood of onset of densification of 2D-Voronoi model

圖7 為2D-Voronoi 模型的胞孔結構變形圖,其中,黑色線框表示殼單元2D-Voronoi 模型的胞孔變形情況,綠色截面表示實體單元2D-Voronoi 模型的胞孔變形情況.由圖7(a)可知,模型致密化之前,孔壁厚度方向上的堆疊并不顯著,因此殼單元2DVoronoi 模型與實體單元2D-Voronoi 模型的胞孔結構變形基本是一致的;但是,當應變達到致密化起始應變點時,如圖7(b)所示,孔壁厚度方向上堆疊明顯,二者胞孔結構變形產生巨大的差異.顯然,實體單元2D-Voronoi 模型能準確反映閉孔泡沫鋁致密化階段胞孔充分坍塌造成的孔壁堆疊.化起始應變之后的泊松比數據是無效的,因此,對應變區間內的數據進行誤差分析,以量化殼單元厚度減薄對誤差的影響,修正誤差 δ(εy)

圖7 2D-Voronoi 模型胞孔結構變形圖Fig.7 Cellular structure deformation of 2D-Voronoi model

由圖6 及圖7 可知,殼單元Voronoi 模型致密的表達式如下

式中, νSolid為實體單元2D-Voronoi 模型的泊松比,νShell為殼單元2D-Voronoi 模型的泊松比, α 為修正系數.νXY(X軸?Y軸的泊松比) 及νZY(Z軸?Y軸的泊松比)的誤差,均累積于 νZY,因此修正系數 α 取值0.5.

對修正誤差進行非線性函數擬合,得到如下表

閉孔泡沫鋁是一種各向同性材料[7],2D 模型Z軸方向的位移及應變約束為零,使得本應均分在達式

式(5)的殘差平方和RSS/SSR (residual sum of squares/sum squared residual)為3.080 × 10?5,調整R方(adjustedR-square)為0.989,并滿足0.04 ≈0.

已有的研究結果表明,在殼單元接觸過程中,厚度減薄不會干擾截面參數中殼厚度改變對應力計算的影響[29-31],即使不同學者選取的模型不同,應變區間內的有限元仿真研究的結論并無明顯分歧,殼單元Voronoi 模型受到眾多研究人員的青睞[7-13].

由以上分析可知:常規殼單元接觸過程中的厚度減薄特性是研究人員對閉孔泡沫鋁致密化階段的泊松比變化規律結論存在分歧的原因;閉孔泡沫鋁的泊松比變化規律為“增高?降低?再增高”的“S”型變化過程;殼單元Voronoi 模型致密化起始應變之后的數據無效.

2.2 泊松比特征點(極大值)物理意義

閉孔泡沫鋁壓縮過程中泊松比有極大值、極小值兩個特征點[6,22],后者的物理意義已明確,即泊松比極小值對應閉孔泡沫鋁單軸壓縮吸能效率的極大值,即泡沫鋁致密化階段的起點[28],本節針對前者的物理意義進行探究.

相較于2D-Voronoi 模型,3D-Voronoi 模型可以更加精準地體現閉孔泡沫鋁材料胞孔結構在三維空間的壓縮變形,因此選用殼單元3D-Voronoi 模型研究閉孔泡沫鋁泊松比“S”型變化規律極大值的物理意義,此時,閉孔泡沫鋁的泊松比的表達式如下式中, εx, εy, εz依次為模型X軸、Y軸、Z軸方向的真實應變.

由2.1 節可知,殼單元Voronoi 模型致密化起始應變之后的數據不可采信,因此僅分析3DVoronoi 模型之前的數據.

3D-Voronoi 模型側面耦合單軸壓縮的仿真結果如圖8 所示,泊松比曲線的起點應變為 ε = ?0.057,以消除外部不完整胞孔孔壁受壓失穩的干擾,泊松比曲線的截止點應變為

由圖8 可知,泊松比曲線達到極大值(圖8 左側豎直虛線標注處)之前,吸能效率與軸向真實應變大致呈線性關系,泊松比達到極大值后,吸能效率增速開始顯著下降.

圖8 3D-Voronoi 模型泊松比及吸能效率曲線Fig.8 Curves of Poisson’s ratio and energy absorption efficiency of 3D-Voronoi model

為進一步明確吸能效率的變化情況,計算吸能效率曲線的斜率,得到吸能效率增速?軸向真實應變曲線,如圖9 所示(左側豎直虛線標注處為泊松比極大值所對應的應變).

圖9 3D-Voronoi 模型吸能效率增速曲線Fig.9 Growth rate of energy absorption efficiency of 3D-Voronoi model

由于圖9 中“*”所示的區域,吸能效率的增速近乎恒定,“*”所示區域之前的增速上升階段很短,因此已有的研究結果[7,22,28]及本文得到的吸能效率曲線均有一段近乎線性的增長區域.當泊松比達到極大值之后,吸能效率的增速開始下降.

綜上可知,泊松比曲線極大值對應閉孔泡沫鋁吸能效率的增速下降點,此即閉孔泡沫鋁泊松比曲線極大值點的物理意義.

2.3 壓縮應力路徑與變形模式

基于閉孔泡沫鋁本構模型的唯象特性,對其壓縮變形機理的研究顯得尤為重要.為區分不同的壓縮應力狀態,引入加載路徑比例系數(the proportional stress path[18]或stress ratio[20])的概念,用符號 ηL表示式中, σm為平均應力, σe為Mises 有效應力.由此,泡沫鋁的壓縮應力狀態可劃分為:單軸壓縮(ηL=1/3),靜水壓縮及等比壓縮C∈(0,1), 1 /3<ηL<∞.

上述劃分方式無法體現泡沫鋁三軸壓縮(主要為等比壓縮)應力狀態下的變形模式,為從變形層面對已有劃分方式進行補充,并探究泡沫鋁三軸壓縮應力狀態下的變形模式,引入臨界應力路徑(critical stress path)的概念,用符號表示.

臨界應力路徑,即當沿此路徑進行三軸等比壓縮時,僅最大主應力方向表現出壓縮變形,第二及第三主應力方向應變為0 (側面位移受限軸向壓縮邊界條件下得到的加載路徑比例系數).

圖10 臨界應力路徑及吸能效率曲線Fig.10 Curves of critical stress path and energy absorption efficiency

閉孔泡沫鋁等比壓縮邊界條件的實現,無論是試驗還是仿真分析,均存在較大困難,尤其是等比壓縮下的大變形研究,試驗或仿真分析均未得到實現[7].借助臨界應力路徑曲線,不但可以從變形層面進一步細化閉孔泡沫鋁的等比壓縮應力狀態,而且可以預測閉孔泡沫鋁等比壓縮應力狀態整個變形過程(尤其是大變形)的變形模式.

等比壓縮時,若1/3 <ηL(εV)<η0L(εV),此時閉孔泡沫鋁雖然三軸受壓,但是僅第一主應力方向的變形表現為向內壓縮,第二及第三主應力方向(下文簡稱側面)均表現為向外膨脹,此時的胞孔變形狀態更加接近單軸壓縮;若 ηL(εV)>η0L(εV),此時閉孔泡沫鋁各個方向的變形均表現為向內壓縮.

由圖10 可知,隨著 ηL的逐漸增大,可以發現,閉孔泡沫鋁等比壓縮應力狀態下存在4 種變形模式:

(1)當1/3 <ηL<η0L?min時,閉孔泡沫鋁的側面變形過程為“(短期)壓縮變形→膨脹變形”;

(2)當 η0L?min<ηL<η0L?max時,閉孔泡沫鋁的側面變形過程為“壓縮變形→膨脹變形→壓縮變形→膨脹變形”;

(3)當 η0L?max<ηL<η0L?cutoあ時,閉孔泡沫鋁的側面變形過程為“壓縮變形→(短期)膨脹變形”;

(4)當 ηL>η0L?cutoあ時,閉孔泡沫鋁的側面變形過 程為“壓縮變形”.

3 結論

建立閉孔泡沫鋁的3D-Voronoi 模型及2DVoronoi 模型,通過有限元軟件ABAQUS/Explicit 對其進行側面耦合單軸壓縮及側面位移受限軸向壓縮邊界條件下的數值模擬分析.根據計算結果,討論了Voronoi 模型的特點,闡明了對閉孔泡沫鋁泊松比變化規律的研究結果存在分歧的原因,明確了閉孔泡沫鋁泊松比的變化規律及特征點的物理意義,發現了閉孔泡沫鋁等比壓縮應力狀態下的4 種變形模式.研究結果發現:

(1)常規殼單元接觸中的厚度減薄特性是導致閉孔泡沫鋁泊松比變化規律的研究結果存在分歧的原因,但是,厚度減薄不會影響泡沫鋁模型致密前胞孔結構的變形模式,保證了殼單元Voronoi 模型彈性階段與平臺階段應力、應變結果的準確性.

(2)閉孔泡沫鋁泊松比的變化規律為“增高?降低?再增高”的“S”型曲線,泊松比曲線極大值對應閉孔泡沫鋁吸能效率的增速下降點,曲線極小值對應閉孔泡沫鋁吸能效率的極大值(即閉孔泡沫鋁致密化階段的起點).

(3)以側面變形模式為判別標準,閉孔泡沫鋁等比壓縮應力狀態下,隨著加載路徑比例系數的取值不同存在4 種變形模式,分別為,側面變形過程“(短期)壓縮變形→膨脹變形”、“壓縮變形→膨脹變形→壓縮變形→膨脹變形”、“壓縮變形→(短期)膨脹變形”及“壓縮變形”.