Rockafellar乘子方法在元素測井解譜中的應用*

于 靜，王振林，白曉偉

（1．中國石油大學（北京）克拉瑪依校區 文理學院，新疆 克拉瑪依834000；2.新疆油田勘探開發研究院，新疆 克拉瑪依834000；3.新疆油田公司應急搶險救援中心，新疆 克拉瑪依834000）

1 研究背景

隨著勘探開發技術的日益成熟，頁巖油氣、致密油等非常規油氣已經成為當今勘探開發的研究熱點。而儲層礦物含量的精確計算對于評價儲層的物性、含油性、脆性、烴源巖特性（圖1為實測的礦物成分與烴源巖有效性的關系圖）及指導壓裂具有非常重要的意義[1]。非常規油氣儲層，大都巖性多變，礦物組成復雜，儲層評價難度大，僅僅依靠常規測井技術很難進行正確的儲層評價。因此正確識別礦物及準確計算礦物含量是目前非常規油氣儲層研究面臨的主要難題之一。

圖1 烴源巖與礦物成分相關關系圖

盡管地層中被發現的元素有近百種，但是其中氧、硅、鋁、鐵、鈣、鈉、鉀、鎂、氫等9元素卻占據了地層總質量的98%以上[2]。類似地，巖石中已發現上千種礦物，但是在非常規油氣儲層中的常見礦物不過十余種。因此利用可以確定地層元素含量的伽馬能譜測井，相對準確地評價地殼巖石中的礦物種類和含量變成了可能。

元素俘獲測井是確定礦物含量和巖性識別最有效的測井技術之一。當前比較先進的元素測井是斯倫貝謝的ECS測井。其原理為儀器（圖2）中子源產生快中子，快中子進入地層后，同地層中所含元素的原子核發生作用，作用釋放出伽馬射線[3-5]。每種元素產生特定能量的特征伽馬射線，其計數率與元素的含量成正比。我們記錄這些伽馬射線形成的伽馬能譜（圖3），用實驗室記錄的每種元素標準伽馬能譜（圖4）[6]與之做對比，然后采用合適的解譜技術，利用恰當的氧閉合模型和聚類因子等方法得到地層常見元素的含量，進而計算出地層中所含的主要礦物含量（圖5為元素測井譜處理的流程圖）。

圖2 ECS測井儀器結構示意圖

圖3 實測伽馬能譜圖

圖4 各元素的標準譜

圖5 元素測井譜處理流程

2 元素產額的確定

ECS記錄的能譜是全部元素的伽馬能譜（計數）的疊加，所以如果要得到準確的礦物含量，就必須對原始伽馬能譜采用合適的方法進行解譜，進而得到每個元素對該譜的相對貢獻，我們稱這種貢獻為元素的產額[7-8]。

在確定元素的產額時目前流行的是用最小二乘法進行譜數據處理。圖6最右邊道為最小二乘法解譜得到的鎂元素的產額。我們將整個伽馬能譜劃分成為m個能量道，假若本地區有s個元素對此能譜有貢獻，所以我們有如下關系式：

圖6 J井最小二乘法得到的Mg元素產額

其中，pi是指所處理的伽馬能譜的第i個能量道的計數率；αij指的是指測井儀器對第i道的第j種元素的響應系數；xj為待求的第j種元素對測量譜的相對貢獻，即產額。

公式（1）包含了m個s元方程，即

一般來講，這是一個超定的方程組（公式的各數大于未知數的個數），其中每個pi均包含統計誤差。為了求解xj，人們一般采用最小二乘法解決此問題，即得到最小二乘解

但是，在實際測量的伽馬能譜中，因為大多數元素的特征伽馬射線集中于高能部分，但是高能部分伽馬計數往往較低，對于元素含量的確定非常不利，因此，我們用加權的最小二乘方法解決此問題。令達到最小。其中，ωi為權重因子，令

但是在用加權的最小二乘法處理實際ECS數據時，由于數據受溫度、儀器誤差及自然放射性等的影響，不可避免地將產生負值[8]（見圖6）。為了解決這個問題，我們采用Rockafellar乘子算法[9-13]。

3 Rockafellar乘子算法數學原理

Rockafellar乘子算法是解決約束最優化問題的常見方法，它的基本思想是借助罰函數把約束優化問題轉化為無約束優化問題，進而使用無約束優化方法來求解。具體做法如下：

為求解問題（4），我們首先引入松弛變量zj（其中j=1，2，…，s）將不等式約束轉化為等式約束，將約束條件化為

問題（4）轉化為等式約束的最優化問題：

其次，考慮在等式約束下的增廣Lagrange函數：

其中，μ（jj=1，2，…s）為拉格朗日乘子為懲罰因子。

若μj+cxj≤0，則

因此，

于是，當μj+cgj（x）≤0時，有：

當μj+cxj>0時，有：

所以，得到乘子的迭代公式為

具體步驟如下：

（1）給定初始點x(0)及初始乘子μ(0)，給定精度ε，取c>0；

（2）以x(k-1)為初始點，求解minΦ（x，z，μ(k)），得到x(k)；

則x(k)為最優解，否則計算若β≤0.25，轉到第4步，否則，令c=2c，轉到第4步；

（4）計算μj(k+1)=μj(k)+chj（x(k)），k=k+1返回第1步。

4 Rockafellar乘子算法解譜實例

圖7 為利用Rockafellar乘子算法計算某井的元素產額與用最小二乘法解譜得到的元素的產額對比圖。從圖7中可以看到，乘子算法的結果很好地解決了最小二乘法元素產額負值的問題，為后續礦物的反演及儲層評價奠定了良好的基礎。

圖7 J井乘子算法（最右道）與最小二乘法解譜對比圖