本體性知識演繹：追求更為合理的知識理解邏輯

浙江省溫嶺市橫湖小學(xué) 王巧玲

我們很多時候都采用“約定”的方式來為學(xué)生營造概念理解氛圍。然而，在知識爆炸的信息時代，隨著學(xué)生年齡的不斷增長、獨(dú)立思辨能力的逐漸提升，孩子們總會質(zhì)疑：“為什么會是這樣？”“一定是這樣嗎？”因此，我們在日常教學(xué)中必然要引導(dǎo)學(xué)生理解這些“約定”背后的道理，追求更為合理的知識理解邏輯，使學(xué)生知其然，更知其所以然。

一、有無相間，體現(xiàn)緩坡教學(xué)

問題：為什么研究因數(shù)和倍數(shù)的時候要說明范圍是非零自然數(shù)，不能是小數(shù)或者是分?jǐn)?shù)嗎？

在學(xué)生的認(rèn)知中，在四年級下冊學(xué)習(xí)“乘除法關(guān)系”時，乘號兩邊的數(shù)都叫因數(shù)。但書本例題中，8 和2.5不能稱為26 的因數(shù)的原因是什么？教材是通過紅色字體列出“注意：為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)的時候，我們所說的數(shù)指的是自然數(shù)（一般不包括0）”。但我們總不能用“這是規(guī)定”“我們約定不研究非零自然數(shù)之外的其他數(shù)”之類的理由，強(qiáng)制確定研究范圍吧！因此，教師應(yīng)該讀懂教材，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑“為了方便”這四個字的意思—— 如果研究范圍擴(kuò)大，會給我們帶來怎樣的不方便？在此基礎(chǔ)上，我們不妨以12÷2=6為例開展教學(xué)，讓學(xué)生思考：如果考慮小數(shù)，還可以列出12÷（ ）=（ ）？學(xué)生想出：12÷0.2=60，12÷0.02=600，12÷0.002=6000……結(jié)果是12 的因數(shù)有0.2 和60；0.02 和600；0.002 和6000……因數(shù)的個數(shù)變成無限，給研究因數(shù)帶來了很多不便。至此，我們可以引導(dǎo)學(xué)生感知出無限數(shù)量的因數(shù)不利于我們研究因數(shù)和倍數(shù)的特性，也將直接影響后面的質(zhì)數(shù)與合數(shù)等其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)，所以應(yīng)該予以規(guī)避。

二、虛實(shí)結(jié)合，打通思維斷層

問題：直線比線段長嗎？

在教學(xué)“線段、直線、射線”一課后，練習(xí)中出現(xiàn)上述長度比較的練習(xí)。其實(shí)，這一本體性知識的演繹要回顧小學(xué)階段“空間與圖形”板塊中一直忽視的基石——點(diǎn)、線的形成過程。我們可以引導(dǎo)學(xué)生將乒乓球、籃球、地球都想象成一個點(diǎn)，由此建立“點(diǎn)”的認(rèn)識的前提條件——點(diǎn)是沒有大小的，只要滿足基礎(chǔ)形象都可以進(jìn)行想象加工。之后，我們讓點(diǎn)開始運(yùn)動，讓學(xué)生用手勢描繪點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，從而認(rèn)識到“線是點(diǎn)運(yùn)動后留下的軌跡，有直的線，也有曲的線”。接著，我們可以遵循數(shù)形結(jié)合的方式，將線的長度與自然數(shù)的認(rèn)識相映照——先畫5 厘米的線段，再延長畫7 厘米的線段，再延長畫9 厘米的，這時想一想數(shù)有沒有最大？反觀線有沒有最長？由此得出射線無限長的發(fā)現(xiàn)；再朝相反方向重復(fù)上述步驟，由此得出直線也是無限長。有了線段、射線和直線的形成過程的體驗，學(xué)生就會深刻明白點(diǎn)動成線（線里有無數(shù)個點(diǎn)，每個點(diǎn)都可以作為端點(diǎn)）、直線包含射線和線段的道理，更領(lǐng)悟到線段可以表述為“在一條直線上取兩個點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的一段就叫作線段”。因此，線段是直線的一部分，直線包含了線段，兩者是部總關(guān)系，基于整體大于部分的邏輯推理，直線應(yīng)該要比線段長。我們相信，經(jīng)過這樣的形成過程體驗和周密的邏輯推理，學(xué)生對于約定背后的道理肯定能自我演繹且邏輯過程完整。

三、情意交融，突出知識本質(zhì)

問題：為什么小數(shù)點(diǎn)的末尾加上0，大小也不變？

在教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”一課時，很多老師借用教材中提供的直尺和格子圖等素材，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如下圖所示的推理過程。但我們認(rèn)為，教材基于直尺相等長度的三種表示方式的轉(zhuǎn)化邏輯鏈長且脆弱。另外，教學(xué)過后的調(diào)查顯示，約80%的學(xué)生用直接記憶結(jié)論的方式解決生活中的具體問題，并未運(yùn)用情境中的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，對本單元的核心——數(shù)位順序表也理解不深。其實(shí)，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容之前，就已經(jīng)對如“12 元=12.00 元”有了一定的了解，所以本課的難點(diǎn)應(yīng)該是通過數(shù)位順序表理解添“0”、去“0”后小數(shù)不變的本質(zhì)是數(shù)的位值沒有發(fā)生變化，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)位順序表深入研究，使其在添“0”、去“0”后判斷數(shù)的大小變與不變的過程中體會十進(jìn)位值制思想。

基于這一難點(diǎn)定位，我們可以創(chuàng)設(shè)問題：“在一個數(shù)的末尾添上1 個‘0’，得到的數(shù)是原來的（ ）倍？”面對這一問題，有些學(xué)生認(rèn)為是10 倍，也有學(xué)生認(rèn)為它們是相等的，教師都可以讓他們舉例說明。隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生猜測在小數(shù)的末尾添上“0”后會有什么變化，由整數(shù)自然地過渡到小數(shù)，再展開操作驗證。驗證成功之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生探究：“同樣是在末尾添上‘0’，小數(shù)和整數(shù)發(fā)生的變化是不同的，你能完整地表達(dá)出來嗎？”在學(xué)生口述的過程中，教師借助數(shù)位順序表展示，指出在末尾添“0”，整數(shù)和小數(shù)的數(shù)位分別發(fā)生了什么變化，再借機(jī)追問：“添‘0’之后，原來的數(shù)在哪一位？現(xiàn)在在哪一位？”之后，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)位順序表展示數(shù)的大小變化過程，將數(shù)位的變化過程清楚、明白地展現(xiàn)在學(xué)生面前。學(xué)生通過移一移生動形象地理解了“在整數(shù)末尾添‘0’之后，整數(shù)其他數(shù)位上的值都發(fā)生變化”“在小數(shù)末尾添‘0’，所有數(shù)位上的值都不發(fā)生變化”這一過程。如此教學(xué)，既借助了數(shù)位順序表形象地展示了移動過程，又使學(xué)生了解了數(shù)的大小變化的本質(zhì)是數(shù)字的位值發(fā)生了變化，從而讓學(xué)生更深刻地理解了小數(shù)的性質(zhì)。

四、辨析合力，學(xué)后靈活致用

問題：求近似數(shù)只有“四舍五入法”“進(jìn)一法”和“去尾法”嗎？

用“四舍五入法”求近似數(shù)，在四上“大數(shù)的認(rèn)識”單元里有詳細(xì)介紹：是“舍”還是“入”，要看省略的尾數(shù)部分的最高位上的數(shù)是小于5 還是等于或大于5。四下運(yùn)用“四舍五入法”求小數(shù)的近似數(shù)，是教材中最后一個學(xué)生用此方法解題的學(xué)習(xí)內(nèi)容。繼續(xù)追溯，早在三年級“用估算解決問題”中，就有“比較接近”這個詞語出現(xiàn)，教師為了方便解題，開始自主教學(xué)用“四舍五入法”解題。然而，在學(xué)生對方法熟練掌握的同時，我們更應(yīng)該讓學(xué)生明確原數(shù)與精確值之間的關(guān)系，從而理解使用“四舍五入法”求近似數(shù)廣泛應(yīng)用的意義。比如，舉例兩則信息：超市收銀和醫(yī)院收費(fèi)。為什么超市收銀用“四舍五入法”？為什么上海普陀區(qū)的一家醫(yī)院收費(fèi)采用五舍六入法（5 和5 以下全部舍，不收費(fèi)；6 和6以上進(jìn)位）？借助連續(xù)數(shù)據(jù)3.21～3.29 進(jìn)行對比教學(xué)（如下表）。

求近似數(shù)方法3.21～3.29 求近似數(shù)的情況 與精確數(shù)相減四舍五入法（超市）3.21 ≈3.2 3.22 ≈3.2 3.23 ≈3.2 3.24 ≈3.2 3.25 ≈3.3 3.26 ≈3.3 3.27 ≈3.3 3.28 ≈3.3 3.29 ≈3.3 0.05五舍六入法（醫(yī)院）3.21 ≈3.2 3.22 ≈3.2 3.23 ≈3.2 3.24 ≈3.2 3.25 ≈3.2 3.26 ≈3.3 3.27 ≈3.3 3.28 ≈3.3 3.29 ≈3.3-0.05對比發(fā)現(xiàn)：四舍五入法之后的結(jié)果比精確數(shù)多0.05，五舍六入法的結(jié)果比精確數(shù)少0.05

兩種求近似數(shù)方法的誤差都是最后一位保留數(shù)位的一半，而方向正好相反。此時，學(xué)生明白了兩種方法的實(shí)際意義，“五舍六入法”更能體現(xiàn)出國家讓利于民的惠民政策，而超市的收費(fèi)方式在關(guān)注方便的同時，更要突出對顧客的公平公正，“四舍五入法”更加合適。求近似數(shù)的方法可以多樣，除了滿足實(shí)際需要，更要有數(shù)學(xué)原理，也就是在體現(xiàn)實(shí)用性的同時，更要關(guān)注科學(xué)性。這樣的想法和思考通過有效的對比讓學(xué)生有了感悟，將知識點(diǎn)背后的隱性知識通過顯性活動慢慢悟出。

新課程改革著重于教學(xué)理念的更新，大力提倡“情境、合作、探究”的教學(xué)模式，但與之相比，對于小學(xué)數(shù)學(xué)里一些傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容的創(chuàng)新性演繹則往往維持現(xiàn)狀，未做深究，這并不利于教師對教材背后的數(shù)學(xué)道理進(jìn)行深入理解，自然也更不利于學(xué)生緩坡學(xué)習(xí)路徑的構(gòu)建、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。作為新時期的數(shù)學(xué)老師，我們應(yīng)該努力挖掘蘊(yùn)涵于教材中的數(shù)學(xué)道理，立足課堂，培養(yǎng)溝通數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系的能力。希望通過本篇文章，能對同行們有所啟示，讓我們繼續(xù)努力向前！