類蜂窩夾層結構的力學特性研究

李響，趙恒，余萬，李銳

類蜂窩夾層結構的力學特性研究

李響1,2，趙恒2，余萬2，李銳2

（1.三峽大學 水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北 宜昌 443002；2.三峽大學 機械與動力學院，湖北 宜昌 443002）

創新設計的類蜂窩夾層結構具有良好的力學性能、吸能特性和更大的設計空間。目前大多研究是將夾層結構的膠粘劑層的厚度忽略不計，并且將整個夾層結構的厚度約等于夾芯層的厚度來進行相關力學性能參數的計算。本文基于Gibson夾層結構胞元理論，考慮膠粘劑層的影響因素，對類蜂窩夾層結構進行力學性能分析；運用復合材料力學和材料力學理論以及應變能等效原理推導出類蜂窩夾層結構的等效力學性能、剛度和等效密度計算公式。本文的研究結論可望為進一步研究新型蜂窩夾層結構提供相應的理論支持。

類蜂窩；夾層結構；力學性能；剛度；等效密度

隨著現代工業技術的進步和高端產業的逐漸興起，航空航天、汽車、船舶以及新興建筑行業都得到了蓬勃發展，為了能夠改進其相應行業產品的應用性能，降低其生產成本，傳統的結構材料已經遠遠不能夠滿足現階段的性能需求，各行業迫切需要研究出性能更加優異的新興材料。而蜂窩夾層結構作為新興材料的典型代表，它擁有質量輕、效率高和能源節約等特點，并且其相比于均質實體板，具有更高的比強度、比剛度和可設計性，能夠根據不同應用背景進行結構設計。王博等[1]通過比較kagome蜂窩與傳統四邊形結構，六邊形蜂窩結構散熱承載綜合性能比較證明了組合蜂窩的優越性。Kumar等[2]研究了在低速沖擊的情況下，鋁蜂窩夾芯結構的蜂窩孔尺寸、孔壁厚度、芯層高度等各種參數對吸能特性和沖擊力的影響，并確定了考慮多重響應時的最優結構參數。童冠等[3]研究了類方形蜂窩夾芯結構的等效力學性能。李響等[4]提出新型變截面波紋夾層結構采用理論分析與數值模擬的方法研究其下面板角度和波紋夾芯放置方式對該新型波紋夾層結構抗爆炸性能的影響。胡玉琴等[5]總結了應用較多的蜂窩鋁夾層板的等效方法，分析了幾種各種方法在計算鋁蜂窩夾層板的優劣。Wang等[6]研究了一種新型含陶瓷材料的蜂窩夾層結構，對其蜂窩壁厚、蜂窩孔長度以及陶瓷厚度進行了分析，發現夾芯結構的幾何構型對彎曲性能影響較大，并且增加陶瓷材料能夠很好的提高蜂窩夾芯的力學性能。邱克鵬等[7]利用三維均勻化方法計算蜂窩夾層板結構的整體等效彈性常數，并采用不同等效途徑和計算方法全面研究蜂窩夾層結構的等效力學性能。Molavitabrizi6等[8]以相對密度、彈性、強度和破壞準則為設計標準對微觀尺度的八邊形桁架晶格夾芯進行研究，并結合夾層結構最小重量約束，獲得了夾芯的最小所需厚度，經對比發現比原結構減重53%。Potluri等[9]考慮了兩種不同的夾芯結構，采用數值分析方法確定了夾芯的力學性能，并開發matlab代碼，研究了兩種類型蜂窩夾芯的面外特性。Zhang等[10]研究了鋁蜂窩夾層結構在壓剪組合作用下的力學行為，通過改變加載速度、加載角度和加載平面，提出了理論模型并分析了加載角度對應力的影響情況。Hao等[11]研究了準靜態載荷作用下的夾層結構失效模式，并發現確定夾層結構材料后，通過調節面板或芯層厚度能夠獲得最優的強度重量比。

在總結了近些年國內外學者對夾層結構的力學性能研究發現，目前大多研究都是將夾層結構的膠粘劑層的厚度忽略不計，并且將整個夾層結構的厚度約等于夾芯層的厚度來進行相關力學性能參數的計算。然而，在實際工程應用中，膠粘劑層的厚度與面板層厚度相差較小，對整個夾層結構的力學性能有一定程度的影響，因此，本文將在前人研究的基礎上，考慮膠粘劑層對類蜂窩夾層結構各項力學性能參數的影響，對各項力學性能參數的理論公式進行推導。

1 類蜂窩夾層結構的等效力學性能

1.1 類蜂窩夾層結構的拉壓彈性模量推導

如圖1所示為類蜂窩夾層結構在方向的拉伸示意圖。

圖1 夾層結構在x方向拉伸示意圖

其中t1、t2分別為上、下面板層厚度（長度在本文的單位均為mm），t1、t2分別為上、下膠粘劑層厚度，為類蜂窩夾芯層厚度，為夾層結構寬度。在類蜂窩夾層結構的方向上施加一個拉伸載荷（載荷在本文的單位均為N）。則由力的平衡關系可得，夾層結構反方向上會有一等效應力σ1（應力在本文的單位均為MPa）與其平衡，其平衡關系為：

假設應力分布在上、下面板層的大小為σ1、σ2，在上下膠粘劑層的大小為σ1、σ2，在類蜂窩夾芯層的大小為σ，則等效應力σ與σ1、σ2、σ1、σ2和σ的關系為：

若將方向上、下面板層材料的彈性模量表示為E1、E2（彈性模量在本文的單位均為MPa），拉伸形變量上、下膠粘劑層的彈性模量表示為E1、E2，類蜂窩夾芯層彈性模量為E，根據夾層結構在橫向受拉時各層的拉伸形變相等可得：

式中：ε為夾芯層在方向的應變量；ε1、ε2為上、下面板層應變量；ε1、ε2為上、下膠粘劑層應變量；ε為夾層結構在方向的總應變。

由式（3）可進一步推得：

設類蜂窩夾層結構厚度為2，則有2＝＋t1＋t2＋t1＋t2因此式（4）可簡化為：

從而可得類蜂窩夾層結構方向拉壓彈性模量表達式為：

同理，由類蜂窩夾層結構在平面內呈軸對稱結構可得方向拉壓彈性模量表達式為：

式中：E1、E2為方向上、下面板層材料的彈性模量；E1、E2為拉伸形變量上、下膠粘劑層的彈性模量；E為類蜂窩夾芯層彈性模量。

1.2 類蜂窩夾層結構的平拉壓彈性模量推導

類蜂窩夾層結構的平拉壓彈性模量也即方向等效彈性模量，圖2所示為類蜂窩夾層結構在方向受壓示意圖。

圖2 類蜂窩夾層結構在z方向壓縮示意圖

假設在方向受到的壓力大小為，N。夾層結構在方向的總應變為ε，可知各層相對壓縮量關系為：

式中：ε為夾芯層在方向的應變量；ε1、ε2為上、下面板層應變量；ε1、ε2為上、下膠粘劑層應變量。

把類蜂窩夾芯層等效為均值體，即其在方向能夠均勻受力，由于面板層、膠粘劑層和夾芯層為串聯結構，則各層在方向所受的應力大小均相同：

式中：σ為類蜂窩夾層結構方向所受的應力大小；σ1、σ2為上、下面板層在方向所受應力大小；σ1、σ2為上、下面板層在方向所受應力大小；σ為類蜂窩夾芯層在方向所受應力大小。

通過聯立式（8）和式（9）可求得類蜂窩夾層結構的平拉壓彈性模量表達式為：

式中：E1、E2為方向上、下面板層材料的彈性模量；E1、E2為拉伸形變量上、下膠粘劑層的彈性模量；E為類蜂窩夾芯層彈性模量。

1.3 類蜂窩夾層結構的等效剪切模量推導

圖3所示為類蜂窩夾層結構受方向剪力時的變形示意圖，由圖可知各層形變量關系為：

式中：為類蜂窩夾芯層受剪形變量；、分別為上、下面板層形變量；、分別為上、下膠粘劑層形變量。

假設類蜂窩夾層結構的剪應變為γ，上、下面板層的剪應變分別為γ1、γ2，上、下膠粘劑層的剪應變為γ1、γ2，夾芯層剪應變為γ。根據式（11）可進一步推得：

因為夾層結構受到方向的剪力作用，當其在變形時，各層的剪應力（剪應力在本文的單位均為MPa）關系為：

式中：τ為類蜂窩夾層結構剪應力；τ1、τ2為為上、下面板層剪應力；τ1、τ2為上、下膠粘劑層剪應力；τ為夾芯層剪應力，此時類蜂窩夾芯層結構等效為均質體。

由＝可知，當假設類蜂窩夾層結構在方向的等效剪切模量為G（剪切模量在本文的單位均為MPa），上、下面板層剪切模量為G1、G2，上、下膠粘劑層剪切模量為G1、G2，類蜂窩夾芯層的等效彈性模量為G。則聯立式（12）和式（13）可得：

同理可推得類蜂窩夾層結構方向的等效剪切模量G表達式為：

式中：G為類蜂窩夾層結構在方向的等效剪切模量；G1、G2為上、下面板層剪切模量；G1、G2為上、下膠粘劑層剪切模量；G為類蜂窩夾芯層的等效彈性模量。

當類蜂窩夾層結構受到方向的剪應力時，其受力變形情況如圖4所示，根據力的平衡關系可得：

>式中：τxy為類蜂窩夾層結構剪應力；τfxy1、τfxy2為上、下面板層剪應力；τaxy1、τaxy2為膠粘劑層剪應力；τcxy為夾芯層剪應力，此時類蜂窩夾芯層結構等效為均質體。

因剪切變形協調可得：

式中：γ為類蜂窩夾層結構的剪應變；γ1、γ2分別為上、下面板層的剪應變；γ1、γ2分別為上、下膠粘劑層的剪應變；γ為夾芯層剪應變。

聯立式（16）和式（17）可解得：

式中：G為類蜂窩夾層結構在方向的等效剪切模量；G1、G2為上、下面板層剪切模量；G1、G2為上、下膠粘劑層剪切模量；G為類蜂窩夾芯層的等效彈性模量。

2 類蜂窩夾層結構的彎曲剛度

彎曲剛度是表示一個物體在受到力或者彎矩作用時，抵抗其自身變形的能力。彎曲剛度越大，表明其抵抗形變的能力越強。蜂窩夾層結構因為其特殊結構：上、下面板層被上、下膠粘劑層和夾芯層所分開，能夠較大幅度的提升其自身的平板截面慣性矩，所以能夠在同等質量的情況下擁有更大的彎曲剛度。

圖5為類蜂窩夾層結構彎曲示意圖，其上面板層和上膠粘劑層受到壓縮作用，下面板層和下膠粘劑層受到拉伸作用，而類蜂窩夾芯層主要承受剪切作用，在此處的影響較小，可忽略不計，由于膠粘劑層的彈性模量遠遠小于面板層彈性模量，而膠粘劑層厚度與面板層厚度相近，所以本章節只考慮膠粘劑層厚度對類蜂窩夾層結構的影響，為簡化推導流程，將類蜂窩夾芯層和膠粘劑層合并為內層夾層結構，其厚度可表示為1＝＋t1＋t2。上面板面層材料彈性模量為E1，下面板面層材料彈性模量為E。

圖5 類蜂窩夾層結構彎曲示意圖

圖6為類蜂窩夾層結構的截面示意圖，由圖可知上面板層因為受到壓縮作用所產生的擠壓應力為σ1，其相應的壓應變為ε1，而下面板層受到拉伸作用，其拉伸應力為σ2，拉應變為ε2，由力的平衡關系化簡可得：

根據等效截面慣性矩計算公式，類蜂窩夾層結構等效界面慣性矩可表示為：

根據彎曲剛度＝（本文中剛度的單位均為N·m）可得考慮膠粘劑厚度影響時的類蜂窩夾層結構彎曲剛度為：

3 類蜂窩夾層結構的扭轉剛度

扭轉剛度作為重要的力學性能指標，能夠反映出物體受到扭轉作用時，其自身抵抗扭轉變形的能力。圖7為類蜂窩夾層結構扭轉載荷示意圖，圖8為類蜂窩夾層結構扭轉示意圖。

為了簡化類蜂窩夾層結構扭轉剛度計算公式，本章將膠粘劑層和類蜂窩夾芯層視為內層夾層結構，對其進行等效剪切進行推導，圖9為內層夾層結構在剪力作用下的形變示意圖。

圖7 類蜂窩夾層結構扭轉載荷示意圖

圖8 類蜂窩夾層結構扭矩示意圖

圖9 內層夾層結構受剪示意圖

根據力平衡原理和各層形變量關系可得：

聯立式（22）～（24）可求得內層夾層結構的等效剪切模量為：

再根據Seide經典公式，當夾層結構面板層材料、厚度且剪切模量相同（t1＝t2＝t）時，

單位寬度（＝1）的夾層結構扭轉剛度為：

式中：G為面板層等效彈性模量。

4 類蜂窩夾層結構的等效密度

完整的夾層結構包括上、下面板層，上、下膠粘劑層和類蜂窩夾芯層，本文中重量取單位面積沿厚度方向的重量進行研究，可得：

式中：為單位面積的類蜂窩夾層結構總重量，kg；W1和W2分別為上、下面板層重量，kg；W1和W2分別為上、下膠粘劑重量，kg；W為類蜂窩夾芯層重量，kg；ρ1為夾層結構上面板層（等效）材料密度，kg/m3；ρ2為夾層結構下面板層(等效)材料密度，kg/m3；ρ1為夾層結構上膠粘劑層(等效)材料密度，kg/m3；ρ2為夾層結構下(等效)材料密度，kg/m3；ρ為夾層結構類蜂窩夾芯層等效材料密度，kg/m3。

5 結論

本文運用復合材料力學理論和材料力學相關知識，通過將膠粘劑層的影響考慮在內，以力的等效平衡關系為基礎，對其等效力學參數、彎曲剛度、扭轉剛度以及等效密度公式進行推導，并得到了各項等效力學性能與各層厚度之間的理論計算公式。

本文的研究結論能夠為學者們研究類蜂窩夾層結構優化設計提供相應的理論基礎，為設計出滿足實際工程應用需求的類蜂窩夾層結構提供技術支持。

[1]王博. 蜂窩結構多功能優化設計[D]. 大連：大連理工大學，2007.

[2]J. Suresh Kumar，K. Kalaichelvan. Taguchi-Grey Multi-Response Optimization on Structural Parameters of Honeycomb Core Sandwich Structure for Low Velocity Impact Test[J]. Silicon，2018，10（3）：879-889.

[3]童冠，李響，梅月媛，等. 類方形蜂窩夾芯結構力學性能研究[J]. 河北科技大學學報，2017，38（6）：522-529.

[4]李響，李銳，徐興興，等. 新型變截面波紋夾層結構抗爆炸沖擊性能[J]. 機械，2020，47（10）：6-15.

[5]胡玉琴. 鋁蜂窩夾層板等效模型研究及數值分析[D]. 南京：南京航空航天大學，2008.

[6]Wang Z，Li Z，Xiong W. Numerical study on three-point bending behavior of honeycomb sandwich with ceramic tile[J]. Composites Part B: Engineering，2019（167）：63-70.

[7]邱克鵬，張衛紅，孫士平. 蜂窩夾層結構等效彈性常數的多步三維均勻化數值計算分析[J]. 西北工業大學學報，2006（4）：514-518.

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[11]Jingxin Hao，Xinfeng Wu，Gloria Oporto，et al. Structural analysis and strength-to-weight optimization of wood-based sandwich composite with honeycomb core under three-point flexural test[J]. European Journal of Wood and Wood Products，2020，78（prepublish）：1-13.

Mechanical Properties of Honeycomb-like Sandwich Structure

LI Xiang1,2，ZHAO Heng2，YU Wan2，LI Rui2

(1.Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design & Maintenance, China Three Gorges University, Yichang 443002, China; 2.College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China )

The innovative design of honeycomb-like sandwich structure has good mechanical properties, energy absorption characteristics and larger design space. At present, the thickness of the adhesive layer of the sandwich structure is ignored in most studies, and the thickness of the whole sandwich structure is taken approximately equal to the thickness of the sandwich layer when calculating the relevant mechanical property parameters. Based on the Gibson cell theory of sandwich structure, the mechanical properties of honeycomb-like sandwich structure were analyzed considering the influence factors of adhesive layer. Based on the theory of composite material mechanics, material mechanics, and strain energy equivalent principle, the equivalent mechanical properties, stiffness, and equivalent density of honeycomb-like sandwich structures are derived. Findings of this paper are expected to provide theoretical support for further study of new honeycomb sandwich structure.

honeycomb-like；sandwich structure；mechanical properties；stiffness；the equivalent density

TB333

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2021.10.001

1006-0316 (2021) 10-0001-07

2021-05-26

國家自然科學基金青年科學基金（51305232）

李響（1979－），男，湖北黃梅人，博士，副教授，主要研究方向為輕量化技術、結構優化設計、數值模擬技術、結構強度與可靠性，E-mail：lixiangcfy@ctgu.edu.cn；趙恒（1997－），男，安徽阜陽人，碩士研究生，主要研究方向為結構優化設計。