Toader型平均的兩個(gè)最佳不等式*

張 帆

(湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 浙江 湖州 313000)

一、研究背景

設(shè)0

第一類和第二類完全橢圓積分滿足下列微分公式和Landen恒等式[1]474-475:

且第一類完全橢圓積分κ(r)在區(qū)間(0,1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增,第二類完全橢圓積分ε(r)在區(qū)間(0,1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減.

設(shè)x,y>0和x≠y.則將調(diào)和平均H(x,y),幾何平均G(x,y),算術(shù)平均A(x,y),Toader平均T(x,y)[2]358-368,正弦平均Msin(x,y)和雙曲正切平均Mtanh(x,y)[3]1 071-1 092分別定義如下:

(1)

(2)

(3)

最近,Toader平均,正弦平均和雙曲正切平均與其他二元經(jīng)典平均的比較得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的深入研究，在特殊情形下,發(fā)現(xiàn)了許多關(guān)于完全橢圓積分,三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的重要不等式.

有人證明了λ=3/2和μ=ln2/ln(π/2)=1.534 9L是使得雙向不等式

Mλ(x,y)

還有人證明了雙向不等式

A(x,y)

(4)

對(duì)所有x,y>0和x≠y成立[3]1 078.

顯然,雙向不等式

H(x,y)

(5)

對(duì)所有x,y>0和x≠y成立.

從不等式(4)和(5)可推得

H(x,y)

(6)

對(duì)所有x,y>0和x≠y成立.

根據(jù)不等式(6),本文的主要結(jié)果為以下兩個(gè)定理:

定理1雙向不等式

對(duì)所有x,y>0和x≠y成立的充分必要條件是:α1≤4sin2(1)/π2=0.286 9L和β1≥9/14.

定理2雙向不等式

對(duì)所有x,y>0和x≠y成立的充分必要條件是:α2≤4tanh2(1)/π2=0.235 0L和β2≥9/16.

二、引 理

為證明本文的主要結(jié)果,需要以下引理:

引理1對(duì)-∞

也在(a,b)內(nèi)單調(diào)上升(下降);如果f′(x)/g′(x)的單調(diào)性是嚴(yán)格的,則結(jié)論中的單調(diào)性也是嚴(yán)格的[3]10.

引理3冪級(jí)數(shù)公式:

其中,Bn是Bernoulli數(shù)[7]4 874-4 888.

引理4雙向不等式

對(duì)所有n∈+成立,其中Bn是Bernoulli數(shù)[8]1-14.

引理5(1)函數(shù)r[κ(r)-ε(r)]/r2在區(qū)間(0,1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，且值域?yàn)?π/4,1)[1]70.(2)函數(shù)r[ε2(r)-r′2κ2(r)]/r4在區(qū)間(0,1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，且值域?yàn)?π2/32,1)[1]70.

引理6函數(shù)rε(r)[(1+r2)ε(r)-r′2κ(r)]/r2在區(qū)間(0,1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，且值域?yàn)?2,3π2/8).

證明:設(shè)

φ(r)=ε(r)[(1+r2)ε(r)-r′2κ(r)]/r2.

簡(jiǎn)單計(jì)算可得:

(7)

(8)

所以,引理6容易從引理5及等式(7)和(8)得到.

引理7函數(shù)

在區(qū)間(0,1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，且值域?yàn)?7/3,2/sin2(1)).

證明:簡(jiǎn)單計(jì)算可得:

(9)

(10)

其中,

λ1(r)=3rsec2(r)-r3sec2(r)-3tan(r)+r2tan(r)-2r3.

由引理3得到:

(11)

其中,

(12)

由引理4和等式(12)得到:

(13)

其中,

?1(n)=12n(22n+2-1)(22n-1-1)-π2(n-1)(22n-1)(22n+1-1)>

22n[22n+1((12-π2)n+π2)-3((18-π2)n+π2)]+(12-π2)n+π2>

22n[22n+1((12-π2)n+π2)-3((18-π2)n+π2)]+2n+π2.

(14)

應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)式,可得:

22n+1((12-π2)n+π2)-3((18-π2)n+π2)>

2(1+2n)((12-π2)n+π2)-3((18-π2)n+π2)=

4(12-π2)n2+5(π2-6)-π2>132-7π2>0,

(15)

且對(duì)所有n≥2成立.

所以,引理7容易從等式(9)～(11)和不等式(13)～(15)得到.

引理8函數(shù)

在區(qū)間(0,1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的,且值域?yàn)?8/3,2coth2(1)).

證明:函數(shù)μ(r)可變?yōu)椋?/p>

(16)

由雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)公式可得:

r2sinh(3r)+sinh(3r)+r2sinh(r)+sinh(r)+4r3cosh(r)-4rcosh(r)=

(17)

(18)

設(shè)

(19)

則由等式(16)～(18)得到:

(20)

(21)

其中,

ω(n)=32n+1[(4n+7)32n+4-2(192n3+536n2+356n+9)]-(48n2+148n+111).

(22)

應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)式可得:

(4n+7)32n+4-2(192n3+536n2+356n+9)>

2 208n3+3 464n2-388n+549>0.

(23)

由等式(22)和不等式(23)得:

ω(n)>32n+1(2 208n3+3 464n2-388n+549)-(48n2+148n+111)>3(2 208n3+3 464n2-388n+549)-(48n2+148n+111)=6 240n3+9 320n2-1 876n+1 629>0,

(24)

且對(duì)所有n∈成立.

根據(jù)引理2和等式(19)～(21)協(xié)同不等式(24)導(dǎo)致的結(jié)論是:函數(shù)μ(r)在區(qū)間(0,1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增.注意到,

(25)

所以,引理8容易從等式(25)和函數(shù)μ(r)的單調(diào)性得到.

三、主要結(jié)果的證明

定理1的證明:根據(jù)二元平均H(x,y),Msin(x,y)和T[A(x,y),G(x,y)]是對(duì)稱的且一階齊次,不失一般性,假設(shè)x>y>0,r=(x-y)/(x+y)∈(0,1).則由等式(1)和(2)得到:

(26)

設(shè)f1(r)=4ε2(r)/(π2r′4)-1和f2(r)=r2/[r′4sin2(r)]-1.簡(jiǎn)單計(jì)算得到:

f1(0+)=f2(0)=0,f(r)=f1(r)/f2(r),

(27)

(28)

其中,函數(shù)λ(r)定義在引理7.

(29)

定理2的證明:根據(jù)二元平均H(x,y),Mtanh(x,y)和T[A(x,y),G(x,y)]是對(duì)稱的且一階齊次,不失一般性,假設(shè)x>y>0,r=(x-y)/(x+y)∈(0,1).則從等式(1)得到:

(30)

設(shè)f1(r)=4ε2(r)/(π2r′4)-1和f3(r)=r2/[r′4tanh2(r)]-1.則簡(jiǎn)單計(jì)算得到:

f1(0+)=f3(0)=0,g(r)=f1(r)/f3(r),

(31)

(32)

其中,函數(shù)μ(r)定義在引理8.

(33)

根據(jù)定理1和定理2,得到推論如下:

推論1雙向不等式