一個積分平均的調和、正弦和雙曲正切平均確界*

楊 萍 萍

(湖州市體育運動學校 理科教研組， 浙江 湖州 313000)

一、研究背景

設r∈(0,1),第一類和第二類完全橢圓積分κ(r)和ε(r)分別定義為：

且滿足:

κ(0+)=ε(0+)=π/2,κ(1-)=+∞,ε(1-1)=1,

函數κ(r)和ε(r)可表示為：

其中,Gauss超幾何函數定義為：

且當a≠0時,(a)0=1;當n∈≡{k:k是正整數}時,(a)n=a(a+1)(a+2)…(a+n-1)=Γ(a+n)/Γ(a)為移位階乘函數,Γ(x)=e-ttx-1dt(x>0)是經典Gamma函數.

近年來，第二類完全橢圓積分ε(r)的確界引起了國內外許多數學學者的關注,得到了許多特殊情形的關于ε(r)的重要不等式.例如:有人證明了λ=3/2和μ=log2/log(π/2)=1.534 9L，是使得雙向不等式

對所有r∈(0,1)成立的最佳參數[2]693-699[3]289-312.

Wallis比定義為[4]1-11 [5]303-307:

且滿足:

(1)

第二類完全橢圓積分ε(r)應用Wallis比Wn可以寫成：

(2)

設x,y>0且x≠y,則調和平均H(x,y)，幾何平均G(x,y)，算術平均A(x,y)，正弦平均Msin(x,y)，雙曲正切平均Mtanh(x,y)和涉及第二類完全橢圓積分ε(r)的積分平均V(x,y)分別定義為[6]1 071-1 092：

(3)

(4)

(5)

(6)

且不等式

H(x,y)

(7)

和

A(x,y)

(8)

對所有x,y>0且x≠y成立.

Anderson，Vuorinen等證明了函數r→ε(r)/(1-r2)在區間(0,1)內是嚴格單調上升的且值域為(π/2,∞).由等式(6)可得

H(x,y)

(9)

對所有x,y>0且x≠y成立[1]54.

由不等式(7)～(9)可得

H(x,y)

(10)

對所有x,y>0且x≠y成立.

根據不等式(10),本文將證明存在最佳參數α1,α2,β1,β2∈，使得雙向不等式

和

對所有x,y>0且x≠y成立.

二、引 理

為證明本文主要結果,需要以下引理：

引理1對-∞

也在(a,b)內單調上升(下降);如果f′(x)/g′(x)的單調性是嚴格的,則結論中的單調性也是嚴格的[1]10.

引理3函數

在區間(0,1)內是嚴格單調上升的，且值域為(π/4,∞)[1]70.

引理4函數

在區間(0,1)內是嚴格單調上升的，且值域為(3/14,1-2/π).

證明：設f1(r)=1-2ε(r)/π,f2(r)=1-r′2sin(r)/r.簡單計算可得：

(10)

(11)

其中，

設φ1(r)=r2sin(r)-rr′2cos(r)+sin(r)，φ2(r)=r3，φ3(r)=(2+r′2)sin(r)+4rcos(r)和φ4(r)=3r.簡單計算可得

(12)

(13)

(14)

(15)

對所有r∈(0,1)成立.

(16)

引理5函數

在區間(0,1)內嚴格單調上升且值域為(3/16,1-2/π).

證明：函數g(r)可寫成：

g(r)=cosh(r)γ(r)，

(17)

其中，

根據式(1)，式(2)和冪級數展開式有：

(18)

(19)

設

(20)

由等式(18)～(20)，使得

(21)

(22)

對所有n≥0成立.

由不等式(22)和引理2可以清楚地看到函數γ(r)在區間(0,1)內是單調上升的,這樣等式(17)和函數cosh(r)協同γ(r)的單調性導致的結論是，函數g(r)在區間(0,1)內是嚴格單調上升的.注意到：

(23)

所以,引理5容易從等式(23)和函數g(r)的單調性得到.

三、主要結果

定理1雙向不等式

對所有x,y>0且x≠y當且僅當α1≤2/π，β1≥11/14時成立.

證明：根據H(x,y),Msin(x,y)和V(x,y)是對稱的且一階齊次.不失一般性,我們假設x>y>0.設r=(x-y)/(x+y)∈(0,1).則由等式(3)，(4)和(6)，使得

(24)

其中,f(r)定義在引理4.

所以,定理1容易從引理4和等式(24)得到.

定理2雙向不等式

對所有x,y>0且x≠y當且僅當α2≤2/π和β2≥13/16時成立.

證明：根據H(x,y),Msinh(x,y)和V(x,y)是對稱的且一階齊次.不失一般性,假設x>y>0.設r=(x-y)/(x+y)∈(0,1).則由等式(3)，(5)和(6)，使得

(25)

其中，g(r)定義在引理5.

所以,定理2容易由引理5和等式(25)得到.

根據定理1和定理2，可得到第二類完全橢圓積分ε(r)的一個新的上下確界:

推論3雙向不等式

綜上，平均值理論是一個既經典又十分活躍的數學分支，現已滲透到應用數學的許多領域.本研究利用調和平均、正弦平均和雙曲正切平均，對一個積分平均進行估計,獲得了兩個最佳不等式,并由此發現了第二類完全橢圓積分的精確上下界。所得結果大大改進了已有的相關不等式.本研究方法對從事特殊函數理論研究的愛好者具有一定的借鑒作用.